2024年中考数学压轴题型（浙江专用）压轴题03 二次函数代数类考点压轴题（教师版）

PAGE1PAGE压轴题03二次函数代数类考点压轴题训练01二次函数图象上点的坐标特征与二次函数图象性质的结合问题应对此类问题，严格谨记以下几个关键考点：①二次函数的对称轴公式：、②顶点公式、③增减性的应用：当时，函数有最小值，抛物线上的各点，谁离对称轴越近，谁的y越小；当时，函数有最大值，抛物线上的各点，谁离对称轴越近，谁的y越大。1．（2024•东莞市校级模拟）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（）A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0 B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0 C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0 D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0【分析】由二次函数的解析式求得对称轴为直线x＝，然后判断y1与y2的大小，即可判断每个选项正误．【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0），∴y＝0时，x1＝1﹣m，x2＝m，∴二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）的对称轴为直线x＝＝，当a＞0时，当x1+x2＜1时，∴＜，∴y1＞y2，∴y1﹣y2＞0，∴a（y1﹣y2）＞0；当a＜0时，当x1+x2＞﹣1时，∴，∴当﹣＜时，y1＜y2，则a（y1﹣y2）＞0；当＞时，y1＞y2，则a（y1﹣y2）＜0；故选：B．2．（2024•金华一模）已知二次函数．（1）若点（b﹣2，c）在该函数图象上，则b的值为2或﹣2．（2）若点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，则b的取值范围为b＞2或﹣3＜b＜﹣2．【分析】（1）把点（b﹣2，c）代入即可求出b的值；（2）根据题意即可得到|b﹣2﹣b|＜|2b﹣b|＜|2b+6﹣b|，即2＜|b|＜|b+6|，解不等式求得即可．【解答】解：（1）把点（b﹣2，c）代入，得c＝（b﹣2）2﹣b（b﹣2）+c，∴b＝±2，故答案为：2或﹣2；（2）二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝b，∵点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，∴|b﹣2﹣b|＜|2b﹣b|＜|2b+6﹣b|，即2＜|b|＜|b+6|，当b＞0时，b＞2，当﹣6＜b＜0时，﹣3＜b＜﹣2，当b＜﹣6时，不合题意，∴b＞2或﹣3＜b＜﹣2．故答案为：b＞2或﹣3＜b＜﹣2．3．（2024•宁波一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，下列说法中正确的个数是（）①当m＝0时，此抛物线图象关于y轴对称；②若点A（m﹣2，y1），点B（m+1，y2）在此函数图象上，则y1＜y2；③若此抛物线与直线y＝x﹣4有且只有一个交点，则；④无论m为何值，此抛物线的顶点到直线y＝2x的距离都等于．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】求得抛物线的对称轴即可判断①；求得两点到对称轴的距离即可判断②；令x﹣4＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，根据Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+2m）＝0，求得m的值即可判断③；求得抛物线顶点坐标得到抛物线的顶点在直线y＝2x﹣4上，可知直线y＝2x﹣4与直线y＝2x平行，求得两直线的距离即可判断④．【解答】解：①当m＝0时，y＝x2﹣4，∴抛物线的对称轴为y轴，∴此抛物线图象关于y轴对称；∴①正确；②∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝m，∵点A（m﹣2，y1），点B（m+1，y2）在此函数图象上，且m﹣（m﹣2）＞m+1﹣m，∴y1＞y2；∴②错误；③若此抛物线与直线y＝x﹣4有且只有一个交点，则令x﹣4＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，整理得x2﹣（2m+1）x+m2+2m＝0，Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+2m）＝0，解得m＝，∴③错误；④∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4＝（x﹣m）2+2m﹣4，∴顶点为（m，2m﹣4），∴抛物线的顶点在直线y＝2x﹣4上，∵直线y＝2x﹣4与直线y＝2x平行，∴顶点到直线y＝2x的距离都相等，如图，设直线y＝2x﹣4交x轴于A，交y轴于B，点O到AB的距离为OD，则A（2，0），B（0，﹣4），O∴AB＝＝2，∵S△AOB＝，∴，∴OD＝，∴两直线间的距离为，∴④正确．故选：B．4．（2024•鹿城区校级一模）已知A（m，0），B（﹣4，0）为x轴上两点，P（x1，y1），Q（x2，y2）为二次函数y＝x2﹣mx+m+2图象上两点，当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，若﹣2≤x1≤m+1，﹣2≤x2≤m+1时，|y1﹣y2|≤16恒成立，则A、B两点的最大距离为8．【分析】利用二次函数的图象的性质求得m的取值范围，再利用二次函数的性质求得|y1﹣y2|的最大值，最后利用已知条件求得m的最大值，则结论可求．【解答】解：当x＝1时，y＝3，抛物线y＝x2﹣mx+m+2的对称轴为直线x＝，∵当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，∴≥1，∴m≥2．∴m+1＞1，当x＝﹣2时，y＝6+3m，当x＝时，y＝﹣+m+2，∵﹣2≤x1≤m+1，﹣2≤x2≤m+1，∴|y1﹣y2|的最大值为6+3m﹣（﹣+m+2）＝+2m+4，∵|y1﹣y2|≤16恒成立，∴+2m+4≤16．