数学建模作业参考

目录

目录.............................................................................1

项目一一元函数微分学..........................................................2

1、一元函数的图形...........................................................2

2、极限与连续..............................................................6

3、导数......................................................................8

4、导数的应用...............................................................13

项目二一元函数积分学与空间图形的画法.........................................16

1、一元函数积分学..........................................................16

2、空间图形的画法..........................................................18

项目三多元函数微积分.........................................................23

1、多元函数微分学..........................................................23

2、多元函数积分学..........................................................26

3最小二乘拟合.............................................................29

项目四无穷级数与微分方程......................................................31

1无穷级数..................................................................31

2求解微分方程..............................................................33

项目五矩阵运算与方程组求解...................................................34

1行列式与矩阵............................................................34

2矩阵的秩与向量组的极大无关组...........................................38

3线性方程组..............................................................39

项目六矩阵的特征值与特征向量.................................................41

1求矩阵的特征值与特征向量.................................................41

项目一一元函数微分学

1、一元函数的图形

目的通过图形加深对函数及其性质的认识与理解，掌握运用函数的图形来观察和分析

函数的有关特性与变化趋势的方法，建立数形结合的思想；掌握用

Matlab作平面曲线图性的方法与技巧.

1.1画出'=secx在[0,兀]之间的图象.

程序：x=-2*pi:0.

y=(l./cos(x));

plot(x,y);

axis([-10,10,-10,10])

1.2在同-坐标系中画出v=6，y=已y=内,

'=炉，y=x的图象.

程序：x=-4:0.1:4;

yl=sqrt(x);

y2=x「2;

y3=x-(1/3);

y4=x."3;

plot(x,x,x,x,x,yl,y2,y3,y4,x);

axis([-4,4,-4,4])

22

1.3画出/(*)=(1—X"+(1+X”的图象，并根据图象特点指出

函数/(无)的奇偶性.

程序：x=0:0.1:4;

y二(l-x)「(2/3)+(l+x)/(2/3);

plot(x,y)

1.4作出以参数方程x=2cos2t,y=sinrcot(0<t<2TT)所表示的

曲线的图形.

程序：t=0:0.1:2*pi;

x=2*cos(t)」2;

y=sin(t).*cos(t);图1.3

plot(x,y,0,x,x,0)

1.5分别作出星形线x=2cos"y=2sin3,(0W2%)和摆线“=2Q-sinr),y=2(1-cosf)(0<t<4%)的图

形.

程序1：t=0:0.1:2*pi;

x=2*cos(t).3;

y=2*sin(t)/3;

plot(x,y,0,x,x,0)

程序程t=0:0.l:4*pi;

x=2*(t-sin(t));

y=2*(l-cos(t));

plot(x,y,0,X,X,0);

axis([0,4*pi,0,5])

一,.xu)=cosrcosDr,,,,

1.6画出参数方程的图形：

[y(t)=sinzcos3r

程序:t=0:0.01:pi/2;

x=cos(t).Mos(5*t);

y=sin(t).*cos(3*t);

plot(x,y,0,x,x,0)

1.7作出极坐标方程为〃=2(1-cos3力的曲线的图形.

程序：t=-2*pi:0.1:2*pi;

r=2*(l-cos(3*t));

polar(t,r)

1.8作出由方程+y3=3到所确定的隐函数的

图形.

1.9分别作出取整函数y=⑶和函数y=x-[x]的图形.

程序1：ezplot(Jy-fix(x)5,[-5,5]);

gridon;

程序2：ezplotCy-x+fix(x)J,[-5,5]);

Gridon;

y-x+fix(x)=0

y-fix(x)=0

程序：ezplotCy-sign(x)),[-5,5]);

gridon;

1.11作出分段函数〃X)=XSm^5X”的图形.

