人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形教学设计及教学反思

第十八章平行四边形

18.1平行四边形

18.1.1平行四边形的性质

第1课时

学习目标【知识与技能】

1.理解平行四边形定义，能够依据定义探究平行四边形的性质.

2.掌握平行四边形的对角相等，对边相等性质，能用它们解决简单的实际问题.

3.掌握两条平行线间的距离的含义.

【过程与方法】

经历探索平行四边形的性质及运用性质解决简单的实际问题的过程，培养学生的推理和

演绎能力，发展学生的抽象思维和形象思维.

【情感态度】

在探索平行四边形的性质及运用性质解决问题的过程中，培养学生独立思考的习惯，感

受获得成功的乐趣，激发学习热情.

教学重难点

【教学重点】

平行四边形的对应角相等，对应边相等的性质的探究和应用.

【教学难点】

两条平行线间的距离的含义.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入，初步认识

现实世界中，四边形也在装点着我们的生活，宏伟的建筑物、铺满地面的地板、别具一

格的窗根、天空飞舞的风筝……处处都有四边形的身影，其中平行四边形与我们的生活关系

更为密切，你能举出一些日常生活中的平行四边形的例子吗？

【教学说明】学生相互交流，通过日常生活中的平行四边形实例感受平行四边形的含义,

初步体验平行四边形的特征.

二、思考探究，获取新知

平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形是平行四边形，通常用“口”表示，

如“平行四边形ABCD”可记作"口ABCD”.

思考如图所示的口ABCD中，除了“两组对边分别平行”外，它的边、角之间有什么

关系？你能说明原因吗？

1

【教学说明】教师提出问题后，学生独立思考并相互交流.教师关注学生的交流活动，

针对学生思考结果的实际情况，开展师生互动，如教师提问、学生自主交流或学生向教师提

出质疑等，让学生能感受到要想获得观察和猜想中结论“平行四边形的对角相等”、“平行四

边形的对边相等”时，需通过添加辅助线获得全等三角形来达到目的，从而理解并掌握平行

四边形的这些性质.在引导学生连接对角线AC（或BD）后，让学生自己完成证明，达到获取

知识的目的，教师也可引导学生在论证“两组对角分别相等”时，还可利用平行四边形的平

行线性质得到结论.

平行四边形的性质

平行四边形的对边相等；

平行四边形的对角相等.

探究如图，a,b是两条平行线，从直线a上任一点A向直线b作垂线，垂足为B,再

过a上另一点C作CD±b于D,你能发现AB与CD的关系吗？

____C

□_______□__

【教学说明】学生相互交流，教师关注学生对问题的探讨过程，让学生获得平行线间的

距离的感性认识，最后教师予以解释、归纳和总结，得出结论，两条平行线间的距离：过一

条平行线上任一点作另一条平行线的垂线，这点和垂足之间的线段的长度叫做两条平行线间

的距离.

三、典例精析，掌握新知

例1如图，小明用一根长为36m的绳子围成了一个平行四边形场地，其中AB边长为

8m,其他三边的长各是多少？

解：；四边形ABCD是平行四边形，；.AB=CD,AD=BC.

VAB=8m,，CD=8m.又AB+BC+CD+DA=36m,

.,.AD=BC=10m.即其他三边长分别为10m,8m,10m.

例2如图，在口ABCD中，BE平分NABC交AD于E,DF平分NADC交BC于F.求证:

BE/7DF.

【分析】要证明BE〃DF,依据图形特征，需得到同位角NBEA=/FDA或/EBF=/DFC.

2

这时联想到平行四边形的性质有NABC=NADC,AD〃BC,再借助角平分线定义可得到结论.

证明：：四边形ABCD是平行四边形，；.AD〃BC,ZABC=ZADC.

VBE平分NABC,Z2=-ZABC.

2

又DF平分NADC,.\Z3=-ZADC,.\Z2=Z3.

2

：AD〃BC,，N1=N3,，BE〃DF.

【教学说明】上述两例均可让学生自己独立完成，最后教师再展示解答过程.

四、运用新知，深化理解

1.一个平行四边形的一个内角是58°,这个平行四边形的每个内角的度数是多少？为

什么？

2.如图，在口ABCD中，AE_LBC于E,AFJ_CD于F,且/EAF=60°,BE=2cm,DF=3cm,

试求口ABCD的周长.

【教学说明】第1题可由学生独立完成，而第2题教师应给予适当点拨，先求/C=120°,

从而/B=/D=60°.易有/BAE=/DAF=30°,从而AB=2BE=4cm,AD=2DF=6cm,从而可得结论.

【答案】1.解：由于平行四边形的两组对边分别平行，故它的邻角互补，所以它的每个

内角分别为122°,58°,122°,58°.

2.解：VAE±BC,AF±CD,ZEAF=60°,

.♦./C=360°-90°-90°-60°=120°.

.*.ZB=ZD=180°-120°=60°.AZBAE=ZDAF=90°-60°=30°.

在Rt/XABE中，/BAE=30°,BE=2cm,；.AB=2BE=4cm.

同理：AD=2DF=6cm.

故口ABCD的周长为2(AB+AD)=2X(4+6)=20cm.