∴﹣12≤m≤4，∵m≥2，∴2≤m≤4，∴m的最大值为4，∴A、B两点的最大距离为4﹣（﹣4）＝8．故答案为：8．5．（2024•宁波模拟）设一次函数y1＝a（x+m）的图象与x轴交于点A，二次函数的图象与x轴交于A，B两个不同的点，设函数y＝y1+y2．（1）设点Q（0，q）在函数y的图象上，若q＞c，求证：am＞0．（2）若函数y2，y的图象在x轴上截得的线段长分别为d1，d2，求d1，d2的数量关系式．（3）若函数y1的图象分别与函数y2的图象、函数y的图象交于点E（x1，e），F（x2，f），且点E，F不同于点A，求x1﹣x2的值．【分析】（1）把y1与y2相加得y＝ax2+（a+b）x+am+c，把点Q代入y，再计算即可．（2）设A（t，0），代入y1得y1＝a（x﹣t）．设B（k，0），又A（t，0）得y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk，故y＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at，设y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk两根为p、q，再计算即可．（3）由（2）知y1＝a（x﹣t），y2＝a（x﹣t）（x﹣k），得a（x﹣t）＝a（x﹣t）（x﹣k），计算得x1＝k+1．由y1＝a（x﹣t），y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，得a（x﹣t）＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，计算得x2＝k．故x1﹣x2＝k+1﹣k＝1．【解答】解：（1）∵y1＝a（x+m），，∴y＝y1+y2＝a（x+m）+ax2+bx+c＝ax2+（a+b）x+am+c，∵点Q（0，q）在函数y的图象上，∴q＝am+c，即q﹣c＝am，∵q＞c，∴am＞0．（2）设A（t，0），代入y1＝a（x+m）得：0＝a（t+m），∵a≠0，∴t+m＝0，∴m＝﹣t，y1＝a（x﹣t）．设B（k，0），又A（t，0），∴y2＝a（x﹣t）（x﹣k）＝ax2﹣（at+ak）x+atk，∴y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at，设y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk两根为p、q，∴p+q＝＝t+k，pq＝＝tk，∴＝（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq＝（t+k）2﹣4tk＝t2+k2﹣2tk，即＝t2+k2﹣2tk＝（t﹣k）2，∴d1＝，设y＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at两根为r、s，∴r+s＝＝k+t﹣1，rs＝＝kt﹣t，∴＝（r﹣s）2＝（r+s）2﹣4rs＝（k+t﹣1）2﹣4（kt﹣t）＝k2+t2﹣2tk﹣2k+2t+1，∴﹣＝|（t2+k2﹣2tk）﹣（k2+t2﹣2tk﹣2k+2t+1）|＝|2（k﹣t）﹣1|＝±2d1﹣1，答：d1，d2的数量关系式是：﹣＝±2d1﹣1．（3）由（2）知y1＝a（x﹣t），y2＝a（x﹣t）（x﹣k），得a（x﹣t）＝a（x﹣t）（x﹣k），∴a（x﹣t）（x﹣k）﹣a（x﹣t）＝0，∴a（x﹣t）（x﹣k﹣1）＝0，∴x＝t，x＝k+1，即A（t，0），x1＝k+1．由y1＝a（x﹣t），y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，得a（x﹣t）＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，∴ax2﹣（at+ak）x+atk＝0，∴x2﹣（t+k）x+tk＝0，∴（x﹣t）（x﹣k）＝0，∴x＝t，x＝k，即A（t，0），x2＝k．∴x1﹣x2＝k+1﹣k＝1．02抛物线与一元二次方程的综合二次函数牵涉到的计算主要都是一元二次方程的计算，而一元二次方程的根的判别式、韦达定理等性质也可以在二次函数的题目中应用。1．（2024•杭州模拟）设函数y1＝x2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标分别为α1，β1，函数y2＝x2+dx+e的图象与x轴交点的横坐标分别为α2，β2．当x＝α2和β2时，函数y1的值分别为A1，B1；当x＝α1和β1时，函数y2的值分别为A2，B2，则（）A．A1B1＝A2B2 B．A1+B1＝A2+B2 C．A1B2＝A2B1 D．A1+B2＝A2+B1【分析】利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得到α1+β1＝﹣b，α1•β1＝c，α2+β2＝﹣d，α2•β2＝e，分别求得A1，B1，A2，B2，利用因式分解的应用整理即可得出结论．【解答】解：∵α1、β1是方程x2+bx+c＝0的两根，α2、β2是方程x2+dx+e＝0的两根，∴α1+β1＝﹣b，α1•β1＝c，α2+β2＝﹣d，α2•β2＝e．∵当x＝α2和β2时，函数y1的值分别为A1，B1，∴A1＝+bα2+c＝﹣（α1+β1）α2+α1•β1＝（α2﹣α1）（α2﹣β1），B1＝+bβ2+c＝﹣（α1+β1）β2+α1•β1＝（β2﹣α1）（β2﹣β1）．∵当x＝α1和β1时，函数y2的值分别为A2，B2，A2＝+dα1+e＝﹣（α2+β2）α1+α2•β2＝（α1﹣α2）（α1﹣β2），B2＝+dβ1+e＝﹣（α2+β2）β1+α2•β2＝（β1﹣α2）（β1﹣β2），∴A1B1＝（α2﹣α1）（α2﹣β1）（β2﹣α1）（β2﹣β1），A2B2＝（α1﹣α2）（α1﹣β2）（β1﹣α2）（β1﹣β2）＝（α2﹣α1）（α2﹣β1）（β2﹣α1）（β2﹣β1），∴A1B1＝A2B2．故选：A．2．（2023•杭州模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c）．（1）若该二次函数图象与x轴的一个交点是（﹣1，0）．