0,x=0

程序：xl=-100:0.1:eps;

x2=0;

x3=eps:0.1：-100;

yl=xl."2.*sin(l./xl);

y2=0;

y3=x3.2.*sin(l./x3);

plot(xl,yl,x2,y2,x3,y3);

axis([-100,100,-100,100]);

gridon;

1.12制作函数Inex的图形动画，

程序：x=-pi:0.1:pi;

forb=l:100;

c=0.l*b;

plot(x,log(c*x));

temp=['c='，num2str(c)];

title(temp);

gridon;

pause(0.1);

end

1.13作出函数*%)=x2+ecx

c=3

程序:x=-pi:0.1:pi;10000

forb=l:100;

c=0.l*b;

y=x.「2+exp(c*x);

plot(x,y);

temp=['c-,num2str(c)];

title(temp);

gridon;

(2)以子图形式绘制3条曲线

(3)分别用条形图、阶梯图、杆图和填充图绘

制3条曲线。

程序1：x=-2*pi:0.1:2*pi;

yl二x/2;

y2=cos(2*x);

y3=yl.*y2;

plot(x,yl,x,y2,x,y3)

程序2：x=-2*pi:0.1:2*pi;

y-2;

y2=cos(2*x);

y3=yl.*y2;

subplot(2,2,1);

plot(x,yl);

title('x/2');

subplot(2,2,2);

plot(x,y2);

title('cos(2*x)');

subplot(2,2,3);

plot(x,y3);

title('yl.*y2');

程序3：x=-2*pi:0.2:2*pi;

y3=(x-2).Mos(2*x);

subplot(2,2,1);

bar(x,y3);

图1.15.2

title(Jbar(x,y3)');

subplot(2,2,2);

stairs(x,y3);

title('stairs(x,y3)’);

subplot(2,2,3);

stem(x,y3);

title(,stem(x,y3)');

subplot(2,2,4);

y3,'b');

title(*bar(x,y2,〃3〃)');

图1.15.3.1

图1.15.3.3

图1.1532

2、极限与连续

目的通过计算与作图，从直观上揭示极限的本

质，加深对极限概念的理解.掌握用

Matlab画散点图，以及计算极限的方法.深入理解函

数连续的概念,熟悉几种间断点的图形

特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.

2.1观察数列｛指｝的前100项变化趋势.

程序：n=l:100;x=nthroot(n,n);stem(n,x)

2.2通过动画观察当九一8时数列

a„="—的变化趋势.图2.1

“2+2〃

程序：form=l:100

forn=(m-1)^3:m^2:m^3

xn=l/((rT2)+(2*n));

plot(n,xn,，o,);

holdon;

axis([0,n+10,0,xn*l.5]);

pause(0.05);

end

end

图2.2

2.3在区间14,4］上作出函数/（x）=m;史的图形，并研究

X'-X

limf(x)和

X->00X->1

程序：evaldezplot(f)));

gridon;x=sym('x');

limit_x_l=limit(f,x,1);

limit_x_inf=liniit(f,x,inf);

命令窗口显示为：

limit_x_inf=1

limit_x_l=NaN

limit_x_l_r=-Inf

=Inf

即x趋于无穷时极限为1；x趋于1

时极限不存在，但左右极限存在，分别为正无

图2.3

穷和负无穷。

2.4设数列+±+….计算

I323n3

这个数列的前30项的近似值.

作散点图，观察点的变化趋势.

程序：tempn=0;1.15

forn=l:30

tempn=tempn+l/(n3);

plot(n,tempn,'o');

105

gridon;

holdon;

end

图2.4

2.5定义数列x0=1,X„.可以

证明:这个数列的极限是区计算这个数列的前

30项的近似值.作散点图，观察点的变化趋势.

