王明慈版概率论与数理统计习题五

习题五1.设抽得到样本测值为：38.2 40.0 424 37.6 392 41.0 440 43.2 388 40.6计算本均值、本标准差样本方差样本二阶心矩。_ 10 1解:x ∑x

38.240.042.437.639.241.044.043238.840.6)40.;i10i1 10i10 _ 1 ∑(

−)2 38.2−40.)2(40.0−40.)2…(40.6−40.2]2.158;is 9i1x x 9i10 _2 ∑(

−)22.158724.6;9s i x9i1∼ 10

_ 92 ∑(

−)2

4.194.i 10i

i1x x

10S2.设抽得到100个样观测值如：观测值i123456频数算本均值、本方差与本二阶中矩。解：书上127观测值i123456频数 1 6 1x ∑xn

11522132542051267)3.1;100

iiii1i

10016 _ 12 ∑( −

)2 1−3.14)215…(6−3.14)27]2.121;s 99

i1x

x i 99∼ 1 6 _ 992 ∑( −

)2 2.1216 2.1004.3.略

100

ii1

x i

100n4.从总体中抽取容量为n的样本X1,…,Xn

，设 为任意常数，为任意正数，作变换c kYk(X

−c,i,,⋯,.i i n证明（1）X Yx2 证明（1）X Yx2k

22X2xSy;其中X及S2X2xk

分别是 1,…,XnX

的样均值及样本方差； 及Y

2分别是Sy

1,…,n

的样均值及样方差。 1证明 1

n

,由 (

−)得

iX Xi1ni1

i kXi c

Xi ckn 1 ( ) 1 n 1 Yn∴ X

∑ ic

∑i ⋅nc cni1

k k⋅ni1 n k 21n

− )21n⎡ −

2− ⎤⎣ ⎦ Sy ni1

ni12

kXi

c X c（2）

1n

2⋅ 1n

( − )2

2⋅2ni12

Xi2Sy

X k

Xini1

X k Sx∴Sx 2k5.从总体中抽取两组样本，其容量分别为1及2，设两组的样本均值分别为X1及X2，样本方差分别为

2及 2，把这两组样本合并为一组容量为1 S2

12

的联合样本。证明（1）.联合本的样本值 1X1 X 2；X12 −

2

−12

− 2S（2）.联合本的样本差S

2 1 1 2 S2

12X1 X2S11X1,

1n2−1S22X2

1n21n2−m m证明（1） S 1S 2X 1X 1

1X1 X 21n2∑2∑∑(X1

− )2 (X X2i

− )2X2 i i iS −1（2） 1 21 2∑( − −

)2∑(

− − )2X1 X1

X1 X X2i X2 X2 X i i i212−12n1n又∑(

1− 1 1− )ii1Xin1n

X X X∑⎡ 2

2

2 ⎤X ⎣Xi11

1− 1XiX

X1−X 2

X1−X X1i−X1⎦n ( −

)2

− 0i∑ 1 1 1 1ii1X

X n X X1

−21

2 X1X1− Xn2n同理∑(

2 22− 2 2− )2 2ii1

X X X X2

−2XS2 2X

2− 而1X1−X

n2

2 X2−X 2−2

2

2−2

21X1

X1X X 2X2

X2X X 2−2

2 2−2

21X1

1X1X 1X 2X2

2X2X 2X又 1X12X2X12 22 2 1 1 1 2 2 22

21 2 1 1 2 2 ∴ −

1X nX nX

⋅

nX nX

−nX nX nX211 1 2 2 22nX 12

n n 12 nX

12化简得12

X1−X212 −

2

−2

− 2S∴ 2 1 1 2 S2S

12X1 X212−1

1212−(6设随机变量XZ相互独立，都服从标准正态分布.,1),求随机变量函数( 22

2的分布函数与概率密度；并验证§5.4定理1当

