平行四边形的判定2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.2.2平行四边形的判定平行四边形的判定(1)——对角线、角

探究平行四边形的判定1.(新教材P60引例改编)如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,且OA＝OC,OB＝OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵OA＝OC,OB＝OD,

,∴

.∴

.∴AB∥CD.同理,

.∴四边形ABCD是平行四边形.∠AOB＝∠COD△AOB≌△COD(SAS)∠OAB＝∠OCDAD∥BC2.如图所示的四边形ABCD

(填“是”或“不是”)平行四边形.是总结：图形平行四边形的判定(有关对角线、角)几何语言

判定1：对角线

的四边形是平行四边形∵

,∴四边形ABCD是平行四边形判定2：两组对角分别

1

的四边形是平行四边形∵

1

,∴四边形ABCD是平行四边形互相平分OA＝OC,OB＝OD相等∠BAD＝∠BCD∠ABC＝∠ADC

利用有关对角线、角的判定证明平行四边形3.(判定1)(新教材P60例4)如图,▱ABCD的对角线AC,BD

相交于点O,点E,F在AC上,并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO＝OD,AO＝CO.∵AE＝CF,∴OA－AE＝OC－CF.∴EO＝OF.又∵OB＝OD,∴四边形BFDE是平行四边形.4.(新教材P61T3)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点

O,且E,F分别是OA,OC的中点.连接DE,DF,BE,BF.求证：四边形DEBF是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC,OB＝OD.∵E,F分别是OA,OC的中点,∴OE＝OA,OF＝OC.∴OE＝OF.又∵OB＝OD,∴四边形DEBF是平行四边形.5.(判定2)如图,在四边形ABCD中,已知∠A＝∠C,

AD∥BC.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵AD∥BC,∴∠A＋∠B＝180°,∠C＋∠D＝180°.∵∠A＝∠C,∴∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形.6.如图,在四边形ABCD中,∠B＝∠D,∠DCA＝∠CAB.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠B＝∠D,∠DCA＝∠CAB,∴∠DAC＝∠ACB.∴∠DAC＋∠CAB＝∠ACB＋∠DCA,即∠DAB＝∠DCB.又∵∠B＝∠D,∴四边形ABCD是平行四边形.7.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O.若AC＝8cm,

BD＝10cm,则当AO＝

cm,DO＝

cm时,四边形ABCD

为平行四边形.458.下面给出了四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A.1∶2∶3∶4B.2∶2∶3∶3C.2∶3∶2∶3D.2∶3∶3∶2C9.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠1＝∠2,OA＝OC.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在△COD和△AOB中,∴△COD≌△AOB(AAS).∴OD＝OB.又∵OA＝OC,∴四边形ABCD是平行四边形.10.如图,O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点,EF经过点O,且与AB交于点E,与CD交于点F.求证：四边形

AECF是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴CF∥AE.∴∠OCF＝∠OAE.∵O为AC的中点,∴AO＝CO.在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF(ASA).∴OE＝OF.又∵AO＝CO,∴四边形AECF是平行四边形.11.如图,在▱ABCD中,AE,CF分别是∠DAB,∠BCD的平分线.求证：四边形AFCE是平行四边形.证明：在▱ABCD中,∠BAD＝∠BCD,AD∥BC.∵AE,CF分别平分∠DAB,∠BCD,∴∠EAF＝∠BAD,∠FCE＝∠BCD.∴∠EAF＝∠FCE.∵AD∥BC,∴∠EAF＝∠AEB.∴∠FCE＝∠AEB.∴AE∥CF.又∵AF∥EC,∴四边形AFCE是平行四边形.12.如图,已知在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交

CD于点F,交BC的延长线于点E.(1)求证：BE＝CD；(2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE.求证：四边形

ACED是平行四边形.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB＝CD.∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE＝∠DAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴BE＝AB.∴BE＝CD.(2)∵BE＝AB,BF平分∠ABE,∴AF＝EF.在△ADF和△ECF中,∴△ADF≌△ECF(ASA).∴DF＝CF.又∵AF＝EF,∴四边形ACED是平行四边形.平行四边形的判定(2)——边图形平行四边形的判定(有关边)几何语言

判定3：两组对边分别

5的四边形是平行四边形∵

5,∴四边形ABCD是平行四边形判定4：两组对边分别

5的四边形是平行四边形

∵

5,∴四边形ABCD是平行四边形判定5：

5组对边

5且

5的四边形是平行四边形∵

5,∴四边形ABCD是平行四边形平行AB∥CD,AD∥BC相等AB＝CD,AD＝BC一平行相等AB

CD(或AD

BC)1.(判定3)如图,在四边形ABCD中,∠1＝∠2,AD∥BC.

求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠1＝∠2,∴AB∥CD.又∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.2.如图,在四边形ABCD中,∠1＝∠2,∠3＝∠4.求证：四边

形ABCD是平行四边形.证明：∵∠1＝∠2,∴AD∥BC.∵∠3＝∠4,∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.3.(判定4)如图,在四边形ABCD中,∠A＝∠C,∠1＝∠2.

求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在△ABD和△CDB中,∴△ABD≌△CDB(AAS).∴AB＝CD,AD＝BC.∴四边形ABCD是平行四边形.4.如图,在▱ABCD中,点E,F分别在AB,DC上,且AE＝CF.

求证：四边形DEBF是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AB∥CD.∵AE＝CF,∴AB－AE＝CD－CF,即BE＝DF.易证△ADE≌△CBF(SAS).∴DE＝BF.∴四边形DEBF是平行四边形.5.(判定5)如图,在四边形ABCD中,AB＝CD,∠1＝∠2.求

证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠1＝∠2,∴AB∥CD.又∵AB＝CD,∴四边形ABCD是平行四边形.6.如图,在四边形ABCD中,AD＝BC,AE⊥BD,CF⊥BD,垂

足分别为E,F,AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AED＝∠CFB＝90°.在Rt△AED和Rt△CFB中,∴Rt△AED≌Rt△CFB(HL).∴∠ADE＝∠CBF.∴AD∥BC.又∵AD＝BC,∴四边形ABCD是平行四边形.7.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,添加一个条件,可

使四边形ABCD是平行四边形.下列条件中不符合要求的

是()A.BC∥ADB.BC＝ADC.AB＝CDD.∠A＋∠B＝180°B8.如图是四连杆平开窗铰链及其示意图,已知AB＝40cm,

BC＝25cm,DE＝CF＝10cm,CD＝EF＝9cm.当

CD⊥AB时,窗户为完全开启状态,则点A到点E的距离为

cm.289.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为AB的中点,连接

DE并延长交CB的延长线于点F,且B为CF的中点.求证：

四边形ABCD是平行四边形.证明：∵E为AB的中点,∴AE＝BE.∵AD∥BC,∴∠EAD＝∠EBF.在△ADE和△BFE中,∴△ADE≌△BFE(ASA).∴AD＝BF.∵B为CF的中点,∴BF＝BC.∴AD＝BC.又∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.10.如图,分别以△ABC的三边为边长,在BC的同侧作等边

△ABD、等边△BCE、等边△ACF,连接DE,EF.求证：

四边形ADEF是平行四边形.证明：∵△ABD,△BCE,△ACF是等边三角形,∴∠ABD＝∠EBC＝60°,AD＝AB,BE＝BC,AC＝AF.∴∠DBE＋∠EBA＝∠ABC＋∠EBA＝60°,∴∠DBE＝∠ABC.在△DBE和△ABC中,∴△DBE≌△ABC(SAS).∴DE＝AC.又∵AC＝AF,∴DE＝AF.同理可证DA＝E