程序：tempn=l;

forn=l:29

tempn=(tempn+3/tempn)/2;

plot(n,tempn,5o*);

gridon;

holdon;

end

2.6计算极限图2.5

\2/+1+4〃「sinx-xcosx「Incotx

U；rlim------.⑵如胃F⑶lim-----------------lim----------

5n+1%-。xsinx%->+oinx

2

(5)limxInx(6)lim(7)lim(sin—+cos—)x

xf+0Xf+018XX

「(sinxl-cosxex-e~x-2x

(8)hm------(9)lim

x->0x—sinx

解：symsx;

(1)limit((2*rT3+1)/(5*rT3+1),x,inf)=2/5;

(2)limit(((-l)\+4^x)/(3Xx+1)+4«x+l)),x,+inf)=1/4;

(3)limit((sin(x)-x*cos(x))/(x-sin(x)),x,0)=2;

(4)limit(log(cos(x)/sin(x))/log(x),x,+0)=-l;

(5)limit(x12*log(x),x,+0)=0;

(6)limit(x^x,x,+0)=1;

(7)limit((sin(1/x)+cos(1/x))x,inf)=exp(l);

(8)limit((sin(x)/x)(1/(l-cos(x))),x,0)=exp(-1/3);

(9)limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)/(x-sin(x)),x,0)=2;

2.7讨论下列函数在指定点的连续性：

2

x—5x—61

(l)函数={―为一，在x=—1处的连续性;

-7x=-\

解：symsx;

limit((x2-5*x-6)/(x+1),x,+-1)

ans二一7

limit((x-2-5*x-6)/(x+l),x,--1)

ans=-5

f(-1)=-7;故f(x)在x=-l处不连续

]—X2—5x,Y>0

(2)函数g(%)=Jsinx'在x=0处的连续性;

-----x<0

、了

解：symsx;

limit(l-x^2-5*x,x,+0)=1

limit(sin(x)/x,x,-0)=1

g(l)=l,所以g(x)在x=l连续

3、导数

目的深入理解导数与微分的概念，导数的几何意义.掌握用Matlab求导数与高

阶导数的方法.深入理解和掌握求隐函数的导数，以及求由参数方程定义的函数的导数的方法.

3.1作函数/(%)=2/+3X2-12X+7的图形和在％=—1处的切线.

程序：f='2**-3+3**12-12*x+7';

df=diff(f);

ezplot(f);

holdon;

x=T;

k=eval(diff(f));

symsx;

f=2*x，'3+3*x，'2-12*x+7;

x=-l;

yO=eval(f);

x=-6:6;

plot(x,k*x+y0,，r，);

holdoff;

3.2求函数/(x)=sinaxcosbx的一阶导数.并求

程序：symsxab;

f=sin(a*x)*cos(b*x);

df=diff(f);

x=l/(a+b);

df_=eval(df)

结果：df=cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b

df_=cos(a/(a+b))*a*cos(b/(a+b))-sin(a/(a+b))*sin(b/(a+b))*b

3.3求函数丫=3°+2(尤-10)9的1阶到11阶导数.

程序：f=x"10+2*(xT0),9;

forn=l:11;

df=['dfC,Num2str(n),",char(diff(f,n))];

disp(df);

end

结果：df(l)=10*x-9+18*(xT0)“8

df⑵=90*x,8+144*(x-10)"7

df(3)=720*x'7+1008*(xTO16

df(4)=5040*x'6+6048*(xT0),5

df(5)=30240*x-5+30240*(x-10)'4

df(6)=151200*x*4+120960*(x-10)*3

df(7)=604800*x*3+362880*(xT0)“2

df(8)=1814400*x*2+725760*x-7257600

df(9)=3628800*x+725760

df(10)=3628800

df(ll)=O

3.4求由方程2%2—2孙+/+%+2〉+1=0确定的隐函数的导数.

程序：symsxy;

f=2*x"2-2*x*y+x+2*y+1;

dy_dx=diff(f,y)/diff(f,x);

dy_dx=「dy_dx='，char(dy_dx)];

disp(dy_dx);

结果：dy_dx=(-2*x+2)/(4*x-2*y+l)

3.5求由参数方程x=£cos/,y=e'sin%确定的函数的导数.

程序：x=exp(t)*cos(t);

y=exp(t)*sin(t);

dy_dx=diff(y,t)/diff(x,t);

dy_dx=['dy_dx='，char(dy_dx)];d

isp(dy_dx);

结果：dy_dx=(exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t))/(exp(t)*cos(t)-exp(t)*sin(t))

3.6对函数y(x)=x(x—i)(x—2),

观察罗尔定理的几何意义.