①求二次函数的表达式：②当t≤x≤2﹣t时，函数最大值为M，最小值为N．若M﹣N＝3，求t的值；（2）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（3，y2），当m≤x1≤m+1时，始终有y1≥y2．求m的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法求二次函数解析式；②利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），再利用t≤x≤2﹣t得t≤1，所以2﹣t≥1，根据二次函数的性质，当t≤x≤2﹣t时，x＝1时，函数有最小值﹣4，当x＝t或t＝2﹣t时，函数有最大值，即M＝t2﹣2t﹣3，则t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，然后解方程即可；（2）先利用二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c）得到b＝﹣2，则可求出抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，点A到对称轴的距离大于或等于B点到对称轴的距离，即|x1﹣1|≥|3﹣1|，解得x1≤﹣1或x1≥3，然后利用m≤x1≤m+1得到m+1≤﹣1或m≥3，从而得到m的范围．【解答】解：（1）①把（2，c），（﹣1，0）分别代入y＝x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；②∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），∵t≤x≤2﹣t，∴t≤2﹣t，解得t≤1，∴2﹣t≥1，∴当t≤x≤2﹣t时，x＝1时，函数有最小值﹣4，即N＝﹣4，当x＝t或t＝2﹣t时，函数值相等，此时函数有最大值，即M＝t2﹣2t﹣3，∵M﹣N＝3，∴t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得t1＝1+（舍去），t2＝1﹣，∴t的值为1﹣；（2）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c），∴4+2b+c＝c，解得b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+c，抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（x1，y1），B（3，y2）在抛物线上，且y1≥y2，∴点A到对称轴的距离大于或等于B点到对称轴的距离，∴|x1﹣1|≥|3﹣1|，∴x1≤﹣1或x1≥3，∵m≤x1≤m+1，∴m+1≤﹣1或m≥3，解得m≤﹣2或m≥3．03二次函数图象交点问题求交点就是联立解析式。1．（2024•德阳模拟）现有y是关于x的二次函数y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，则下列描述正确的是①②③．①当m＝﹣1时，函数图象的顶点坐标为（，）；②当m＞0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；③当m≠0时，函数图象总过定点；④若函数图象上任取不同的两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则当m＜0时，函数在x＞时一定能使＜0成立．【分析】①把m＝﹣1代入y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，再化为顶点式即可；②求得与x轴的交点，进而求得|x1﹣x2|的值，即可判断；③由y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m＝（2x2﹣x﹣1）m+x﹣1，可知当2x2﹣x﹣1＝0时，y的值与m无关，然后求出x，y的对应值即可；④m＜0时，抛物线的对称轴：x＝＞0，抛物线开口向下，只有当对称轴在x＝右侧时，y才随x的增大而减小，即可求解．【解答】解：①当m＝﹣1时，y＝﹣2x2+2x＝﹣2（x﹣）2+，∴顶点坐标为（，），故①正确；②当m＞0时，由y＝0得：Δ＝（1﹣m）2﹣4×2m（﹣1﹣m）＝（3m+1）2，∴x＝，∴x1＝1，x2＝﹣﹣，∴|x1﹣x2|＝+＞，∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确；③当m≠0时，y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m＝（2x2﹣x﹣1）m+x﹣1，当2x2﹣x﹣1＝0时，y的值与m无关，此时x1＝1，x2＝﹣，当x1＝1，y＝0；当x2＝﹣时，y2＝﹣，∴函数图象总经过两个定点（1，0），（﹣，﹣），故③正确；④m＜0时，抛物线的对称轴：x＝＞0，抛物线开口向下，故x＞时，只有当对称轴在x＝右侧时，y才随x的增大而减小，即＜0成立，故④错误．故答案为：①②③．2．（2023•永嘉县校级二模）某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，使喷水刚好落在水池边缘，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，高度为6m．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（AB，AC），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板AB所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+6（0≤x≤10），n的值为．【分析】由题意可写出当x＞0时，抛物线的顶点式解析式，用待定系数法求得其解析式，令x＝0，求得y值，则可得这个装饰物的高度；根据直线AB与抛物线相切，得到判别式Δ＝0，解方程求出n．