第11讲上不等式

第十一讲不等式（上）

一、基础知识

・一次不等式（组）

只含一个未知数，而且未知数的最高次数是1的不等式称为一元一次不等式，它的一般形式是ax>b或

ax<b（aWO）,任何一个一元一次不等式总可以通过去分母，去括号，移项，合并同类项化为一般形式,

解不等式的根据是不等式的同解原理。

・不等式的基本性质和同解原理

不等式的基本性质

反身性如果a>b,那么bva

传递性如果a>b,b>c,那么a>c

平移性如果a>b,那么a+c>b+c

伸缩性如果a>b,c>0,那么ac>bc

如果a>b,c<0,那么acvbc

不等式的同解原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等

式是同解不等式。

不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不

等式。

不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不

等式与原不等式是同解不等式。

・方程与不等式

方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的有力工具.方程与不等式既有相

似点，又有不同之处，主要体现在：

1.解一元一次不等式与解一元一次方程类似,但解题时要注意两者之间的重要区别：等式两边都乘（或

除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘（或除）以同一个数时，不但要考虑这个

数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.

2.解不等式组与解方程组重要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”

式的加工，但在解不等式组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求

公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”。

二、例题

第一部分定义与性质

例1.（★）若a+b<0,ab<0,a<b,则a,-a,b,-b的大小关系用不等式表示为.

（武汉市竞赛题）

例2.（★）已知a#0,下面给出4个结论：①a2+l>0；②l-a2<0；③1+±>1；（4）1-^<1.

aa

其中，一定成立的有（）.

（A）l个（B）2个（C）3个（D）4个

（第十五届江苏省竞赛题）

第二部分解不等式（组）

,c11cc

4x—2H------>------F3x+2

例3.（★★）不等式％-5x-5的解集为（希望杯训练题）

例4.（★★★）解关于x的不等式a?。—1）<3。+尤+2（希望杯训练题）

例5.(★★)解不等式组4x—3<=5+2x（北京市中考模拟试题）

5+x1-x

2------〉I-------

714

例6.(★★★★)若正数a、b、c满足不等式组

11,c

—c<a+b<2c

6

3,5

<—a<b+c<—a

23

5,11,

—b<a+c<—b

[24

则a、b、c的大小关系是().

(第九届祖冲之杯”邀请赛试题)

(A)a<b<c(B)b<c<a(C)c<a<b(D)不确定

第三部分解的问题

在已知解的情况下，对不等式中的参数进行讨论是一种重要的题型。

例7.(★★★)如果关于x的不等式(2m-n)x-m-5n>0的解集为x<W

那么关于x的不等式m

7

x>n(mW0)的解集为.

(哈尔滨市竞赛题)

例8.(★★)不等式mx-2〈3x+4的解集是x>)—,贝加的取值范围是

m-3

(北京市中考模拟试题)

x+4x

例9.(★★)若关于x的不等式组工一〉万+1的解集为x<2,

则a的取值范围是

x+a(O

(希望杯训练题)

2x-aa.x「

-------->-----14-^—<5

例10.(★★★)如果关于X的不等式32a同解，贝!Ja()

_2_2

A、不存在B、等于-3C、等于5口、大于二

(希望杯训练题)

x>a+2

例11.(★★★)如果不等式组无解，那么a的取值范围是

x<3a-2

(北京市中考模拟试题)

2(x-m)>x+m+1

例12.(★★★)已知关于的不等式有解.则m的取值范围是

3m-5x>2(x+5m-1)

(希望杯训练题)

例13.(★★★)已知不等式3x—aW0只有三个正整数解，那么这时正数a的取值范围是

.(希望杯数学邀请赛试题)

x+y="7+2

例14.(★★★)若方程组1'的解x、y都是正数，则m的取值范围是_______

4x+5y=6m-3

(2002年河南省中考题)

x>a+2\x>2-a

例15.(★★★★)如果不等式组无解，则不等式组的解的情况怎样？

x<3。-2x<a+2

(希望杯训练题)

例16.(★★★★)如果不等式组的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a、

8x-b<Q

b的有序数对(a,b)共有多少个?

(全国初中数学联赛试题)

三、练习

1.(★)下列不等式中正确的是().(北京市中考模拟试题)

(A)4.la<4a(B)5_a>4-a

(C)a5>a4(D)->-

aa

2.(★)适合不等式2x-L>-3x+1424x-21的值的范围是().(北京市中考模拟试题)

(A)x>3(B)xW5(C)3<xW5(D)3Wx<5

3.(★★)已知a、b为常数，若ax+b>0的解集是x〈L,则bx—a<0的解集是().

3

(A)x>-3(B)x<-3(C)x>3(D)x<3

(江苏省竞赛题)

4.(★★★)(1997年，安徽省竞赛题)已知关于x的不等式(2a—b)x+a—5b>0的解是x〈一，则

7

奴+6〉0的解是()

,33c3c3

A%>—B—Cx>—Dx-c—

5555

5.(★★)已知关于x的不等式比三・3竺二1■的解集是x2之，那么

324

m的值是.

(第十二届“希望杯”邀请赛试题)

x+2y=6

6.(★★★)当k为何整数值时，方程组4,有正整数解.

x-y=9-3k

(天津市竞赛题)