概率论与数理统计第一章

第一章概率论的基本概念内容提要：一．加法、乘法原理及排列、组合复习加法原理设完成一件事有类方法（其中任一类方法都可达到完成这件事的目的），若第1类方法有种，第2类方法有种，第类方法有种，则完成这件事共有++种方法。乘法原理设完成一件事有个步骤（依次完成每一步才可达到完成这件事的目的），若第1步有种方法，第2步有种方法，第步有种方法，则完成这件事共有种方法。排列

（1）选排列和全排列从个不同元素中任取个元素按顺序排成一列，称为从个元素中取出个元素的一个排列，从个元素中取出个元素的所有排列种数记为；将个不同元素全部取出的排列，称为全排列，排列种数记为=；规定。

（2）可重复排列从个不同元素中可重复（有放回）的取个元素按顺序排成一列，其排列种数为。

（3）不尽相异元素的全排列设个元素中有个相同，又有个相同，又有个相同，且，这样个元素的全排列叫不尽相异元素的全排列，其排列种数为。

（4）环状排列从个不同元素中任取个元素不分首尾按环状排列，排列种数为。组合

（1）通常意义的组合从个不同元素中每次取个元素不分顺序并成一组，称为从个元素中取出个元素的一个组合，从个元素中取出个元素的所有组合数记为或组合有以下性质：，。（2）可重复排列从个不同元素中可重复（有放回）的取个元素不分顺序并成一组，称为从个元素中取出个元素的一个可重复组合，从个元素中取出个元素的所有可重复组合数为。二．随机试验和随机事件随机试验（记为）若试验（观察或实验过程）满足条件：

（1）可以在相同的条件下重复进行，

（2）试验的结果是明确可知的，而且有多种可能性，

（3）每次试验之前不能确定哪个结果会出现，则该试验称为随机试验。2．样本空间和样本点试验所有可能的结果组成的集合称为的样本空间，记为；试验的每一个可能结果即中的每一个元素，称为样本点。3．随机事件随机试验的一个结果，即样本空间的任一个子集，称为随机事件，用大写字母表示。其又可细分为

（1）基本事件随机试验的每个不可再分解的结果（单个样本点组成的单点集），（2）复杂事件若干个基本事件构成的事件（由若干个样本点构成集合），（3）必然事件样本空间包含所有的样本点，它是自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件，仍记为，（4）不可能事件空集不包含任何样本点，它作为样本空间的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件，记为。4．事件之间的关系及运算（1）包含：若事件发生必导致事件发生，则称包含于，或包含，记为，（2）相等：若且，则称与相等，记为，

（3）和事件：事件的和（或并）∪表示事件和事件中至少有一个发生，推广如下：∪∪…∪表示个事件,,…,中至少有一个发生，∪∪…∪∪…表示事件,,…,,…中至少有一个发生，（4）积事件：事件的积（或交）∩表示事件和事件同时发生，推广如下：∩∩…∩表示个事件,,…,同时发生，∩∩…∩∩…表示事件,,…,,…同时发生，