(1)画出y=/(x)与f(x)的图

形，并求出片与

⑵画出y=f(X)及其在点

(和/®))与氏,/(%))处的切线.

程序：symsx;

f=x*(xT)*(x-2);

mf=x.*(xT).*(x—2);

x=~2:0.1:4;

mf=x.*(xT).*(x-2);

plot(x,mf,'-');

holdon;

df=diff(f);

ezplot(df);

axis([-2,4,-6,6]);

xl_x2=solve(df);

x=eval(xl_x2(1));

y=eval(f);

x=~2:0.01:4;

plot(x,y,，l，);

x=eval(xl_x2(2));

y=eval(f);

x=~2:0.01:4;

plot(x,y,，r,)；

holdoff;

gridon;title(5观察罗尔中值定理的几何意义’);

gtext(['y='，char(f)]);

gtext(['y=',char(df)]);

gtext(fy=，,char(xl_x2(1))]);

gtext(fy=，,char(xl_x2(2))]);

3.7对函数/(%)=lnQ+x)在区间[0,4]

上观察拉格朗日中值定理的几何意义.

(1)画出y=及其左、右端点连线的

图形；

⑵画出函数y=尸(XL，"尸A。)的曲

4-0

线图，并求出才使得了'©=/(4)一/(°).

4-0

(3)画出y=/(x),它在J处的切线及它

在左、右端点连线的图形.

程序：symsx;

f=log(l+x);

x=0:0,01:4;

plot(x,eval(f));

holdon;

line([0,4],[0,eval(sym(，log(5)'))],'color'r',Tinewidth',2);

y-diff(f)-sym(，log(5)))/4;

ezplot(y);

k=sym(，log(5),)/4;

X=solve(y);

b=log(l+eval(X));

plot(x,eval(k)*(x-eval(X))+b,'r');

holdoff;

axis([0,4,0,1.7]);

gridon;

titleC拉格朗日中值定理')；

gtext(fy='，char(f)]);

gtext(fy='，char(y)]);

gtext(f切线']);

3.8求下列函数的导数：

1_r2,

(1)/(x)=arcsin(------)，求，(1)=?

1+x

程序：symsx;

f=asin((l-x^2)/(l+x^2));

df=diff(f);

x=l;

df_=eval(df)

df_二T即，(1)=-1;

(2)设y=ln(x+J/+'、),求

程序：diff(log(x+(x^2+a^2)(1/2)))=(1+1/(x"2+a"2)(1/2)*x)/(x+(x"2+a"2)(1/2)).

所以dy=(1+1/&-2+£2)-(l/2)*x)/(x+(x八2+a12)1(1/2))dx;

(3)y=x2ln(l+x),求=?

加1

程序：symsx;

y=x"2*log(l+x);

ddf=diff(y,x,2);

x=l;

ddf_=eval(ddf)

ddf_=3.1363

[x=a(，-sin，)dy

设《，求—

(3)[y=a(l-cost)dx

程序：symsta;

x=a：J：(t-sin(t));

y=a*(l-cos(t));

diff(y)/diff(x)

ans=sin(t)/(l-cos(t))

3.9求下列函数的微分：

(1)y=2~^；(2)y=ln(x+J/2+〃2).

(1)diff(2"(-1/cos(x)))=-2"(-l/cos(x))/cos(x)^2*sin(x)*log(2);

(2)diff(log(x+(x^2+a^2)(1/2)))=(1+1/(x^2+a^2)(1/2)*x)/(x+(x^2+a^2)"(1/2)).

