2025届新高考数学精准冲刺复习随机事件的概率与古典概型

必备知识·逐点夯实2025届新高考数学精准冲刺复习随机事件的概率与古典概型核心考点·分类突破【课标解读】【课程标准】1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.5.会用频率估计概率.【核心素养】数学抽象、数学运算.【命题说明】考向考法高考命题常以现实生活为载体,考查随机事件、样本点、事件间的关系、古典概型;古典概型是高考热点,常以选择题的形式出现.预测预计2025年高考古典概型知识点仍会出题.事件的互斥会与独立事件交汇命题.必备知识·逐点夯实知识梳理·归纳1.有限样本空间与随机事件(1)样本点:随机试验的每个可能的基本结果.(2)样本空间:全体样本点的集合,一般用Ω表示.(3)有限样本空间:样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}.(4)随机事件(事件):样本空间Ω的子集.(5)基本事件:只包含一个样本点的事件.2.两个事件的关系和运算微点拨

互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件.项目含义符号表示包含关系A发生导致B发生__________相等关系B⊇A且A⊇B_________并(和)事件______________________A∪B或A+B交(积)事件A与B同时发生______________互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=⌀互为对立A与B有且仅有一个发生______________________

A⊆B

A=B

A与B至少一个发生

A∩B或AB

A∩B=⌀,且A∪B=Ω

3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:__________.(2)P(Ω)=___,P(⌀)=___.(3)如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=___________.(4)如果事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=_______.(5)如果A⊆B,那么P(A)___P(B).(6)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).微思考

两个互斥事件的概率之和等于1吗?提示:两个互斥事件概率之和小于或等于1,只有当两互斥事件为对立事件时,其概率和等于1.1≥P(A)≥010P(A)+P(B)1-P(B)≤

5.频率与概率(1)频率的稳定性一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐____________事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.

(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A).微点拨

概率是一个常数,是一个理论值,不随试验次数的改变而改变;而频率是一个试验值,随着试验次数的改变而改变,是一个变量.

稳定于

类型辨析改编易错高考题号12,345×√√×2.(必修第二册P235练习1改编)一个人打靶时连续射击两次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(

)A.至少有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶

D.两次都不中靶【解析】选B.射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”,与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.3.(必修第二册P246习题9改编)从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为(

)A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【解析】选B.由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位:cm)的概率和该同学的身高超过175cm的概率和为1,故所求概率为1-0.2-0.5=0.3.4.(样本点理解错误)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为(

)A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选D.因为是有放回地随机摸3次,所以随机试验的样本空间为Ω={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(红,黑,黑),(黑,红,红),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)},共8个.

核心考点·分类突破考点一随机事件的频率与概率[例1](1)(多选题)一部机器有甲、乙、丙三个易损零件,在一个生产周期内,每个零件至多会出故障一次,工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如图所示的柱状图,由频率估计概率,在一个生产周期内,下列说法正确的是(

)A.至少有一个零件发生故障的概率为0.8B.有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大C.乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大D.已知甲零件发生了故障,此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大

75%

9328124585696834312573930275564887301135

投篮次数8101520304050进球次数681217253239进球频率

2.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如表:(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?【解析】(2)由于进球频率都在0.8左右摆动,故这位运动员投篮一次,进球的概率约是0.8.(3)若这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能投进8次吗?【解析】(3)不一定,一名运动员投篮进球的概率是0.8,表示投篮成功的可能性,他在10次一组的投篮中,可能会投进8次.投篮次数8101520304050进球次数681217253239进球频率

考点二互斥事件与对立事件[例2](1)(2024·长春模拟)连续抛掷一枚硬币3次,观察正面出现的情况,事件“至少2次出现正面”的对立事件是(

)A.只有2次出现反面B.至少2次出现正面C.有2次或3次出现正面D.有2次或3次出现反面【解析】选D.连续抛掷一枚硬币3次,正面出现的次数有0,1,2,3,因此事件“至少2次出现正面”的对立事件是“正面出现0次或1次”即“有2次或3次出现反面”.

解题技法1.求简单的互斥事件、对立事件的概率的方法解此类问题,首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出所给的两个事件是互斥事件还是对立事件,再选择相应的概率公式进行计算.2.求复杂的互斥事件概率的两种方法(1)直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.(2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式求解,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法会较简便.对点训练1.(多选题)下列说法中正确的有(

)A.若事件A与事件B是互斥事件,则P(AB)=0B.若事件A与事件B是对立事件,则P(A+B)=1C.某人打靶时连续射击三次,则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人,每人分得1张,则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件

【加练备选】1.(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A={两弹都击中飞机},事件B={两弹都没击中飞机},事件C={恰有一弹击中飞机},事件D={至少有一弹击中飞机},则下列关系正确的是(

)A.AD=⌀

B.BD=⌀C.A+C=D

D.A+B=B+D【解析】选BC.“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中且第二枚没中或第一枚没中且第二枚击中,“至少有一弹击中飞机”包含两种情况,一种是恰有一弹击中,另一种是两弹都击中,故AD≠⌀,BD=⌀,A+C=D,A+B≠B+D.2.某河流A与河流B是水库C的主要水源,只要河流A,B之一不缺水,水库C就不缺水.根据经验知道河流A,B不缺水的概率分别是0.7和0.9,同时不缺水的概率是0.65.则水库C不缺水的概率为