五、师生互动，课堂小结

1.在探索平行四边形性质的过程中，你有哪些认识？

2.在运用平行四边形的性质解题时，应注意哪些问题？

课后作业

1.布置作业：从教材“习题18.1”中选取.

2.完成练习册中本课时练习.

教学反思

教学反思

本课时中，课本的设计意图是利用图形平移和旋转的特征来得出平行四边形的性质.因

此教学时应先列出日常生活中所用到的一些物体，体会平行四边形在日常生活中的广泛应用,

进而给出平行四边形的定义，从定义出发得到第一个性质，再由学生动手操作和教师演示旋

转得到其他性质.因为本章课标明确要求学生能够严格说理过程，所以教师在得出平行四边

形性质的同时要加上几何语言的描述，在练习中也要注意规范学生的说理过程.

3

18.1.1平行四边形的性质

第2课时

学习目标【知识与技能】

理解并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质，并能用它来解决问题.

【过程与方法】

通过活动探究获得平行四边形的对角线互相平分的性质过程中，增强学生的合作交流意

识和探究精神，培养分析问题，解决问题的能力.

【情感态度】

在问题解决过程中让学生体验成功的快乐，激发学习数学的兴趣.

教学重难点

【教学重点】

平行四边形的对角线互相平分这一性质的探究与应用.

【教学难点】

综合运用平形四边形性质解决问题.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入，初步认识

探究如图，在纸上画口ABCD,将它剪下，再在一张纸上沿DABCD的边缘画一个与口

ABCD相同的口EFGH.在它们的中心（两条对角线的交点）钉一个图钉，将口ABCD绕点0

旋转180。后，它能与口EFGH重合吗？从中你能看出上节课得到的口ABCD的边、角关系

吗？进一步地，你能发现OA与OC,OB与OD的关系吗？

【教学说明】教学时，教师应给出适当的时间让学生能够完成操作实践，并通过观察思

考获得结论，一方面巩固上节课学过的两个性质，另一方面又为本节探讨平行四边形对角线

互相平分的性质作铺垫，引入新课.

二、思考探究，获取新知

通过口ABCD绕点。旋转180°后与口EFGH重合，易发现OA=OC,0B=0D这一结论，于

是有：平行四边形的对角线互相平分，即在口ABCD中，AC、BD相交于0,则有0A=0C,0B=0D.

思考请观察下边的图形（在口ABCD中，AC、BD相交于0）,你能证明上述结论吗？

RC

4

【教学说明】教师可引导学生利用三角形全等来得到上述结论，让学生自主完成证明过

程.

三、典例精析，掌握新知

例1如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB=10,AD=8,AC±BC,求BC、CD、AC、

OA的长及口ABCD的面积.

【分析】由平行四边形的对边相等易知BC=AD=8,CD=AB=1O,再在RtaACB中，AB=1O,

BC=8,ZACB=90°,.\AC=6,由平行四边形的对角线互相平分知0A=0C=12AC=3,从而易得O

ABCD的面积为BCXAC=6X8=48.

【教学说明】教师给出本题后，应让学生先独立完成试试，然后教师给出评讲，让学生

在成功或挫折中加深对知识的领悟.

例2如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点0,过点0的一直线交AD于E,交BC

于F.求证：OE=OF.

【分析】由平行四边形的性质有OA=OC,又AD〃BC,故NEA0=/FC0,又由/AOE=/COF

易知AAOE丝△COF,从而OE=OF.

【教学说明】本例仍可先让学生自己独立完成，然后相互交流，教师巡视，对有困难同

学及时予以指导.

四、运用新知，深化理解

1.如图，在口ABCD中,BC=10cm,AC=8cm,BD=14cm,ZXAOD的周长是多少？为什么？

△ABC与aDBC的周长哪个长？长多少？

2.如图，口ABCD的周长为50cm,对角线AC、BD相交于点0,且aAOB的周长比△BOC

的周长长7cm,求口ABCD的各边长.

3.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0.

(1)若AB=4,AD=8,求对角线AC的范围；

(2)若AB=4,BD=10,求对角线AC的范围.

5

AD

R----------------C

4.如图，王大爷有一块平行四边形菜地，现在想把它分成面积相等的两块，两块地中间

挖一条与一组对边AD、BC都垂直的水沟，你能帮助他完成这个分法吗？

RL____________/C

【教学说明】通过上述四道题的探究，可进一步增强学生对平行四边形性质的认识，积

累解题经验，锻炼分析问题，解决问题的能力.

【答案】1.解:在口ABCD中，AC=8cm,BD=14cm.

.•.A0=l/2AC=4cm,D0=l/2BD=7cm.

AAOD的周长是A0+0D+AD=4+7+10=21cm.

又,:△ABC的周长为AB+AC+BC=AB+8+1O=AB+18,

△DBC的周长为BD+CD+BC=14+AB+10=24+AB.

.♦.△DBC的周长比AABC的周长长，长(24+AB)-(18+AB)=6cm.

2.解：OABCD的周长为50cm,

A2(AB+BC)=50cm,即AB+BC=25cm①，

由平行四边形的性质得：A0=C0,

故(AB+AO+BO)~(BO+CO+BC)=AB_BC=7cm②，

联系①②解得：AB=16cm,BC=9cm.