【解答】解：由题意可得，当x＞0时，抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+6（0≤x≤10），把（10，0）代入得：0＝a（10﹣4）2+6，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+6（0≤x≤10）；根据题意知，直线AB与抛物线相切，∴x+n＝﹣（x﹣4）2+6，整理得：x2﹣5x﹣20+6n＝0，∴Δ＝52﹣4×（﹣20+6n）＝0，解得：n＝，故答案为：y＝﹣（x﹣4）2+6（0≤x≤10）；．3．（2024•西湖区校级模拟）已知和（a≠b且ab≠0）是同一直角坐标系中的两条抛物线．（1）当a＝1，b＝﹣3时，求抛物线的顶点坐标；（2）判断这两条抛物线与x轴的交点的总个数，并说明理由；（3）如果对于抛物线上的任意一点P（m，n）均有n≤2a+2b．当y2≥0时，求自变量x的取值范围．【分析】（1）把a，b的值代入配方找顶点即可解题；（2）分别令y1＝0，y2＝0，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；（3）现根据题意得到a＜0，且，然后得到b＝﹣3a＞0，借助图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）当a＝1，b＝﹣3时，，∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）3个，理由为：令y1＝0，则ax2+（a+b）x+b＝0，即（ax+b）（x+1）＝0，解得：，x2＝﹣1，令y2＝0，则bx2+（a+b）x+a＝0，即（bx+a）（x+1）＝0，解得：，x2＝﹣1，又∵a≠b且ab≠0，∴两条抛物线与x轴的交点总个数为3个；（3）∵抛物线上的任意一点P（m，n）均有n≤2a+2b，∴a＜0，且，整理得：b＝﹣3a＞0，∴的开口向上，且抛物线与x轴交点的横坐标为，x2＝﹣1，如图所示，借助图象可知当x≥或x≤﹣1时，y2≥0．4．（2024•浙江一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式；（2）设P点的纵坐标为yp，当yp取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），x1＜x2＜﹣2，比较y1与y2的大小；（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，求出m的取值范围．【分析】（1）将（﹣1，﹣2）代入解析式求解．（2）将x＝﹣2代入解析式求出点P纵坐标，通过配方可得yp取最小值时m的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解．（3）分别将点A，B坐标代入解析式求解．【解答】解：（1）将（﹣1，﹣2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得﹣2＝1+2m+m2﹣2，解得m＝﹣1，∴y＝x2+2x﹣1．（2）将x＝﹣2代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得yP＝m2+4m+2＝（m+2）2﹣2，∴m＝﹣2时，yp取最小值，∴y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，∴x＜﹣2时，y随x增大而减小，∵x1＜x2＜﹣2，∴y1＞y2．（3）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（m，﹣2），∴抛物线随m值的变化而左右平移，将（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得m2﹣2＝2，解得m＝2或m＝﹣2，将（2，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得2＝4﹣4m+m2﹣2，解得m＝0或m＝4，∴﹣2≤m≤0时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段AB有交点，2≤m≤4时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段AB有交点．∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4．5．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A（﹣2，﹣4）和B（3，1）两点．（1）求b和c的值（用含a的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过C（2m﹣3，n），D（7﹣2m，n）两点，当k﹣3＜x＜k+3时，y随x的增大而减小，求k的取值范围；（3）已知点M（﹣6，5），N（2，5），若该抛物线与线段MN恰有一个公共点时，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）把A（﹣2，﹣4）和B（3，1）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；（2）先求出对称轴为：直线x＝2，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解；（3）分a＞0时，a＜0时，结合图象即可求解．【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣4）和B（3，1）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：；（2）∵抛物线经过C（2m﹣3，n），D（7﹣2m，n）两点，∴抛物线的对称轴为：直线，∵抛物线开口向下，当k﹣3＜x＜k+3时，y随x的增大而减小，∴k﹣3≥2，即k≥5；（3）①当a＞0时，x＝﹣6，y≥5，即a×（﹣6）2+（1﹣a）×（﹣6）﹣6a﹣2≥5，解得：，抛物线不经过点N，如图①，抛物线与线段MN只有一个交点，结合图象可知：；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段MN上时，则＝＝5，解得：a1＝﹣1，a2＝，当a1＝﹣1时，＝＝1，此时，定点横坐标满足﹣6≤﹣≤2，符合题意；当a1＝﹣1时，如图②，抛物线与线段MN只有一个交点，如图③，当a2＝时，＝＝13，此时顶点横坐标不满足﹣6≤≤2，不符合题意，舍去；若抛物线与线段MN有两个交点，且其中一个交点恰好为点N时，把N（2，5）代入y＝ax2+（1﹣a）x﹣6a﹣2，得：5＝a×22+（1﹣a）×2﹣6a﹣2，解得：a＝，当a＝时，如图④，抛物线和线段MN有两个交点，且其中一个交点恰好为点N，结合图象可知：a＜时，抛物线与线段MN有一个交点，综上所述：a的取值范围为：a≥或a＝﹣1或a＜04含参数类二次函数有关参数的取值范围的问题1．