3.10求下列函数的高阶导数：

(1)y=•由111,求)/1°());(2)y=炉cos光，求小助；

程序：symsx;

(1)diff(x*sinh(x),100)=100*cosh(x)+x*sinh(x);

(2)diff(x”*cos(x),10)=90*cos(x)-20*x*sin(x)-x「2*cos(x);

3.11求由下列方程所确定的隐函数y=y(x)的导数：

(1)\nx+ex=e\(2)arctan^-=InJx2+y1.

x'

程序1：symsxy;

f=log(x)+exp(-y/x)-exp(1);

dy_dx=diff(f,y)/diff(f,x);

dy_dx=['dy_dx=，,char(dy_dx)];

disp(dy_dx);

dy_dx=-l/x*exp(-y/x)/(1/x+y/x°2*exp(-y/x))

程序2：symsxy;

f=atan(y/x)-log((x^2+y^2)(1/2));

dy_dx=diff(f,y)/diff(f,x);

dy_dx=['dy_dx='，char(dy_dx)];

disp(dy_dx);

dy_dx=(l/x/(l+y^2/x^2)-l/(x^2+y^2)*y)/(-y/x^2/(l+y^2/x^2)-l/(x^2+y^2)*x)

3.12求由下列参数方程确定的函数的导数：

6t

「九二3"，

⑴|x=cos31,⑵i+t

[y=sin3r；

Ll+r

程序1：symst;

x=cos(t)3;

y=sin(t)3;

dy_dx=diff(y,t)/diff(x,t);

dy_dx=['dy_dx='，char(dy_dx)];

disp(dy_dx);

dy_dx=-sin(t)/cos(t)

程序2：symst;

x=6*t/(l+t/3);

y=6*/2/(l+l/3);

dy_dx=diff(y,t)/diff(x,t);

dy_dx=['dy_dx='，char(dy_dx)];

disp(dy_dx);

(1丫_(1*=(12粒/(1+1<3)-18*/4/(1+/3/2)/(6/(1+1/3)-18*/3/(1+/3/2)

3.13求函数y=2x「3+3x「2-12x+14在区间[-2,2]的极小值。

程序：symsx;

f=2*x"3+3*x^2-12*x+14;

df=diff(f,x);

s=solve(df)

s=[1,-2]

4、导数的应用

目的

理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法.理解曲线

的曲率圆和曲率的概念.进一步熟悉和掌握用Matlab作平面图形的方法和技巧.掌握用

Matlab求方程的根(包括近似根)和求函数极值(包括近似极值)的方法.

求函数的单调区间

4.1求函数y=/一2x+l的单调区间.

求函数的极值

4.2求函数丫=」亍的极值.

1+X

求函数的凹凸区间和拐点

4.3求函数>的凹凸区间和拐点.

l+2x2

4.4已知函数

125

/(%)=-?-2x5X4+60?-150%2-180.X-25,

22

在区间[-6,6]上画出函数/(.x),/-(x),/"(x)的图形，并找出所有的驻点和拐点.

程序：disp('输入函数(自变量为x)');

symsx;

f二input('函数f(x)=')；

df=diff(f);

cdf=char(df);

a二口;

count=0;

elf;

if(strfind(cdf,'x'))

sf二solve(df);

ezplot(df);

gtext(['y''二'，char(df)]);

disp(['y''二'，char(df)]);

count=count+1;

legendC一阶导');

holdon;

fori=l:size(sf);

a(i)=sf(i);

end

a=sort(a);

if(numel(a)~=0&numel(a)~=l&numel(a)~=inf)

fori=l:numel(sf);

strstart='-inf';

strend='+inf，;

if(i=l)

x=a(i)-l;

xO=Eval(df);

strend=num2str(a(i));

if(xO<O)

disp([，单调减区间',',strstart,5,*,strend,']']);

else

disp([，单调增区间',',strstart,*,*,strend,']']);

end

end

if(i-numel(sf))

x=a(i)+a(i-l);

xO=Eval(df);

x=a(i)+l;

xl=Eval(df);

strstart=num2str(a(i));

x=a(i);

y=Eval(f);

else

if(i=l)

x=a(i)-l;

else

x=a(i)-a(i-l);

end

xO=Eval(df);

x二(a(i)+a(i+l))/2;

xl=Eval(df);

strstart=num2str(a(i));

strend=num2str(a(i+1));

x=a(i);

y=Eval(f);

end

if(xl<0)

disp([，单调减反间'J区strstart,5,*,strend,*P]);

if(xO>O)

disp([，驻点：极大值','x=',num2str(a(i)),5,y=',num2str(y)]);