即ZZ7ABCD的边长分别为16cm,9cm,16cm,9cm.

3.解：⑴；四边形ABCD是平行四边形，；.BC=AD,

在aABC中，BC-AB<AC<BC+AB,.\8-4<AC<8+4,即4VAec12.

(2)•.•BO=12BD=5,.\BO-AB<OA<BO+AB,

.\5-4<0A<5+4,AKOAO,A2<AC<18.

4.解：(1)连接AC、BD交于点0；

(2)过点0作OELAD于点E,延长E0交BC于点F,则EF即为水沟的位置.

五、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你又有哪些收获？与同伴交流.

课后作业

1.布置作业：从教材“习题18.1”中选取.

2.完成练习册中本课时练习.

教学反思

本课的教学是在前一课时的基础上对平行四边形对角线的性质进行探索.本课时教学时,

应关注以下几个方面：

(1)新课讲解过程中，要让学生通过观察、拼一拼、折一折、量一量等方法去探究，

去亲身感受知识的形成和发展过程.

(2)在练习的过程中要注意方法指导和“转化”思想的渗透.比如：当学生利用连接对

6

角线方法来解决实际问题后，老师应该强调，我们在解决四边形问题时常用的方法是将其“转

化”成三角形问题.

（3）对于学生的练习情况要多用多媒体来展示，使说和写有利地结合起来，培养学生

的论证推理能力.

18.1.2平行四边形的判定

第1课时

学习目标【知识与技能】

掌握平行四边形的判定方法1,2,3,能用它们来证明一个四边形是否是平行四边形.

【过程与方法】

在观察、实验、猜想、验证、推理、交流等活动过程中，让学生感受数学思考过程的条

理性及解决问题策略的多样性，发展学生的动手操作能力，推理能力及数学应用意识.

【情感态度】

在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探索、质疑和独立思考的习惯，发展学

生的实践能力和创新意识.

教学重难点

【教学重点】

平行四边形的判定方法1，2,3.

【教学难点】

平行四边形判定方法的探寻过程.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入，初步认识

问题（1）平行四边形的定义是怎样的？

（2）平行四边形有哪些重要性质？

（3）反过来，如果一个四边形的对边平行、对边相等、对角相等或对角线互相平分，

这个四边形能是平行四边形吗？

【教学说明】教师展示问题（1）、（2）,让学生对前面所学的知识进行系统回顾，并展

示问题（3）,引入新课.

二、思考探究，获取新知

观察思考如图（1）,将两长两短的四根木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使

等长的木条成为对边.转动这个四边形，使它形状改变，在图形的变化过程中，这个四边形

一直是平行四边形吗？如图（2）,将两根细木条AC、BD的中点用小钉绞合在一起，用橡皮

筋连接木条的端点，做成一个四边形ABCD,转动两根木条，则图中的四边形ABCD一直是平

行四边形吗？

7

A

DAD

BC

(2)

【教学说明】教师展示事先制作好的实物模型，让学生观察思考，在感性上认识具有两

组对边分别相等或对角线互相平分的四边形是平行四边形，然后提出请学生尝试着证明这些

结论.教师巡视，引导学生通过连接对角线，先证明三角形全等，从而得到两对边平行，来

论证两组对边分别相等的四边形是平行四边形，同样地可论证对角线互相平分的四边形是平

行四边形.

探究求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

【分析】本例应关注两个方面，一是引导学生回顾证明一个命题的一般步骤，即依题意

画出合适的图形，标注字母后，写出已知、求证，再进行证明；二是让学生自主探究，选择

恰当的方法来证明这个命题.由两组对角分别相等及四边形内角和为360。容易得到四组同

旁内角互补，从而可利用平行四边形定义来证明更方便些.

【教学说明】本例的解答过程由学生自己完成，教师巡视指导；关注学生的解题格式和

论证思路.

平行四边形的判定定理

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

对角线互相平分的四边形是平行四边形.

三、典例精析，掌握新知

例如图，四边形ABCD是平行四边形，点E,F是对角线AC上两点，且AE=CF.求证:

四边形BFDE是平行四边形.

（分析】若连BD交AC于0,由口ABCD的性质易知0B=0D,0A=0C,又AE=CF,从而0E=0F,

故四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.事实上，还可以分

别证明4ADE丝aCBF,AABE^ACDF,得DE=BF,BE=DF,也能证明四边形DEBF是平行四边

形；也可以证明NBEF=NDFE,ZDEF=ZBFE,得BE〃DF,DE〃BF,利用平行四边形定义证

明四边形BEDF是平行四边形.同样也可以通过三角形全等，推出两组对角相等，进而得出四

边形BEDF是平行四边形.

【教学说明】在教师与学生一道分析后，证明过程由学生自己独立完成，同时可选取四

名同学上黑板按四种不同方法给出证明过程,一方面加深学生对平行四边形判定方法的理解,

另外通过一题多解也能开拓学生思维，增强分析问题、解决问题的能力.也可将全班同学分

成四个小组分别用四种不同方法来试试，教师巡视，对有困难同学应及时予以指导.