（5）差事件：事件发生而事件不发生，称与的差，记为，

（6）互斥事件（互不相容）：若事件和事件不能同时发生，即∩=，则称与为互斥事件，注：基本事件必是两两互斥的。

（7）对立事件（逆事件）：在每次实验中，“事件不发生的事件”称为事件的对立事件，记为。

注：∪=，=，=而且有定义可知，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，（8）事件的运算规律

(ⅰ)交换律：∪=∪，=

(ⅱ)结合律：∪(∪C)=(∪)∪,∩(∩C)=(∩)∩

(ⅲ)分配律：∪(∩C)=(∪)∩（∪）,∩(∪C)=(∩)∪（∩）(ⅳ)德﹒摩根律：=∩,=。三．概率的定义及性质

1．概率的公理化定义

设随机试验的样本空间为，对于的每个事件，定义一个实数与之对应，若函数满足条件

(ⅰ)非负性对每个事件，均有，

(ⅱ)规范性，

(ⅲ)可列可加性对于任意两两互斥的事件,,…,,…，均有∪∪…∪∪…）=，则称为事件的概率。2．概率的性质（1），注：其逆不真，即概率为0的事件不一定是不可能事件。（2）有限可加性对于任意两两互斥的事件,,…,，均有∪∪…∪）=，（3）若，则有，，注：当条件不满足时，一般的，但是有。（4）对于任意事件，，（5）对于任意事件，，（6）加法公式对于任意事件和，有，推广如下：∪∪…∪）=++ +四．等可能概型（古典概型）1．定义若随机试验的样本空间中有有限个样本点，而且每个样本点出现的可能性相等，则试验称为等可能概型。概率计算设是试验的事件，则3．两个典型的古典概型（1）取球问题模型Ⅰ：设袋中有个白球，个黑球，从中任取个，则恰取到个白球，个黑球的概率为。模型Ⅱ：设袋中有个白球，个黑球，从中连接的一个个将球取出，在放回抽样和不放回抽样两种情况下，第次取得白球的概率都是。（2）分房问题模型：将个可分辨的质点等可能的放到盒子里（，则每个盒子里至多有一个质点的概率为，指定的个盒子里各有一个质点的概率为。五．几何概型向长为的线段上等可能的投点，则点落在长为的子段上的概率与子段的位置无关，只与子段的长度有关，其概率值为，同理可知，二维（三维）的几何概率为面积之比（体积之比）。六．概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式（逆概率公式）条件概率设是两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率。注：条件概率也是概率，它满足概率定义中的三条，即

(ⅰ)非负性对每个事件，均有，

(ⅱ)规范性，

(ⅲ)可列可加性对于任意两两互斥的事件,,…,,…，均有（∪∪…∪∪…））=，而且，前面给出的概率性质和公式，也都适用于条件概率。乘法公式=，乘法公式的推广：对于任何正整数，当时，有全概率公式样本空间的划分：如果一组事件满足（ⅰ）两两互斥，且，（ⅱ）∪∪…∪）=，则称事件组是样本空间的一个划分。全概率公式：设事件组是样本空间的一个划分，为任意事件，则有。4．贝叶斯公式设事件组是样本空间的一个划分，为任意事件（，则有，。七．独立事件及其性质1．事件的独立性设是两个事件，若有，则称两个事件独立。推广：设,,…,是个事件，若对于其中的任意个事件,,…,，有…）=，则称个事件,,…,是相互独立的。性质（1）若两个事件独立，则也相互独立，（2）若是三个独立的事件，则与、与、与都是相互独立的，（3）若个事件,,…,是相互独立的，则其中的任意个事件,,…,也是相互独立的，（4）若个事件,,…,是相互独立的，则事件,,…,是相互独立的，其中是或，。注：独立与互斥是两个不同的概念，注意相互区别。小结：随机事件的概率计算公式古典概率的计算公式几何概率条件概率的计算公式加法公式及其推广乘法公式及其推广全概率公式及贝叶斯公式减法公式独立的加法公式：若个事件,,…,是相互独立的，则∪∪…∪）=1∩∩…∩）=9．独立的乘法公式：若个事件,,…,是相互独立的，则基本要求理解随机事件和样本空间的概念；熟练掌握事件之间的关系和运算；理解概率的定义，掌握概率的性质，会应用这些性质进行概率的基本计算；理解古典概型的定义，并会计算；理解条件概率的概念，会应用乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式（逆概率公式）进行概率计算；理解事件独立性的概念，并会应用事件独立性进行概率计算。重点随机事件，样本空间的概念；事件关系；概率的定义，性质；条件概率；加法公式，乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式的应用；独立性概念；事件的概率计算。典型例题分析设表示3个随机事件，试描述下列各事件所表示的意义：（1）∪∪，（2），（3）∪∪，（4），（5）∪，分析：本例题的知识点是事件之间的关系及表示，熟练应用之即可。解：（1）不都发生(中最多有两个发生)，（2）不可能事件，（3）恰有一个发生，（4）都不发生，（5）至少有一个发生，而不发生。设一个工人生产了4个零件，表示他生产的第个零件是正品，试用表示下列事件：（1）4个都是正品，（2）至少有一个次品，（3）只有一个次品，（4）至少有3个不是次品，（5）恰有2个次品，分析：应用事件之间的关系及表示。解：（1），（2），

（3）∪∪∪

（4）∪∪∪∪（5）∪∪∪∪∪写出下列随机试验的样本空间：（1）10件产品中有2件次品，每次从中不放回的取1件，直到将2件次品都取出为止，记录抽取次数；（2）甲乙两人下棋一局，观察棋赛结果；（3）将3个可以分辨的（不同的）小球装入到3个盒子里，使每个盒子中恰有1球，观察装球情况；（4）一个小组有4个人，要选正副组长各一人（一人不能任两职），观察选举结果；