=3时成立，即U～U X Y Z k23解X,Y,Z相互立且都服从N(,1)则U～

23显然3⎧ 1 1−u3,⎪3 2 2 0,⎪3P2⎪2P2

⎛3⎞U e uUu

⎨ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩o,

u≤0不然直接求U的分函数

2 2 2 PU≤u

PX

YZ≤u ∫

f,y,z

ddzx dx222xyz222222222xyz≤u

fxfyfzdddz当≤,u

≤0PuUPu

3 222− y当,

≤

⎛ 1 ⎞ x 2zu PU u

∫

⎜ ⎟e dddz2222xyz≤u⎝ 2222利用重积分的质（略也可到结论。7.设随变量X

服从由度为 的k t

分布证明随机变量

YX

2服从由度1，k）的 分布。Ft证明X～k则可将X记为X U,其tVk

中 ～N(,1),V～ 2U

k22 U则 2 1 , V Vk k

其中 2～U

2，V～

2 k由F分布定义知Y 2=

(1,k).～F18.设随机变量X服从自由度为,

2的F分布，证明：随机变量Y 服从自由度为X,

k2的F分布从而证明式（5.3：11,

k2 − k2,1证明XF,

U12,则X可写成 k,其中1

∼ 2

1,

2∼ 2,2V U kk2

V kV ,1 k2 ,

1∼ 2 ，1

2∼ 2 2

，由F分布定义知Y X U1

U k

V kY∼Fk2,

1PX 1,

k2 1⎠ − −⎠⎛1 1 ⎞⎜ ⎟1−P⎜⎝X −

,

k2⎟ ⎛1 1 ⎞∴ ⎜ ⎟1−1−)P⎜X −

,

k2⎟ ⎝ ⎠⎛ ⎞1∴ ⎜ ⎟ ,又 P⎜Y

⎟

PY k2,

1 ⎝ −

,k2⎠ ∴ 1 ∴ 1

1kk− , 2kk1−即1,−即

k2＝ k2,19.设总体X服从态分布N

, 52(1)从总中抽取容量为64的样样本值 与总均值 之差绝对值小于1X P的概率 −P

;P2）抽样本容量n多大，才能使率 −P−

达到0.5？解(1)

∵ X ∼N,n∴P −

P1X− ⎛ ⎜1P⎜ 5

− 1 ⎟X5 5 ⎟⎜ ⎟⎜ 64 64 64⎟⎝ ⎠⎛8⎞−⎛−8⎞2⎛8⎞−1⎜5⎟ ⎜

5⎟ ⎜5⎟(2)

P −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠20.9452−10.8904 P1X− ⎛ ⎞⎜− − ⎟P⎜ nX n⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ n ⎠⎛ ⎞2⎜ n⎟−10.95⎝⎠⎛ ⎞∴⎜ n⎟0.975⎝5⎠∴ n1.965

n9.8

n9610.从正总体N

, 052中抽容量为10的样本

X1,

X2…,

，X0∑X∑X1）已知 0，求 2 1 ii

≥4的概。02）未知 ，求∑(

− 2285的概。2i i1X X2i⎛0

⎞ ⎛1 0 1 ⎞解()

⎜∑ 2≥4

⎟ ⎜ 2∑

≥ 2⋅4⎟P⎝1Xi

⎠ P⎝0.5

1Xi

0.5 ⎠i i11012又 052∑X ∼2

210

（133，定理3）i1i1∴原式＝

P

210≥16010⎛0

⎞ ⎛1 0 1⎞（2）

⎜∑(

− )22.85

⎟ ⎜ 2∑(

− )22.85

2⎟P⎝1Xii1 0

X ⎠ P⎝

0.5

i XXi1X

0.5⎠X又 2∑(X

− )2∼

29

（定理4 133）05

i X i1∴原式＝P

2911.41−

P

2911.41−0.250.75.设总体

X∼N

5, 62，体

Y∼N

4, 42，总体X中抽容量为10的样，从总体Y中抽容量为8的样，求下列率：S2⎛ 2S2（）

P0X−Y8

（2）

x8.28P⎜ ⎟⎝Sy ⎠ 解： （1）P0X− 8P0−50−46X−Y−50−468−50−4 ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜0−50−46P⎜