四、运用新知，深化理解

1.已知I,四边形ABCD中，ZA=ZC=55°,则当NB二时，四边形是平行四边形.

2.如图，已知四边形ABCD中，Z1=Z2,N3=N4.BE〃DF.求证：四边形ABCD是平行四

边形.

8

AD

第2题图第3题图

3.已知：如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,对角线AC、BD相交于点0,B0=D0.求证:

四边形ABCD是平行四边形.

【教学说明】由学生独立完成，然后相互交流，进一步掌握用“两组对边分别相等”，

“两组对角分别相等”，“对角线互相平分”的方法判定四边形是平行四边形，教师巡视指导.

【答案】1.125°.

2.证明：：BE〃DF,，/3=NEBF,

又N3=N4,；./4=NEBF,；.DE〃BF,四边形BEDF是平行四边形.

.,.DE=BF,BE=DF.

在aABE和4CDF中，Z1=Z2,DF=BE,Z3=Z4,

.,.△ABE^ACDF.AAB^D,AE=CF.

，AE+DE=CF+BF,即AD=BC,四边形ABCD是平行四边形.

3.证明：VAB/7CD,.,.ZAB0=ZCD0,

在AABO和aCDO中,ZABO=ZCDO,BO=DO,ZAOB=ZCOD,

/.△ABO^ACDO,.\AO=CO,

又•••BO=DO,Z.四边形ABCD是平行四边形.

五、师生互动，课堂小结

谈谈这节课学习的体会和收获，学生相互交流，各抒己见，最后教师进行总结归纳.

课后作业

1.布置作业：从教材“习题18.1”中选取.

2.完成练习册中本课时练习.

教学反思

本课时是有关于平行四边形的前三种判定方法，教师教学时应采用师生共同探究的方法

来得出结论.另外，教师最好要求学生将每种判定的数学语言和符号语言都按格式书写出来,

这样有利于学生数学习惯的培养.

18.1.2平行四边形的判定

第2课时

学习目标【知识与技能】

1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.

2.理解三角形中位线定理.

3.能灵活运用平行四边形的判定定理解决问题.

【过程与方法】

在“活动操作一一观察思考一一推理论证”等活动过程中，进一步锻炼学生的分析能力

9

和解决问题能力.

【情感态度】

在操作活动和观察、分析过程中培养学生主动探索、质疑和独立思考的习惯.

教学重难点

【教学重点】

平行四边形的判定定理及三角形中位线定理.

【教学难点】

平行四边形判定定理的灵活运用.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入，初步认识

问题前面我们通过用细木棒绞在一起的方式感受到“两组对边分别相等的四边形是平

行四边形”及“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这些重要结论，那么，按如图方式，

将两根等长的木条AB、CD平行放置，再用两根木条AD、BC加固，得到的四边形ABCD也能

是平行四边形吗？如果是平行四边形，你能说明理由吗？

【教学说明】承接上节课的数学思考，通过观察教师展示的实物模型，让学生再次感受

平行四边形是现实生活中的重要模型，从而激发学生的学习兴趣，增强求知欲望，导入新课.

二、思考探究，获取新知

试_试

如图，在四边形ABCD中，AB〃CD且AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.

【教学说明】教师提出问题后，帮助学生分析题设条件和需解决的问题是什么，如何利

用现有条件通过添加辅助线达到论证结论的目的，从而完成证明.证明过程由学生完成.

【归纳结论】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

(1)你能用几种方法证明“试一试”的问题？不妨试试看，并与同伴交流.

(2)说说看，要判定一个四边形是平行四边形，你有哪些方法？

【教学说明】通过想一想，即可巩固前面所学过的三个判定定理，又能系统地完成对知

识的领悟，并可让学生灵活选用不同方法来解决问题，增强分析问题、解决问题的能力.

练一练

如图，点D、E分别是AABC的边AB、AC的中点，连接DE.求证：DE〃BC,且DE=，BC.

2

10

A

【分析】(1)可延长DE至F,使DE=EF,连接CF,CD,AF.由于E为AC中点，从而易

知四边形ADCF是平行四边形，有CF〃AD,CF=AD.又D为AB中点，故CF上BD,又有四边形

BCFD是平行四边形，故DE〃BC,DE=，DF=LBC,得到结论；

22

(2)过C作CF〃AB交DE延长线于F,易证AADE丝ACFE,；.CF=AD,DE=EF.又D为

AB中点，；.AD=BD,...CF^BD,故四边形BCFD是平行四边形，也能得到结论.

【教学说明】教师而后，让学生自己完成证明过程.一方面可加深对平行四边形判定

定理的理解，另一方面可锻炼学生的语言表述能力.教师巡视，关注学生完成情况，对有困

难的同学给予帮助.通过上述思考，你能发现其中的规律性特征吗？

三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

三、运用新知，深化理解

1.如图，在aABC中，点D在BC上，且DC=AC,CELAD于点E,点F是AB的中点，求

证：EF/7BC.

系？为什么？

3.0是AABC所在平面内一动点，连接0B、0C,并将AB、OB、0C、AC中点D、E、F、G

依次连接起来，设DEFG能构成四边形.