〔5〕生产产品直到10件合格品，记录生产产品总件数；

（6）将一段长为1米的绳子折成3分析：应用样本空间的定义，注意写样本点时，尽量简单，避免冗长的语言叙述。解：（1）要将2件次品都取出，至少要取2次，最多取10次，用表示事件“取了次”，所以样本空间；

（2）甲乙两人下棋一局，棋赛结果只可能有三种情况：甲胜乙负，乙胜甲负，和局，所以样本空间甲胜乙负，乙胜甲负，和局}；

（3）将3个盒子标为，3个小球标为，表示球装入了盒，以此类推，于是样本空间；（4）将4个人标号为1，2，3，4，写在前面表示正组长，写在后面表示副组长，于是样本空间；

（5）要得到10件合格品，至少应生产10件产品，所以样本空间10，；

（6）用依次表示第一段，第二段，第三段的长度，样本空间。化简下列各式（1）∪（2）（∪）（∪）（3）（∪）（∪）（∪）分析：应用事件间的运算。

解：（1）∪=（2）（∪）（∪）=

（3）（∪）（∪）（∪）=（=例5设是两个随机事件，而且已知，求。分析：由已知条件和所求概率知本题需要用加法公式，求得后便可求出另外两个概率；本题用到的知识点为概率性质及加法公式。解：由加法公式得于是，。例6已知求分析：由已知条件，可利用概率的性质及加法公式先求出。解：由知， 再由知所以，于是从而为减少比赛场次，将20个球队分成甲乙两组，每组10个队，求最强的两个队分在不同组的概率。分析：只考虑甲组，该试验为20个球队中有2个强队，取出10个队，求恰有1个强队的概率，这是古典概型的取球问题。解：从20个球队中取出10个队的取法数即样本空间中所含基本事件总数为，所求事件中基本事件个数为，所以。例8袋中有个球，4个白球5个黑球，现从中任取2个，求（1）两个均为白球的概率，（2）一个是白球，一个是黑球的概率，（3）至少有一个是黑球的概率。分析：这是古典概型的取球问题，根据取球问题模型即可求得。解；

（1）解法1：假设取球与先后次序有关，则基本事件总数为，两个均为白球的事件中基本事件个数为，所以；

解法2：假设取球与先后次序无关，则基本事件总数为，两个均为白球的事件中基本事件个数为，所以；（2）解法1：假设取球与先后次序有关，则基本事件总数为，一个是白球一个是黑球有两种情况，先白后黑和先黑后白，所以所求事件中基本事件个数为，所以一白一黑的概率是；解法2：假设取球与先后次序无关，则基本事件总数为，所求事件中基本事件个数为，所以一白一黑的概率是。（3）至少有一个是黑球的对立事件是两个均为白球，利用（1）及概率性质可得。注1：用古典概型公式计算事件概率时，可在不同的样本空间中进行，但计算基本事件总数和所求事件中基本事件个数时，必须在同一样本空间中。注2：在求“至少……”的概率时，可考虑先求出，又如下例。

例9设12件产品中有3件次品，从中任取5件，求至少有一件次品的概率。分析：至少有一件次品有三种互斥的情况，即有一件次品（事件，有两件次品（事件，有三件次品（事件，求出事件的概率（古典概型的取球问题）后相加即可，而先求逆事件的概率更简单一些。解：设表示5件都是合格品，由古典概型公式得，所以所求概率为。例10一个学生宿舍有6名学生，问：（1）6人生日各不相同的概率，（2）6人生日都不在星期天的概率。分析：6名学生可认为是6个不同的质点，不同的日期可认为是不同的盒子，故这是古典概型分房问题，解：

（1）一年的365天可认为是365个盒子，考察6个人的生日可认为将6个不同的质点放入365个盒子，6个不同的质点放入365个盒子的方法总数为，6人生日各不相同即每个盒子里至多有一个质点的放法数为，所以根据古典概率计算公式有；

（2）从星期一到星期日可认为是七个盒子，6个不同的质点放入7个盒子的放法总数为，6人生日都不在星期天即第七个盒子里无质点的放法总数为，所以概率。例11将3个球随机的投入到4个盒子里，求（1）3个球位于同一盒子的概率；（2）恰有两个球位于同一盒子的概率。