X−Y−50−46

8−50−46⎟⎟62 42

62 42

62 42⎜ ⎟⎝ 10 8 10 8 10 8 ⎠有136定理6知，

X −50−46

∼N,62 42 10 8∴原式＝

⎛ ⎞⎜ X−⎜ X−Y− − ⎟−4 50 46 4 P⎜ 5.6

62 42

5.6⎟⎜⎝2⎛ 4

⎟10 8 ⎠−10.909⎜ 5.6⎟⎝ ⎠⎛ 2 ⎞2⎛ 2 ⎞2

⎜Sx 62

42⎟（）

P⎜Sx

8.28⎟P⎜

828 ⎟⎜⎟2 62⎜⎟⎠⎝Sy ⎜ y ⎟⎠S⎝42 ⎠S2Sx22又由139， 6 ∼22Sy42

F10−, 8−1∴原式F, 73681−F, 73681−00509512.设总体

∼ ,

2，抽取样本

,…,

，样本均值为 ，样本方差为

2。若X N

X1 Xn X S再抽一个样本X

，证：1n1统计量

= n Xn−X ∼1

tn

−

与 相互立。X Xn1n S证明：

∼ ,

2, ∼

⎛ 2⎝, ,⎝

∼ ⎛,

1 2⎞Xn1

N

X N⎜

⎟ Xn1n⎠

X N⎜o

n ⎟⎝n⎠⎝nn ⋅X1−X⋅ nn ⋅n n ⋅ nn n X−Xn

n1 1 n1

S n SXn−X Xn−Xnn1 1nn ⋅ ⋅＝Xn−X ⋅ n n 1 S

2 2n ⋅

S n− S2n −1−1− − 2

2P 2P∴分子Xn1 X∼1 N

,1,

n S 2∼2 ∼

n−1 133 Th4n ⋅n∴ n Xn−X ∼1

tn

−n S13.设总体

X∼N

, 22，抽样本

X1,

X2,…,

X0

，求列概率：P⎣ P⎣ ⎦

⎡xX1,X2,…,X010⎤⎣ ⎦2）P⎡inX1,X2,…,X0≤⎣ ⎦P解：（1）P

⎡xX1,X2,…,X010⎤＝1－P⎡xX1,X2,…,X010⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦1−PX11,X21,…,X0101−PX110PX210…PX0100 )1− )

(X1−810−8⎤⎣P

2 2 ⎦1−⎡0⎣ ⎦1−0.841300.8224⎣ ⎦ ⎣ ⎦（2）P⎡inX1,X2,…,X0≤5⎤1−P⎡inX1,X2,…,X0⎣ ⎦ ⎣ ⎦1−PX1,X2,…,X051−

P1−

PX1

50⎦0⎦ )11−⎡ )1

(X1−85−8⎤⎢ P 2 2 ⎥⎣ ⎦1−1−1.50⎣ ⎦1−1.500.4991n14.设总体X服从松分布P，抽样本X1,…,Xn（1）样本值X的期与方差；（2）样本值X的概分布。

，求： 1

, n

1n 解（1）

Xini1

X Xi 1ni 1

ni1 X 1n 1 DX 2∑DXi 2⋅ ni1 n n（ 2 ） 由 泊 松 分 布 的 可 加 性 有 ：YX1X2…Xn

P ∼ P ����个n

＝Pn＝⎜ ⎞∴ Y，则 ⎛ ⎜ ⎞X PX

y⎟PYy

(n)y

−,e,

y,,,⋯n ⎝ n⎠ y!n15.设总体X服从数分布e，抽样本X1,…,Xn（1）样均值X的期与方差；

，求：（2）样方差

2的数期望。S解：（1）

1