(1)如图，当点0在AABC内时;求证：四边形DEFG是平行四边形；

(2)当点0在AABC外时，(1)的结论是否成立?画出图形并说明理由.

4.如图，E、F是四边形ABCD对角线AC上两点，AF=CE,DF=BE,DF〃BE.求证：四边形

ABCD是平行四边形.

【教学说明】让学生自主探究，独立完成，然后相互交流，探寻结论.教师巡视，发现

问题及时予以点拨.

【答案】1.证明：••♦DC=AC,且CELAD于点E,；.AE=ED.又...点F是AB的中点，，AF=FB,

AEF<AABD的中位线.，EF〃BC.

2.解：EM=NF,理由如下：在口ABCD中，AD/7BC,又；EF=MN,二四边形EMNF是平行

四边形，Z.EM=NF.

11

3.证明:(1)TAB、OB、OC、AC中点分别为D、E、F、G,，DG、EF分别为aABC和4

OBC的中位线，；.DG〃BC,EF〃BC,DG=12BC,EF=12BC,，DG〃EF且DG=EF,/.四边形DEFG是

平行四边形.

(2)如图所示,0在AABC外，TAB、OB,OC、AC中点分别为D、E、F、G,，DG、EF

分别为AABC和△OBC的中位线，，DG〃BC,EF〃BC,DG=1/2BC,EF=1/2BC,

.,.DG/7EF且DG=EF,/.四边形DEFG是平行四边形.

4.证明：VDF/7BE,AZDFA=ZBEC.在aADF和4CBE中，DF=BE,ZDFA=ZBEC,AF=CE,

AAADF^ACBE,.\AD=BC,ZDAF=ZBCE..\AD/7BC,四边形ABCD是平行四边形.

四、师生互动，课堂小结

1.平行四边形的判定方法有哪些？如果从边看，可用哪几种方法判定四边形是平行四边

形？从角看可用哪种方法论证四边形是平行四边形？从对角线上看呢？

2.平行四边形知识的运用有哪些？

课后作业

1.布置作业：从教材“习题18.1”中选取.

2.完成练习册中本课时练习.

教学反思

这一课时也是有关平行四边形的判定的内容，教师教学时可沿用上一课时的做法.通过

这两节课的学习，学生一般会基本掌握学习几何证明题的方式和方法，基本能应用平行四边

形的性质和判定方法解决问题.在以后的学习过程中最主要的任务是让学生落实到笔头上，

即要让学生学会反思做完的每一道题.

18.2特殊的平行四边形

18.2.1矩形

第1课时

学习目标【知识与技能】

1.了解矩形的定义，理解矩形的性质，能利用矩形的性质解决问题.

2.掌握直角三角形斜边上的中线的性质，能运用它解决直角三角形中的线段求值问题.

【过程与方法】

在观察、探究、归纳、推理论证等活动过程中，加深学生对知识的理解和掌握，锻炼分

析问题、解决问题的能力，增强数学应用意识.

【情感态度】

进一步增强学生的逻辑推理能力，发展数学思维.

12

教学重难点

【教学重点】

矩形的性质及其推论.

【教学难点】

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入，初步认识

观察思考，如图（1）将两长两短的四根木条用小钉较合在一起，使等长的木条成为对

边,这样就得到一个平行四边形，即OABCD；转动这个四边形使A，BzJ_B'C'时如图（2）,

就得到一个特殊的平行四边形，你能说出这时平行四边形A'B'C'D'是什么图形吗？与

同伴交流.

A._______J)A'_______D'

1口l，

OCB'c

(1)⑵

【教学说明】教师展示准备好的用木条做成的平行四边形框架，转动这个平行四边形,

让学生观察角的变化.当一个角变为直角时，所得到的图形是矩形.让学生感知矩形是一种特

殊的平行四边形，引入新课.

二、思考探究，获取新知

矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也叫长方形.矩形是轴对称图形，它有

两条对称轴，分别是连接对边中点的直线；矩形具有平行四边形的所有性质，即矩形的对角

相等，对边平行且相等，对角线互相平分.

想一想矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？与同伴交流.

【教学说明】老师可引导学生通过矩形的边、角、对角线三个方面进行思考，从而易得

到矩形的性质.

矩形的特殊性质

矩形的四个角都是直角（或矩形的四个角都相等，均为90°）；

矩形的对角线相等.（这一性质可让学生自己证明.）

思考如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于0,则有0A=0B=0C=0D.如果擦去图中

线段AD,OD,CD,你能发现什么有趣的结论？说说看.

【教学说明】在学生得到0B=0A=0C后，教师应引导学生将这一结论用文字表述清楚.

【归纳结论】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

三、典例精析，掌握新知

13

例1如图，矩形ABCD的对角线相交于点0,ZA0B=60°,AB=4cm,求矩形的对角线的长.

解：：四边形ABCD是矩形，...AC与BD相等且互相平分....OAnOB.

又NA0B=60°..♦.△AOB是等边三角形.

/.0A=AB=4cm矩形的对角线长AC=BD=2OA=8cm.

例2如图，在四边形ABCD中，NABC=NADC=90°,点M,N分别为对角线AC、BD的

中点，连接MN.求证：MNXBD.