end

else

disp(f单调增区间',',strstart,Wstrend,']']);

if(xO<O)

disp([，驻点：极小值','x=，,num2str(a(i)),5,y=',num2str(y)]);

end

ddf=diff(df);

cddf=char(ddf);

if(strfind(cddf,'x'))

ssf=solve(ddf);

ezplot(ddf);

gtext([‘y''''='，char(ddf)]);

disp(['y''''='，char(ddf)]);

count=count+1;

b=[];

fori=l:size(ssf);

b(i)=ssf(i);

end

b=sort(b);

if(numel(b)~=0&numel(b)^=l&numel(b)~=inf)

fori=l:numel(ssf);

strstart二'-inf';

strend='+inf，;

end

end

end

if(i=l)

x=b(i)-l;

xO=Eval(ddf);

strend=num2str(b(i));

if(x0<0)

disp(f单调凸区间',',strstart,*,*,strend,']']);

disp(['拐点','x='，num2str(b(i))]);

else

disp([5单调凹区间'，',strstart,*,9,strend,']']);

disp(『拐点'，'x='，num2str(b(i))]);

end

end

if(i-numel(ssf))

x=b(i)+b(iT);

xO=Eval(ddf);

x=b(i)+l;

xl=Eval(ddf);

strstart=num2str(b(i));

else

if(i==l)

x=b(i)-l;

else

x=b(i)-b(i-l);

end

xO=Eval(ddf);

x=(b(i)+b(i+l))/2;

xl=Eval(ddf);

strstart=num2str(b(i));

strend=num2str(b(i+1));

end

if(xl<0)

disp(「单调凸区间'，',strstart,*,5,strend,']']);

disp([5相点'，‘x='，num2str(b⑴)]);

else

disp(「单调凹区间'，',strstart,*,5,strend,']']);

disp([，相点'，'x='，num2str(b(i))]);

end

end

end

elseif(numel(b)-1)

disp(「拐点'，'x='，num2str(b(l))]);

end

end

if(~(min(a)==[]|max(a)==[]))

ezplot(f,[min(a)-1,max(a)+1]);

else

ezplot(f);

gtext(fy='，char(f)]);

disp([，y=,char(f)]);

count=count+1;

end

switchcount

legendC一阶导'，'二阶导','原函数');

case2

legend('一阶导‘，’原函数‘)；

case1

legend()原函数')；

end

title('连续函数的性质');

gridon;

holdoff;

运行结果：输入函数(自变量为X)

函数f(x)=xA3-2*x+l

y'=3*xA2-2

单调增区间[-inf,-0.8165]

单调减区间[-0.8165,0.8165]

驻点：极大值x=-0.8165,y=2.088704

单调增区间[0.8165,+inf]0,3

驻点：极小值x=0.8165,y=-0.088662

y"=6*x

y=xA3-2*x+lo.i

4.2与4.3：

输入函数(自变量为X)

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-60246

函数f(x)=x/(l+2*xA2)

y'=l/(l+2*xA2)-4*xA2/(l+2*xA2)A2

单调减II间［-inf,-0.70711］

单调增区间［-0.70711,0.70711］

驻点：极小值x=-0.707U,y=-0.35355

单调减区间［0.70711,+inf］

图4.2

驻点：极大值x=0.707U,y=0.35355

y"=-12/(l+2*xA2)A2*x+32*xA3/(l+2*xA2)A3

单调凸区间［-inf,-1.2247］

拐点x=-1.2247

单调凹区间［-1.2247,0］

拐点x=-1.2247

单调凸区间［0,1.2247］

拐点x=0

单调凹区间［1.2247,+inf|

拐点x=1.2247

y=x/(l+2*xA2)

