2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题05 特殊平行四边形中翻折、旋转、类比探究、新定义问题（学生版）

PAGE1PAGE专题05特殊平行四边形中翻折、旋转、类比探究、新定义问题通用的解题思路：1.四边形与翻折变换考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．2.四边形与旋转变换三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.3.类比探究问题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.1．（2022·广东深圳·中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．题型一特殊平行四边形中翻折问题1．（2024·广东肇庆·一模）在矩形中，，，点E为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点，过点做的垂线交于点N，交于点M．(1)如图1，求证：；(2)如图2，当落在对角线时，求的长；(3)如图3，连接，在折叠的过程中，满足下面条件情况下直接写出长．①当为以为顶点的等腰三角形时，长是多少？②当为以B为顶点的等腰三角形时，长是多少？2．（2024·广东汕头·一模）在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上的点F处．(1)如图①，若，求的度数；(2)如图②，当，且时，求的长；(3)如图③，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，当时，请直接写出的值．3．（2024·广东珠海·一模）已知矩形中，，，P是边上一点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连结，直线与射线相交于点F．

(1)如图1，当F在边上，若时，求的长；(2)若射线交的延长线于Q，设，，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)①如图2，直线与边相交于点G，若与相似，则________度；②如图3，当直线与的延长线相交于点H时，若．求的长．题型二特殊平行四边形中旋转问题1．在矩形中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为α（），得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G.

(1)如图1，当点E落在边上时，线段的长度为__________.(2)如图②，连接，当点E落在线段上时，与相交于点H，连接，①求证：.②求线段的长度.(3)如图3，设点P为边的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值为_____2．（2024·广东深圳·一模）在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且．（1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，_____；______．【类比探究】（2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______．题型三特殊平行四边形中类比探究问题1．（2024·广东深圳·模拟预测）（1）【问题探究】如图1，正方形中，点F、G分别在边、上，且于点P，求证：；（2）【知识迁移】如图2，矩形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且于点P，若，求的长；（3）【拓展应用】如图3，在菱形中，，，点E在直线上，，交直线或于点F，请直接写出线段的长．2．（2024·广东深圳·二模）综合与探究．【特例感知】（1）如图（a），是正方形外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．求证：；【类比迁移】（2）如图（b），在菱形中，，，是的中点，将线段，分别绕点顺时针旋转得到，，交于点，连接，，求四边形的面积；【拓展提升】（3）如图（c），在平行四边形中，，，为锐角且满足．是射线上一动点，点，同时绕点顺时针旋转得到点，，当为直角三角形时，直接写出的长．3．（2024·广东阳江·一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察猜想】（）如图，在正方形中，点分别是上的两点，连接，，则的值为__________．（）如图，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，则的值为__________；【类比探究】（）如图，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．【拓展延伸】（）如图，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点分别在边上，连接，，．求的值．题型四特殊平行四边形中新定义问题1．（2024·广东珠海·一模）【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形．【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H．【问题解决】（1）证明是型三角形；（2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形；【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积．2．我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．

(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是（填序号）；(2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，