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；（3）求证：b2+4a＝0．【分析】（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），用待定系数法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m＝，根据﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；（3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【解答】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），∴，∴解得，∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝m，∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，∴由图象的对称性得n＝2m，∴m＝，∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∴﹣4＜n＜﹣2；（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），∴抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴﹣＝m，∴b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：，①×3+②得：12am2+12＝0，∴am2+1＝0，∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．2．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．【分析】（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3即可得t＝；（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并检验可得t的值为；（3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m满足的条件是3＜m＜4．【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：1＝4﹣4t+3，解得：t＝；（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为x＝t．若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值，∴t2﹣2t2+3＝﹣2，解得t＝；若t＞3，当x＝3时函数取最小值，∴9﹣6t+3＝﹣2，解得（不符合题意，舍去）；综上所述，t的值为；（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，∴t＝m﹣1，∵t＞0，∴m﹣1＞0，解得m＞1，∵m﹣2＜m，∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），∵b＜3，∴4＜2m﹣2，解得m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，∵y随x的增大而减小，且a＜b，∴4＜m﹣2，解得m＞6，此时m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，∵a＜b，∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），解得：m＜4，此时m满足的条件是3＜m＜4，综上所述，3＜m＜4或m＞6．3．（2023•杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝4，①求二次函数的表达式；②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；②利用二次函数的性质得出结论；（2）根据题意m≤0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，则二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，解得a≤﹣．【解答】解：（1）①由题意得，解得，∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小；（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a+2a+1≤0，∴a≤﹣．4．（2023•临平区二模）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）．（1）已知a＝1．①若函数的图象经过（0，3）和（﹣1，0）两点，求函数的表达式；②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求b+c的最小值．（2）若函数图象经过（﹣2，m），（﹣3，n）和（x0，c），且c＜n＜m，求x0的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法求出b，c的值，即可得出函数的表达式．②写出平移后的函数解析式，根据函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，利用判别式Δ＝0，即b2﹣4（c﹣2）＝0，整理为，进而求出b+c，再配方，结合二次函数的性质即可求解．（2）判定a＜0，由c＜n＜m，则|x0﹣x0|＞|x0+3|＞|x0+2|，即可求解．