4.4：

输入函数（自变量为X）

函数f(x)=xA6/2-2*xA5-25*xA4/2+60*xA3-150*xA2-180*x-25

y'=3*xA5-10*xA4-50*xA3+180*xA2-300*x-180

单调增区间［-inf,-0.4591］

单调减区间［-0.4591,1.5529-1.8228i］

驻点：极大值x=-0.4591,y=19.7063

单调减区间［1.5529-1.8228i,1.5529+1.8228i］

驻点：极大值x=1.5529-1.8228i,y=-378.8847+558.3244i

单调增区间［1.5529+1.8228i,-4.4431］

驻点：极小值x=1.5529+l.8228i,y=-378.8847-558.3244i

单调减区间［-4.4431,5.1297］

驻点：极大值x=-4.4431,y=-5010.7825

单调增区间［5.1297,+inf］

驻点：极小值x=5.1297,y=-3445.4274

y"=15*xA4-40*xA3-150*xA2+360*x-300

单调凸区间［-inf,0.96967-0.77693i］

拐点x=0.96967-0.77693i

单调凸区间［0.96967-0.77693i,0.96967+0.77693i］

拐点x=0.96967-0.77693i

单调凸区间［0.96967+0.77693i,-3.2539］

拐点x=0.96967+0.77693i

单调凸区间［-3.2539,3.9812］

拐点x=-3.2539

单调凹区间［3.9812,+inf|

拐点x=3.9812

y=l/2*xA6-2*xA5-25/2*xA4+60*xA3-150*xA2-180*x-25

项目二一元函数积分学与空间图形的画法

1、一元函数积分学

目的掌握用Matlab计算不定积分与定积分的方法.通过作图和观察，深入理解

定积分的概念和思想方法.初步了解定积分的近似计算方法.理解变上限积分的概念.提高应用

定积分解决各种问题的能力.

不定积分计算

1.1求⑴JJd+fdx；(2)|excos2xdxo

程序：symsx;

y=[sqrt(x"3+x"4),exp(x)*cos(2*x)];

int(y,x)

ans=[-1/48*&八3+*八4)八(1/2)*(-16*@八2+*)X3/2)+12*(x^2+x)…(l/2)*x+6*(x^2+x)C(1/2)-

3*log(l/2+x+(xz'2+x)"(l/2)))/x/((l+x)*x)"(1/2),l/5*exp(x)*cos(2*x)+2/5*exp(x)*

sin(2*x)]

求定积分及广义积分

2

1.2⑴I(2)J(3ZX+2)6?X；(3)j]12烝；(4)^\x-2\dx.

r+oo2

⑸xe~xdx的值。

Jo

解：程序1：int(abs(l-x),1,2)

ans=1/2

程序2：symsx;symstreal;int(3*t*x"2+2,t,cos(t))

ans=t*(cos(t)"3-t"3)+2*cos(t)-2*t

程序3：symsx;int(1/(l+x^2),-inf,+inf)

ans=pi

程序4：int(abs(x-2),0,4)

ans=4

程序5：int(x*exp(-x^2),0,+inf)

ans=1/2

变上限积分

1.7画出变上限函数J；tsin产力及其导函数的图形.

程序：symsxt;

f=t*sin(t厂2;

s=int(f,0,x);

dispchar(f在0到

x的积分：',char(s)]);

ezplot(s);

holdon;

ezplot(diff(s));

holdoff;

legend('函数'，'导函数')；t

itleC变上限函数积分')

t*sin(t)l2'在0至I」x的积分：-l/2*x*cos(x)*sin(x)+l/4*x^2-l/4*cos(x)^2+1/4

求平面图形的面积

1.3求下列曲线与所围成图形的面积：

(1)与f+/=8(两部分都要计算)；(2)厂=J5sin夕与产=cos26

程序：

求平面曲线的弧长

1.4/(x)=sin(x+xsinx),计算(0,y(0))与(2%/(2不))两点间曲线的弧长.

程序：symsx;

f=sin(x+x*sin(x));

df=diff(f);

sqrtdf=sqrt(df*df')；

1二quad([*©(x)5,char(sqrtdf)],0,2*pi);

disp([char(f),5在[0,pi]积分为：'，num2str(1)]);

sin(x+x*sin(x))在[0,pi]积分为:9.398

求旋转体的体积

1.5求由曲线X2+(》-5)2=16绕X轴旋转所产