概率论与数理统计第四章作业题详解

第四章习题详解4.1解：因为，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。4.2解：X的可能取值为3,4,5.因为；；所以4.3解:，下面求幂级数的和函数，易知幂级数的收敛半径为，于是有根据已知条件，，因此，所以有.4.4解：因为的可能取值为1,2,……。依题意，知的分布律为所以4.5解：设4次射击中命中目标的子弹数为X，得分为Y，则X~B(4,0.6)因为所以Y的分布律为Y0153055100P0.02560.15360.34560.34560.1296故期望得分为=44.644.6解:级数发散,不符合离散型随机变量期望定义的要求,从而的期望不存在.4.7解：设遇到红灯次数为X，依题意，知X~B(3,0.4)故4.8解：4.9解：由，得①因为所以，由，得②又由，得③解联立方程①②③，得，，4.10解:积分,显然,积分发散,根据连续型随机变量期望的定义,的期望不存在.4.11解：设，依题意得，又，则即有所以得所以故所求的概率为4.12解：4.13解：因为，其中，所以故4.14解：设球的直径测量值为，体积为，则有.显然的概率密度函数为因此,球体积的均值为.4.15解:用随机变量表示游客的等候时间(单位:分钟),则,其函数关系为由于,根据随机变量函数的期望公式,可得游客等候时间的期望为4.16解：因为，当时，当时，所以，又故4.17解：，因为X和Y相互独立，所以.4.18解:根据二维随机向量的计算公式：此积分用极坐标计算较为方便，于是有4.19解：由于X服从，故其分布函数为同理，Y服从，故其分布函数为于是根据公式3.7.5，的分布函数为求到后得密度函数因此4.20解：用随机变量表示汽车的10个车站总的停车次数，并记显然，均服从两点分布，且，于是有由此求得.4.21解：设Xi表示第i次掷出的点数(i=1,2,…,10)，则掷10次骰子的点数之和为。因为Xi的分布律为(k=1,2,…,6)，所以故.4.22解：设是从第次命中目标到第次命中目标之间的射击次数，的分布律为记随机变量，并且注意到随机变量概率分布相同，因此4.23解：由T4.1知，，由T4.12知又故.4.24解:由T4.1知，故4.25解：因为，当时，即所以，由对称性得，4.26解：因为，所以，又X和Y相互独立，故.4.27解:容易求得的概率分布为：的概率分布为：的概率分布为：，于是有，4.28解：二维随机变量具有概率密度的标准形式为：其中均为常数,且,由此得到：因为所以与互不相关。4.29解：因为，当时，所以于是由对称性得，又因为所以故.4.30解：由二维随机向量的概率密度函数积分，可以求得两个边缘密度：，显然，，所以与相互独立，从而互不相关。4.31解：由得:因为所以4.32解：因服从所以.于是有是关于随机变量的函数,根据求随机变量函数期望的法则,有.又由于由于被积函数是奇函数，积分域关于原点对称，故此积分为0,于是=0.第四章定义、定理、公式、公理小结及补充：（1）一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设是离散型随机变量，（要求绝对收敛）设是连续型随机变量，其概率密度为，（要求绝对收敛）函数的期望方差，标准差，矩定义设和为随机变量,为正整数,称为阶原点矩(简称阶矩阵);为阶中心矩;为阶绝对原点矩;为阶绝对中心矩;为和的阶混合矩;由左边定义可知:(1)的数学期望是的一阶原点矩;(2)的方差是的二阶中心矩;(3)协方差是和的二阶混合中心矩.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质1.设是常数,则2．若是常数，则3.4.设独立,则;（3）方差的性质1.设常数,则;2.若是随机变量,若是常数,则3.设是两个随机向量,则特别地,若相互独立,则注:对维情形,有:若相互独立,则（4）常见分布的期望和方差期望方差0-1分布p二项分布np泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n2nt分布0(n>2)（5）二维随机变量的数字特征期望函数的期望＝＝方差协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩，记为，即与记号相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为与。相关系数对于随机变量X与Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，则称为X与Y的相关系数，记作（有时可简记为）。 ||≤1，当||=1时，称X与Y完全相关：完全相关1.2.若和相互独立,则.3.若,则当且仅当存在常数使,而且当时,;当时,.注:相关系数刻画了随机变量Y与X之间的“线性相关”程度.的值越接近1,Y与X的线性相关程度越高;的值越近于0,Y与Y的线性相关程度越弱.当时,Y与X的变化可完全由X的线性函数给出.当时,Y与X之间不是线性关系.协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y，如果有存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原