2024年中考数学二次函数压轴题专题23 将军饮马模型（学生版）

将军饮马模型一、知识导航考情分析：通过全国中考试题分析来看，将军饮马的模型多出现在中考二次函数压轴题第二问中出现，难度不大，但需要注意对称点的选择，动点通常在对称轴上，而且已知定点中往往有一个与x轴的交点.考法主要有以下几种：1.求取最小值时动点坐标2.求最小值.3.求三角形或四边形周长最小值.模型一：两定点一动点如图，A,B为定点，P为l上动点，求AP+BP最小值解析：作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短）模型二：一定点两动点如图，P为定点，M、N分别为OA和OB上的动点，求△PMN周长最小值解析：分别作点P关于OA、OB的对称点，则△PMN的周长为PM+MN+NP=P'M+MN+NP''，当P'、M、N、P''共线时，△PMN周长最小．模型三：两定点两动点如图，P、Q为两定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求四边形PQMN的最小值.解析：∵PQ是条定线段，∴只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，分别作点P、Q关于OA、OB对称，PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ'，当P'、M、N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小。模型四：一定点两动点如图，P为定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求PM+MN最小值。解析：作点P关于OA对称的点P'，PM+MN=P'M+MN，过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）模型五：将军饮马有距离例一、如图，A、D为定点，B、C为直线l上两动点，BC为定值，求AB+BC+CD最小值？解析：BC为定值，只需求AB+CD最小即可；平移AB至CE,则变成求CE+CD的最小值，基本将军饮马的模型例二、如图，A、D为定点，B、C为直线l1、l2上两动点，BC⊥l1，求AB+BC+CD最小值？解析：BC为定值，只需求AB+CD最小即可；平移CD至BE，则变成求AB+BE最小，基本将军饮马.二、典例精析例一：如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点、、三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；【分析】（1）将点、的坐标代入二次函数表达式得：，即可求解；（2）连接、交对称轴于点，此时的值为最小，即可求解；【解答】解：（1）将点、的坐标代入二次函数表达式得：，则，解得：，抛物线的表达式为：，函数的对称轴为：，顶点坐标为；（2）连接、交对称轴于点，此时的值为最小，将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，直线的表达式为：，当时，，故点；例二：如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过点、，与轴另一交点为，顶点为．（1）求抛物线的解析式；（2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；【分析】（1）直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、，将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，即可求解；【解答】解：（1）直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、，将点、的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：，令，则或3，故点；（2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，函数顶点坐标为，点，将、的坐标代入一次函数表达式并解得：直线的表达式为：，当时，，故点，，则的最小值为；三、中考真题演练1．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______．3．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求周长的最小值；4．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；5．如图，已知抛物线与x轴的交点A（-3，0），B（1，0），与y轴的交点是点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上一点，当PB＋PC的值最小时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M，N，使得且以点C，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M和点N的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．7．已知