分析：将球看作质点，本题是分房问题。

解：将3个球随机的投入到4个盒子里的方法数有种，（1）3个球位于同一盒子投法有种，所以概率为；（2）恰有两个球的盒子有4种选法，3个球中选2个的选法有种，放另一个球的盒子有3种选法，故恰有两个球位于同一盒子的概率是。在正整数中任取一个，求取得的数能被2整除的概率。分析：这是古典概型的随机取数问题，取得的数能否被2整除只需考虑末位数。

解：任取一个正整数，只考虑末位数，所以样本空间为，能被2整除这一事件的样本点集合是，故所求概率是。注：在本题中，若选取全体正整数为样本空间，不再是古典概型，所以在计算古典概率时，注意选取适当的样本空间。例13一列火车共有节车厢，有个旅客上车并随意的选择车厢，求每一节车厢内至少有一位旅客的概率。分析：求每一节车厢内至少有一位旅客的概率，应该用加法公式，设表示第节车厢内至少有一位旅客，并不易求，故我们先求。解：设表示第节车厢内没有一位旅客，，我们求，由于每个旅客有中选择进入车厢，所以基本事件总数为，发生说明对每个旅客都有种选择，故包含的事件数为，同理事件包含的事件数为，所以

=，，，每一节车厢内至少有一位旅客为，所以，利用加法公式得 。例14甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生有15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。分析：本题求在碰到甲班同学的条件下，正好碰到一名女同学的概率，所以是求条件概率，按照条件概率的计算公式求。

解：

方法一：选样本空间是从70名同学中任选一名的选法数，设表示碰到甲班同学，表示碰到女同学，因为，，所以有。方法二：根据问题的实际意义，已经碰到甲班同学，所以选样本空间是从30名甲班同学中任选一名的选法数，为30个，碰到甲班女同学这一事件中有样本点15个，所以。注：碰到类似问题时，可以按两种方法求，方法二与方法一的区别在于在方法二中，根据问题的实际意义，将条件看作是非条件，而是实验已知，从而两种方法选取了不同的样本空间。例15设事件互斥，且，证明。分析：根据条件概率的计算公式和概率的性质证明。证明：因为互斥，所以，由知，，又，所以，证毕。例16某班有个人抽签参加考试，考签共个，每个人抽到考签后放回，考试结束后，问至少有一张考签没被抽到的概率。分析：本题应应用加法公式，需要求个考签没被抽到的概率，而求个考签同时没被抽到的概率，又需用乘法公式。解：给考签编号为，记事件为“第号考签未抽到”，则对任意，应用乘法公式有， =所以由加法公式有 +例17某厂的产品中次品率是0.04，而在100件正品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品概率。分析：在该厂的产品中任取一件是一等品，应为在该厂的产品中任取一件是合格品和在该厂的产品中任取一件是一等品两个事件同时发生，所以应用乘法公式。解：设表示“任取一件是合格品”，表示“任取一件是一等品”，因为，，所以=0.72。例18设有10相同规格的产品，其中由甲，乙，丙三厂生产的分别有5箱，3箱，2箱，三厂产品的废品率依次为，从10箱产品中任取一箱，再从箱中任取一件，求取得正品的概率。分析：正品是取自甲厂、乙厂或丙厂，但正品不是甲厂、乙厂及丙厂的正品的和事件，本题分别给出了三厂提供产品的份额及次品率（正品率），所以应用全概率公式。解：设表示“取得产品是正品”，分别表示“任取一件是甲、乙、丙生产的”，则是样本空间的一个划分，因为由全概率公式得++=0.82例19设某工厂有三个车间生产同一型号的螺钉，每个车间的总量分别占总量的，而每个车间的次品占每个车间产量的，从全厂总产品中抽取一件恰为次品，问它是由三个车间生产的概率。分析：本题分别给出了三个车间生产产品的份额及次品率，而求条件概率，所以应用贝叶斯公式。解：设表示任取一个螺钉是车间提供的，表示取得次品，则是样本空间的一个划分，因为由逆概率公式得=同理，。例20盒中有12个乒乓球，其中有3个旧的，9个新的，第一次比赛时任取3个来用，赛后放回（此时取到的新球变为旧球），第二次比赛时再任取3个，求（1）第二次比赛取到的球都是新球的概率，（2）已知第二次比赛取到的球都