证明：连接BM,DM.VZABC=ZADC=90°,且M为AC边中点，，DM=-AC,BM=-AC,

22

即DM=BM.又为BD中点，，MN，BD（等腰三角形三线合一）.

四、运用新知，深化理解

1.如图，四边形ABCD是矩形，找出相等的线段和相等的角.

2.如图，矩形ABCD的对角线交于点0,0F1AD于点F,0F=4cm,AE1BD于点E,且BE：

BD=1：4,求矩形ABCD的周长.

【教学说明】学生独立作业，教师巡视，适时予以点拨.第2题，可引导学生先得出△

AOB形状为等边三角形，再得出AB=A0=20F=8cm,即可求出.

【答案】1.解:相等的线段有：OA=OB=OC=OD,AC=BD,AB=CD,AD=BC,相等的角有:Z

ABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,ZAOD=ZBOC,ZAOB=ZCOD,ZOAB=ZOBA=ZOCD=ZODC,

ZOAD=ZODA=ZOBC=ZOCB.

2.解:在矩形ABCD中，AC=BD,A0=-AC,B0=-BD,...AOBO.又；BE：BD=1：4,A

22

BE：B0=l：2,；.BE=EO.又AE±BO于点E,由中垂线性质得AB=AO..'.AABO为等边三角形.

二/0AB=60".；./0AF=/BAD-/0AB=30°.：OFJ_AD于点F,AB=A0=20F=2X4=8(cm).

22

.\AC=2A0=16(cm).RtZXABC中，BC=^AC-AB=8百(cm)./.C»ABCD=2(AB+BC)

=2X(8+873)=(16+16V3)(cm)

14

五、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习你有哪些收获？你能说说矩形有哪些性质吗？

课后作业

1.布置作业：从教材“习题18.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习.

教学反思

学生在小学阶段已经学习了长方形的相关知识，而矩形就是长方形，所以学生对矩形的

基本知识已经有一定的了解，而且有前一节探究平行四边形有关知识作为基础，学生已具有

一定的独立思考和探究的能力.所以本节课主要在学生已有的认知水平上，在实际问题情景

中，由学生自主探索发现矩形的性质定理，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程,

亲身体验数学思想方法，促进学生能力的提高.

18.2.1矩形

第2课时

学习目标【知识与技能】

理解并掌握矩形的判定方法，能用判定定理判断一个四边形是否是矩形.

【过程与方法】

在观察、探究的过程中，逐步感受矩形的判定定理，增强学生分析问题、解决问题的能

力.

【情感态度】

进一步锻炼学生的数学应用能力，增强合作交流，探究创新意识.

教学重难点

【教学重点】

矩形的判定定理.

【教学难点】

对角线相等的平行四边形是矩形及对角线相等且互相平分的四边形是矩形的理解.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入，初步认识

问题在前面，我们己探讨出判别一个四边形是平行四边形还是矩形？也可以说，用什

么方法来判别一个四边形是矩形呢？

想想看，与同伴交流.

二、思考探究，获取新知

由定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形.这是判别一个平行四边形是矩形的最基

本的方法.思考我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的四边形是矩形吗？如果

15

是，请说明理由；如果不是，请举一反例，并说说什么样的四边形对角线相等时，它是矩形

呢？

【教学说明】教师提出问题，让学生思考，在相互交流中加深认识.同时，教师可根据

学生的探讨结论进行适当评析，帮助学生获取正确认知.请观察图（1）,在四边形ABCD中，

尽管AC=BD,但它不是矩形，图（2）中，在ABCD中，若有AC=BD,则此ABCD是一个矩

形.你能说明理由吗？

【教学说明】教师引导学生对图（2）进行论证，此时只要证明aABC空ADCB即可得到

NABC=NDCB,又AB〃CD,AZABC=ZDCB=90°,由定义知，OABCD是矩形.

【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形.也可以说：对角线相等且互相平分的四

边形是矩形.

想一想工人师傅在做门框或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等,

常常还要测量它的对角线是否相等，以确保图形是矩形.请你说说其中的道理，不妨试试看.

练一练求证：有三个角是直角的四边形是矩形.

【教学说明】这一结论的证明不难，可由学生自己完成.教师应关注学生是否能规范地

画图，写已知，求证，并给予证明.

【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.

三、典例精析，掌握新知

例1如图，在OABCD中，对角线AC、BD相交于0,且AC=8cm,若A0B是等边三角

形，求此平行四边形的面积.

解：在QABCD中,对角线AC、BD相交于0,/.0A=0C,0B=0D.又:△AOB是等边三角

形，.\OA=OB,/.OA=OB=OC=OD,ZZ7ABCD是矩形.又：AC=8cm,.•.0A=0B=AB=4cm.在RtZXABC

中,AC=8cm,AB=4cm,BC=4£cm.AS口eABXBC=4X4G=166cm2.

例2如图，OABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H,试说明四边形EFGH

为矩形.

解：VAB/7CD,.,.ZABC+ZBCD=180°.；BG平分NABC,CG平分/BCD,NGBC+NGCB=

-X180°=90°，得NBGC=90°.同理可知NAFB=NAED=90°..•.NGFE=90°..•.四边形EFGH

2

为矩形.