【解答】解：（1）∵a＝1，∴y＝x2+bx+c．①将（0，3）和（﹣1，0）两点代入y＝x2+bx+c．得，，解得：．∴y＝x2+4x+3．答：函数的表达式y＝x2+4x+3．②函数向下平移两个单位得y＝x2+bx+c﹣2，此时该函数与x轴恰好有一个交点，∴Δ＝0，即b2﹣4（c﹣2）＝0，b2﹣4c+8＝0，，∴b+c＝b+＝，∴当b＝﹣2时，b+c的最小值为1．答：b+c的最小值为1；（2）当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c，即抛物线和y轴的交点为：（0，c），而（x0，c），则抛物线的对称轴为x＝x0，当a＞0时，抛物线开口向上，∵函数图象经过（﹣2，m），（﹣3，n）且n＜m，∴x＝﹣3比直线x＝﹣2离抛物线对称轴更近，∴抛物线的对称轴在x＝﹣的左侧，则c＞m和题设矛盾，故a＜0，∵c＜n＜m，则|x0﹣x0|＞|x0+3|＞|x0+2|，解得：﹣5＜x0＜﹣3．综上，满足条件的x0＝0或﹣5＜x0＜﹣3．05区间范围内二次函数的最值问题1．（2024•拱墅区二模）已知二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），其中t≥0．（1）当t＝0时．①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？②当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，求m，n之间的关系式．（2）当t＞0时，在0≤x≤8范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）①把O（0，0），A（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，可求出y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x；而y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4，故当x为4时，y有最大值，最大值为4；②根据当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，可得﹣（m﹣4）2+4＝﹣（n﹣4）2+4，即可求出m+n＝8；（2）把二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），，可求出y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，故抛物线y＝﹣x2+x的对称轴为直线x＝；①当≥8，即t≥8时，﹣×82+×8＝18，解得t的值即可知当t的值为9，x的值为8时，y取得最大值18；②当＜8，即0＜t＜8时，有＝18，可解得：t＝﹣12﹣8（小于0，舍去）或t＝12﹣8（大于8，舍去）．【解答】解：（1）当t＝0时，A（8，0），①把O（0，0），A（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x；∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4，∴当x为4时，y有最大值，最大值为4；②∵当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，∴﹣（m﹣4）2+4＝﹣（n﹣4）2+4，∴（m﹣n）（m+n﹣8）＝0，∵m﹣n≠0，∴m+n＝8；（2）在0≤x≤8范围内，y存在最大值18，理由如下：∵二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），∴，解得，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线y＝﹣x2+x的对称轴为直线x＝；①当≥8，即t≥8时，x＝8，y＝﹣x2+x取得最大值，∴﹣×82+×8＝18，解得：t＝9，∴当t的值为9，x的值为8时，y取得最大值18；②当＜8，即0＜t＜8时，y＝﹣x2+x在顶点处取最大值，∴＝18，解得：t＝﹣12﹣8（小于0，舍去）或t＝12﹣8（大于8，舍去），综上所述，当t的值为9，x的值为8时，y取得最大值18．2．（2024•东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求出t的取值范围．【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；（2）①先确定出当x＝t时，y1的最小值为t，进而求出t，再判断出当x＝t+2时，y1取最大值，即可求出答案；②先由y1＜y2得出（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，进而得出或，最后分两种情况，利用t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，即可求出答案．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）；（2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴抛物线的对称轴为x＝t，∵1＞0，∴抛物线开口向上，∵t﹣1≤x1≤t+2，∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t，∵y1的最小值是﹣2，∴t＝2，∵|t﹣1﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝2，∴当x＝t+2时，y1最大＝（t+2﹣t）2﹣t＝4﹣t＝4﹣2＝2，即y1的最大值为2；②∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）2﹣t上，∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t，∵对于x1，x2，都有y1＜y2，∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，∴或，Ⅰ、当时，由①知，x2＞x1，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴1﹣t＞t+2，∴t＜﹣，由②知，x2+x1＞2t，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴0≤x2+x1≤3，∴2t＜0，∴t＜0，即t＜﹣；Ⅱ、当时，由③知，x2＜x1，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴1﹣t＜t﹣1，∴t＞1，由④知，x2+x1＜2t，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴0≤x2+x1≤3，∴2t＞3，∴t＞，即t＞；即满足条件的t的取值范围为t＜﹣或t＞．