2025版高考数学一轮总复习考点突破第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性考点1函数的奇偶性

函数的奇偶性考向1推断函数的奇偶性——自主练透1.(多选题)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R，则(BD)A．f(x)＋g(x)是奇函数B．f(x)|g(x)|是奇函数C．f(x)g(x)是偶函数D．f[g(x)]是偶函数[解析]依据奇函数、偶函数的定义逐一推断即可．因为f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠f(x)＋g(x)且f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；因为f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故B正确；因为f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)≠f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，不是偶函数，故C错误；因为f[g(－x)]＝f[g(x)]，所以f[g(x)]是偶函数，故D正确．故选BD.2．推断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝(1＋x)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(2)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(3)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(4)f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2)；(5)f(x)＝ln(x＋eq\r(x2＋1))；(6)f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1).[分析]先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带确定值号的先化简，计算f(－x)，再推断f(－x)与f(x)之间的关系．抽象函数常用赋值法推断．[解析](1)由题意得eq\f(1－x,1＋x)≥0且x≠－1，∴－1<x≤1，∴f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)不存在奇偶性，为非奇非偶函数．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1≥0，,1－x2≥0))得x＝±1，定义域关于坐标原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(3)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．(4)去掉确定值符号，依据定义推断．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x≠0.))故f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2>0.从而有f(x)＝eq\f(\r(1－x2),x＋2－2)＝eq\f(\r(1－x2),x)，这时有f(－x)＝eq\f(\r(1－－x2),－x)＝－eq\f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(5)f(－x)＝ln(－x＋eq\r(x2＋1))f(－x)＋f(x)＝ln[(－x＋eq\r(x2＋1))(x＋eq\r(x2＋1))]＝ln(x2＋1－x2)＝0∴f(x)为奇函数(6)f(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(2－x－1·2x,2－x＋1·2x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．名师点拨：推断函数的奇偶性的方法1．定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则马上可推断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再推断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，据此得出结论．2．图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．3．性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要留意各函数的定义域)考向2函数奇偶性的综合应用——多维探究角度1利用性质求解析式1.(2024·十堰模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋ax＋a＋1，则f(－2)等于(A)A．－2 B．2C．－6 D．6[解析]因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当x≥0时，f(x)＝x2－x，则f(－2)＝－f(2)＝－2.2．(2024·吕梁模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x－1，则当x<0时，f(x)等于(D)A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1[解析]当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x＋1.角度2利用奇偶性求参数的值或取值范围1.已知f(x)＝ax2＋bx＋c是定义在[b－1,2b]上的奇函数，则a＋b＋c＝(B)A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[解析]依题意a＝c＝0，且2b＋(b－1)＝0，∴b＝eq\f(1,3)，则a＋b＋c＝eq\f(1,3).2．(2024·全国乙理，4,5分)已知f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函数，则a＝(D)A．－2 B．－1C．1 D．2[解析]解法一(特值法)：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．由f(x)是偶函数，可得f(x)＝f(－x)，令x＝1，得f(1)＝f(－1)，即eq\f(e,ea－1)＝－eq\f(1,ee－a－1)，化简得e＝ea－1，a－1＝1，所以a＝2.解法二：f(x)＝eq\f(xex,eax－1)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．由f(x)为偶函数知f(x)＝f(－x)，即eq\f(xex,eax－1)＝eq\f(－xe－x,e－ax－1)，即eq\f(ex,eax－1)＝－eq\f(1,exe－ax－1)，化简得e2x＝eax，所以a＝2.名师点拨：1．求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．2．求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．【变式训练】1．(角度1)(2024·课标全国Ⅱ改编)设f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(A)A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1[解析]当x<0时，f(x)＝f(－x)＝e－x－1.故选A.2．(角度2)已知函数f(x)＝x(2x＋a×2－x)(x∈R)，若f(x)是偶函数，则记a＝m，若f(x)是奇函数，则记a＝n，则m＋2n＝(B)A．0 B．1C．2 D．－1[解析]当f(x)是偶函数时，f(x)＝f(－x)，即x(2x＋a×2－x)＝－x(2－x＋a×2x)，即(1＋a)·(2x＋2－x)x＝0，因为上式对随意实数x都成立，所以a＝－1，即m＝－1；当f(x)是奇函数时，f(－x)＝－f(x)，即－x(2－x＋a×2x)＝－x(2x＋a×2－x)，即(1－a)(2x－2－x)x＝0，因为上式对随意实数x都成立，所以a＝1，即n＝1，所以m＋2n＝1.3．(角度2)(2024·云南省昆明市云南师大附中高三高考适应性月考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(