16

【教学说明】以上两例也可先让学生探究，然后教师予以评讲，加深学生对矩形判定定

理的理解和应用.

四、运用新知，深化理解

1.如图，在口ABCD中，点E、F为BC边上的点，且BE=CF,AF=DE,求证：口ABCD是

矩形.

2.如图，0是直线MN上一点，C是射线0P上一点，OA、0B分别平分NMOP,ZNOP,F

为CO的中点，过F作DE〃MN,交OA、0B于点D、E.求证：四边形CDOE为矩形.

【教学说明】让学生自主探究，独立完成，然后相互交流，探寻结论，教师巡视，发现

问题及时予以点拨.

【答案】1.证明：二•四边形ABCD是平行四边形.；.AB=CD,：BE=CF,，BF=CE.又；AF

=DE,.,.△ABF^ADCE..\ZB=ZC,又：AB〃CD,/B+/C=18O°,.,./B=/C=90°.口

ABCD是矩形.

2.证明:：DE〃MN,/.Z1=Z3,而/2=/3.；./l=/2.；.OF=EF.同理可得OF=DF,:.

DF=EF.又CF=OF,故FC=FD=FO=FE.?.四边形CDOE为矩形.

五、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习你有哪些收获？与同伴交流.

【教学说明】学生在反思学习的过程中，巩固矩形的判定定理的理解，系统地掌握本节

知识.

课后作业

1.布置作业：从教材“习题18.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习.

教学反思

本课时是有关矩形判定的问题.由于有前面的知识作铺垫,教师可让学生自己尝试探讨

矩形的判定方法，并将矩形的判定与平行四边形的判定作比较，再与其他同学交流，说出矩

形与平行四边形的区别与联系，进而更好地掌握知识.在本课时的教学中，教师应最大限度

地将课堂交给学生，提高学生学习的积极性与主动性.

18.2.2菱形

17

第1课时

学习目标【知识与技能】

了解菱形的定义，理解并掌握菱形的性质，能运用菱形的性质来解决问题.

【过程与方法】

在经历观察、探究、推理、应用等活动过程中，发展学生的抽象思维和形象思维，培养

学生的推理能力和演绎能力，发展应用意识.

【情感态度】

在探索菱形的性质过程中，培养学生独立思考的习惯，在数学活动中获得成功的体验,

激发学习数学的兴趣.

教学重难点

【教学重点】

菱形的性质及其应用.

【教学难点】

菱形的性质的证明.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入，初步认识

如图，是用四根木条搭成的一个平行四边形框架A'B'CD,平移木条卜B'至AB,使

得AB=AD,这时所得到的平行四边形ABCD有什么特征？说说看，并与同伴交流.

【教学说明】通过实物模型让学生感受由平行四边形演变成菱形的过程，体会到菱形也

是一种特殊的平行四边形，在感性认识的基础上加深理解.

二、思考探究，获取新知

定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.菱形也是日常生活中十分常见的一种图形,

如门窗的窗格，美丽的中国结，伸缩的移动门等，你还能举出一些菱形图案的实例吗？

探究如图将一张矩形的纸对折两次，然后沿虚线剪下，再打开，就得到一个菱形.观

察得到的菱形，它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？你能看出

图中有哪些线段或角相等？

【教学说明】教师引导学生按图中方法自己动手剪出一个菱形，再根据它的轴对称性,

观察其中相等的线段或角，猜想菱形四条边相等和对角线互相垂直，并且对角线平分对角等

18

性质.然后让学生证明.在活动过程中，教师应关注学生对折矩形是否规范，对所剪出的菱形

是否能积极主动探索它的性质，是否有合作交流意识等.

菱形的性质

菱形的四条边都相等；

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

看一看（1）如图所示的是菱形和平行四边形，看看它们的对角线将各自分成的四个

三角形的什么特征？

（2）对于图中的菱形ABCD,如果知道它的两条对角线的长，你能求出它的面积吗？说

说你的想法.

三、典例精析，掌握新知

例1菱形的花坛ABCD的边长为20m（如图所示），ZABC=60°.沿着菱形的对角线修建

了两条小路AC和BD,求两条小路的长和花坛的面积.

【分析】：/ABC=60°,又AB=BC,故aABC为等边三角形，.•.AC=AB=20m.由菱形性质可

知，AC±BD,AO=OC=10m,NABO=^NABC=30°.；.OB=OD=10百m,即BD=2（）Gm;故S菱形

2

ABCD=-AC•BD=200A/3m2.

2

例2如图，四边形ABCD是菱形.对角线人©=8颔,8口=6。111,口11，人8于乩求口11的长.

【分析】由菱形性质及AC=8cm,BD=6cm,易得菱形边长AB=5cm.又D1I±AB于II,这样可

由SAAM=-S.AKO得至|JAB«DH=-AC-BD,从而可求线段DH的长，即DH=工AC•BD/AB='X

2'222

8X6/5=24/5（cm）.

【教学说明】本题的解答过程应在师生共同分析后由学生自己完成.教师巡视，对仍有

困难的同学给予适当帮助，让学生增强分析问题、解决问题的能力.