3．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN为矩形，求b2﹣4ac的值．【分析】（1）由新定义即可求解；（2）求出c＝﹣7a，得到抛物线的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c＝a（x2+2x﹣7），即可求解；（3）由MH2＝AH•DH，即可求解．【解答】解：（1）y＝x2+6x+3＝（x+3）2﹣6，则该函数的顶点坐标为：（﹣3，﹣6），则该顶点关于（1，0）的对称点为（5，6），则“中心对称”函数的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+6；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，则顶点坐标为：（﹣1，c﹣a），则“中心对称”函数的顶点坐标为：（3，a﹣c），则“中心对称”函数的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c，将（﹣1，c﹣a）代入上式得：c﹣a＝﹣a（﹣1﹣3）2+a﹣c，解得：c＝﹣7a，则抛物线的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c＝a（x2+2x﹣7），当时，即﹣5≤x≤2，则抛物线在x＝﹣5时，取得最大值为2，即a（25﹣10﹣7）＝2，解得：a＝，则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣；（3）如下图：设点A、D的横坐标分别为：x1，x2，Δ＝b2﹣4ac，则点M的坐标为：（﹣，），x1＝，根据点的对称性，点D的横坐标x2＝2﹣x1，由点A、H的坐标得，AB＝﹣，则BP＝1﹣，若AB＝2BP，即＝2﹣×2，整理得：2a+b＝2，当四边形AMDN为矩形时，则∠AMD＝90°，设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H，在Rt△ADM中，tan∠MDH＝＝tan∠AMH＝，则MH2＝AH•DH，而MH＝﹣，AH＝﹣﹣（）＝，DH＝（2﹣xA﹣xH），则（﹣）2＝×（2﹣xA﹣xH），整理得：＝（2b+4a+），将2a+b＝2代入上式得：＝×（5），解得：Δ＝20，即b2﹣4ac＝20．4．（2024•镇海区校级模拟）已知函数y＝x2+bx+3b（b为常数）．（1）若图象经过点（﹣2，4），判断图象经过点（2，4）吗？请说明理由；（2）设该函数图象的顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求m与n的关系式；（3）若该函数图象不经过第三象限，当﹣6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．【分析】（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中，即可得到函数表达式，然后把点（2，4）代入判断即可；（2）利用顶点坐标公式得到﹣＝m，＝n，然后消去b可得到n与m的关系式．（3）由抛物线不经过第三象限可得b的取值范围，分别讨论x＝﹣6与x＝1时y为最大值求解．【解答】解：（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得：4﹣2b+3b＝4，解得b＝0，∴此函数表达式为：y＝x2，当x＝2时，y＝4，∴图象经过点（2，4）；（2）∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是（m，n），∴﹣＝m，＝n，∴b＝﹣2m，把b＝﹣2m代入＝n得n＝＝﹣m2﹣6m．即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m．（3）把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b，∵抛物线不经过第三象限，∴3b≥0，即b≥0，∵y＝x2+bx+3b＝（x+）2﹣+3b，∴抛物线顶点（﹣，﹣+3b），∵﹣≤0，∴当﹣+3b≥0时，抛物线不经过第三象限，解得b≤12，∴0≤b≤12，﹣6≤﹣≤0，∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y＝﹣+3b，把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，当36﹣3b﹣（﹣+3b）＝16时，解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4．当1+4b﹣（﹣+3b）＝16时，解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）．综上所述，b＝4或6．1．对于二次函数y＝ax2+bx+c，定义函数是它的相关函数．若一次函数y＝x+1与二次函数y＝x2﹣4x+c的相关函数的图象恰好两个公共点，则c的值可能是（）A．﹣1 B．0 C． D．2【分析】画出一次函数y＝x+1与二次函数y＝x2﹣4x+c的相关函数的图象，利用数形结合的思想解答即可．【解答】解：直线y＝x+1与y轴的交点为（0，1），二次函数y＝x2﹣4x+c的相关函数为y＝，一次函数y＝x+1与函数y＝恰有两个交点，如图所示：由图象知，当c≥1时，y＝x+1与y＝x2﹣4x+c（≥0）恰有两个交点，∴方程x2﹣4x+c＝x+1有两个不相等的实数根，即x2﹣5x+c﹣1＝0，Δ＝（﹣5）2﹣4（c﹣1）＞0，∴c＜，∴c的取值范围为1≤c＜，∴c可能的值为2，故选：D．2．如图，抛物线y＝﹣﹣x+c（﹣6≤x≤0）与x轴交于点A（﹣6，0）．点P（t，y1），Q（t+3，y2）是抛物线上两点，当t≤x≤t+3时，二次函数最大值记为y最大值，最小值记为y最小值，设m＝y最大值﹣y最小值，则m的取值范围是（）A． B． C．≤m≤1 D．【分析】首先根据抛物线解析式求得对称轴方程；然后分类讨论：当点P，Q均在对称轴x＝﹣2左侧时，当点P在对称轴x＝﹣2左侧，Q在对称轴x＝﹣2右侧，利用抛物线的性质作答即可．【解答】解：抛物线y＝﹣﹣x+c（﹣6≤x≤0）的对称轴为：x＝﹣＝﹣2．当点P，Q均在对称轴x＝﹣2左侧时，有﹣6≤t＜﹣5，，，则，∵m随t的增大而减小，﹣6≤t＜﹣5，∴．当点P在对称轴x＝﹣2左侧，Q在对称轴x＝﹣2右侧时，①若点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，有﹣5≤t＜﹣3.5，，，则，对称轴：t＝﹣2，在对称轴左侧m随t的增大而减小，∴②若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，当﹣3.5≤t≤﹣3时，，，则，对称轴t＝﹣5，在对称轴左侧m随t的增大而增大，∴；∵﹣6≤t≤0，∴点P，Q不可能均在对称轴x＝﹣2右侧．综上可得：，故选：D．3．已知抛物线y＝﹣x2﹣2mx+3与直线y＝2x+10m在﹣4＜x＜0范围内有唯一公共点，则m的取值范围为（）A．或 B．或 C．或 D．或【分析】本题考查了一次函数和二次函数的交点问题，当y＝﹣x2﹣2mx+3与直线y＝2x+10m在﹣4＜x＜0范围内有唯一公共点时，Δ＝0，进一步分析求解即可．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2mx+3与直线y＝2x+10m在﹣4＜x＜0范围内有唯一公共点，∴令﹣x2﹣2mx+3＝2x+10m，即x2+（2m+2）x﹣3+10m＝0，当Δ＝0时，则（2m+2）2﹣4（﹣3+10m）＝0，解得m1＝4+2，m2＝4﹣2，当m＝4+2时，x2+（10+4）x+37+20＝0，解得：x1＝x2＝﹣5﹣2＜﹣4（不合题意，舍去）；当m＝4﹣2时，x2+（10﹣4）x+37﹣20＝0，解得：x1＝x2＝﹣5+2满足要求，所以m＝4﹣2；当Δ＞0时，y＝x2+（2m+2）x﹣3+10m在﹣4＜x＜0范围内有一个根，则x＝﹣4与x＝0时的两个函数值必须异号，当x＝﹣4时，y＝2m+5，当x＝0时，y＝10m﹣3，∴（10m﹣3）（2m+5）＜0，∵（10m﹣3）（2m+5）＝0时，m＝或m＝﹣且开口向上，则（10m﹣3）•（2m+5）≤0的解为﹣，综上所述：m＝4﹣2或﹣．故选：A．4．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A．或 B．或 C．或 D．【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1．【解答】解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；∴直线l：y＝x+．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．故选：B．5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是①②③（填写序号）．【分析】利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将（﹣1，0）代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标，由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定①正确；将a，b关系式代入a﹣b+c＝0可得②正确；令y＝0解方程即可判定③正确；利用函数的最小值可判定④不正确．【解答】解：∵a＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上．∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（m﹣3，n），（7﹣m，n），∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝2．∴﹣＝2．∴b＝﹣4a．∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0．∴a﹣（﹣4a）+c＝0．∴5a+c＝0．∴c＝﹣5a．∴二次函数的解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5a．∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，∴它的大致图象如图：由图象可知：y1＞y2，∴①的说法正确；∵a﹣b+c＝0，b＝﹣4a，∴5a+c＝0．∴②的说法正确；令y＝0，则ax2+bx+c＝0．∵b＝﹣4a，c＝﹣5a，∴ax2﹣4ax﹣5a＝0．∵a＞0，即x2﹣4x﹣5＝0．解得：x1＝﹣1，x2＝5，∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5．∴③的说法正确；∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，a＞0，∴当x＝2时，y有最小值为﹣9a，∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣9a．∴④的说法不正确．综上，正确结论是：①②③，故答案为：①②③．6．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝2x+1的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函数y＝（x＞0）的图象上有两个“等值点”A（，），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为3可得×|b|×|﹣b|＝3，求解即可；（3）先求出函数y＝