四、运用新知，深化理解

1.如图，四边形ABCD是菱形，点。是两条对角线的交点，AB=5cm,AO=4cm,求两条对角

19

线AC和BD的长.

B

D

2.如图，菱形ABCD的内角NABC=120°,AB=4cm,求菱形ABCD的面积.

【教学说明】让学生独立完成，进一步巩固对菱形的理解，教师巡视指导.

【答案】1.解:由菱形的性质知：BD1AC,AC=2A0=8cm,BD=2B0.在RtZkAOB中,B0

=VAB2—AO2=\/52—42=3cm.BD=6cm.故两条对角线AC长为8cm.BD长为6cm.

2.解：设菱形对角线的交点为0,由菱形性质及NABC=120°知：ZAB0=60°,ZA0B

=90",.,.Z0AB=90°-60°=30°.XVAB=4cm,AOB=2cm,AO=yjAB2-OB2-273

CIH.S菱彩AB8=一X2A/3X2X4=873cm2.

2

五、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你认为菱形的性质有哪些？你有何心得体会？

课后作业

L布置作业：从教材“习题18.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习.

教学反思

本课时涉及有关菱形性质的问题，在此教师要引导学生比较其与一般平行四边形的区别

在于是否有一组邻边相等.同样本课时教学可以先从日常的生活入手让学生回忆身边的菱形

物体，然后再用木条、纸片等实物进行演示，并鼓励学生分组交流，教师可从中抽出一两个

组的学生，让他们作为代表总结所得出的结论，教师再予以点评.在整个教学过程中，教师

应引导学生采用类比的方法，以发展学生的逻辑思维能力和演绎能力.

18.2.2菱形

第2课时

学习目标【知识与技能】

经历菱形的判定方法的探究过程，掌握菱形的三种判定方法.

20

【过程与方法】

经历利用菱形的定义探究菱形其它判定方法的过程，培养学生动手实验、观察、推理的

意识，发展学生的逻辑思维能力和演绎能力.

【情感态度】

在探究菱形判定方法的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的判定和性质，锻炼克服

困难的意志，建立自信心.

教学重难点

【教学重点】

菱形的判定定理的探究.

【教学难点】

菱形的性质与判定的综合应用.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入，初步认识

要判定一个四边形是否是菱形，我们可依据菱形的定义，由“一组邻边相等的平行四边

形是菱形”来进行判定，还有没有其它的判定方法呢？

【教学说明】教师提出问题，学生探究思考，加深学生对菱形定义的再认识，它既是菱

形的性质，又是菱形的最基本的判定方法.在问题的探究中，引入课题，同时激发学生探究

的兴趣.

二、思考探究，获取新知

探究如图，用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个四边形.

(1)任意转动木条(如图(1)中四边形ABCD),这个四边形总是平行四边形吗？为什

么？

(2)在木条的转动过程中，当它们互相垂直时(如图(2)中MN1EF),四边形EMFN

是怎样的四边形？你能证明你的猜想吗？

(1)(2)

证明：在图(2)中，•••四边形EMFN是平行四边形，

.•.OE=OF.又MNJLEF,即NE0N=/F0N=90°,且ON=ON,

/.△EON^AFON,，EN=NF,

口EMFN是菱形.

【教学说明】教师引导学生观察四边形的特征，关注两根细木条的中点的前提条件，让

学生进行探究思考.在活动中，教师深入学生之中，了解学生的探究过程，观察学生探究的

方法，接受学生的质疑，对有困难的学生给予个别指导.

21

A

想一想在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,则四边形ABCD是菱形吗？如果是，请给出

证明；如果不是，请举一反例.|

【教学说明】让学生进行探索，教师关注学生的探索过程和说理，从而加深学生对菱形

判定方法的认识.

菱形的判定定理

对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

四边相等的四边形是菱形.

三、典例精析，掌握新知

例1如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点0,且AB=5,A0=4,B0=3,求证：口

ABCD是菱形.

【分析】在AABO中，AB=5,A0=4,B0=3,由勾股定理的逆定理可得NA0B=90°,即AC

±BD,故口ABCD是菱形.

例2如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、

FG、GH、EH,求证：四边形EFGH是菱形.

【分析】因为E、F、G、H分别为四边中点，故可连接对角线AC、BD,由三角形中位线

性质易得EH=FG=-BD,EF=GH=-AC,又因为四边形ABCD是矩形，所以有AC=BD,从而

22

EF=FG=GH=EH,因此四边形EFGH是菱形.

【教学说明】以上两例均可让学生自主探究，独立完成，然后相互交流.教师可适时予

以点拨，从而解决问题，最后可选派两名同学上黑板书写自己的证明过程，师生共同评析,

进一步增强对菱形判定定理的理解和运用.

四、运用新知，深化理解

1.对角线互相垂直的四边形一定是菱形吗？试举例予以说明.

2.一个平行四边形的一条边长为9,两条对角线长分别为12和6不，求这个平行四边

形的面积.

3.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？

22

AD

B//C

【教学说明】学生自主探究，教师巡视指导.第1题旨在让学生加深对“对角线互相垂

直的平行四边形是菱形”的