高中数学热点题型增分练专题19数列求和归类教师版新人教A版选择性必修第二册

专题19数列求和归类【题型一】公式法求和1（等差）【典例分析】．已知数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)求.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用累乘法求出时，通过验证也满意，从而求出通项公式为，；（2）依据第一问得到数列为等差数列，进而利用等差数列求和公式进行求解.【详解】（1）因为，，所以当时，，又满意，综上：，；（2）由（1）知：，；由等差数列求和公式可得：【提分秘籍】基本规律等差数列求和公式：(1)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列.【变式训练】在等比数列中，，．(1)求；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)；(2)．【分析】(1)设的公比为，依据已知条件列出关于首项和公比q的方程组，求出首项和公比，依据等比数列通项公式即可求解；(2)求出的通项公式，推断其为等差数列，依据等差数列求和公式即可求解．【详解】（1）设的公比为，依题意得，解得，因此．（2）∵，∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，故其前项和．【题型二】公式法求和2（等比）【典例分析】已知数列满意，.(1)记，写出，，并求数列的通项公式；(2)求的前12项和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由数列的通项公式可求出，从而得到，又由可知数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.故；（2）由数列的通项公式可得数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，然后依据等比数列求和求解即可.（1）解：由题意得：当时，①当时，②由②，即，③把③代入①，得故，且，，所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.故.（2）把①代入②，得，且所以数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，故，于是.【提分秘籍】基本规律等比数列有关公式：通项公式：an＝a1qn－1； (2)前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))（3）【变式训练】在①，②，③数列为等比数列这三个条件中选出两个，补充在下面的横线上，并解答这个问题.问题：已知等比数列的前项和为，___________.(1)求数列的通项公式；(2)若的前项和为，且，求的值.注：假如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】（1）选条件①②：结合等比数列的通项公式将条件化为基本量和的关系，即可求解；选条件①③：依据数列为等比数列，可结合其性质得到，再将条件化为基本量和的关系，再结合即可求解；选条件②③：依据数列为等比数列，可结合其性质得到，与都化为基本量和的关系，解方程组即可求解.（2）依据等比数列的求和公式可求出，再利用分组求和即可表示出，即可建立方程求解.【详解】（1）解：选条件①②：设数列的公比为，则，所以，所以.选条件①③：设数列的公比为，因为，数列为等比数列，所以，得，化简可得，得.所以.选条件②③：设数列的公比为，因为数列为等比数列，所以，得，化简可得，因为，所以.因为，所以，所以.（2）依据等比数列求和公式可得，利用分组求和，可得.所以，得.【题型三】倒序求和【典例分析】已知函数．(1)证明函数的图像关于点对称;(2)若，求；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，，满意，证明即可；（2）依据（1）中的性质即可求出.【详解】（1）证明：因为函数的定义域为，设，是函数图像上的两点，其中且，则有，因此函数图像关于点对称；（2）由（1）知当时，，①，②，①+②得，即.【提分秘籍】基本规律若函数f（x）有对称中心，则数列f（n）的前n项和，可以借助对称中心构建倒序求和。所以倒序求和，多是具有中心对称的【变式训练】设是函数的图象上随意两点，且，已知点的横坐标为．(1)求证：点的纵坐标为定值；(2)若且求；【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用中点坐标公式的表示，得到，然后代入求中点的纵坐标的过程，依据对数运算法则，可以得到常数；（2）利用（1）中所求，当时，，可以接受倒序相加法，求和即可.【详解】（1）证明：设，因为，故可得，由知，故，故.故点的纵坐标为定值.（2）由（1）知。，两式相加得：，故.【题型四】错位相消【典例分析】已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满意，.(1)证明：数列是等差数列；(2)若数列满意，记，证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用与的关系，即可证明是等差数列（2）利用错位相减法求得，可以证明【详解】（1））当时，，得，当时，，又，两式相减得，，整理得，∵，∴，∴数列是首项为1，公差为的等差数列.（2）由（Ⅰ）可知，数列的通项公式为，故，∴①，②，①－②得，，故，∴.【提分秘籍】基本规律错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解．思维结构结构图示如下【变式训练】数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)数列满意，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用数列通项与前n项和的关系求解；（2）利用错位相减法求解.【详解】（1）解：当时，，当时，，又，两式相减得，，又，且，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以.（2）由（1）知：，则，，，.【题型五】正负相间求和【典例分析】已知等比数列的前项和为为常数）.(1)求的值，并写出数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由已知求、，由为等比数列求出，写出通项公式；（2）由（1）写出通项公式，由奇偶项和为定值，用并项求和法求.【详解】（1）由，当时，.当时，.因为数列为等比数列，所以适合，所以，（2）由，则所以【提分秘籍】正负相间求和：1.奇偶项正负相间型求和，可以相邻的正负两项结合构成“常数数列”。2.假如须要探讨奇偶，一般状况下，先求偶，再求奇。求奇时候，干脆代入偶数项公式，再加上最终的奇数项通项。【变式训练】已知数列的各项均为正数的等比数列，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等比数列的通项公式求解即可；（2）由（1）可得，再分类探讨结合分组并项求和法求解即可【详解】（1）设公比为，由题意得解得（2）当为偶数时，，当为奇数时，；．【题型六】裂项相消基础【典例分析】已知等差数列中，，为其前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)令，，，若对一切成立，求最小正整数的值.【答案】(1);(2)5.试题解析：(1)∵等差数列中，，为其前项和，，∴，解得，，∴.(2)∵时，，当时，上式成立，∴，∴随递增，且，，，∴，∴最小正整数的值为5.【提分秘籍】基本规律基本规律裂项相消法：常用的裂项公式有：①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)； ②eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))； 【变式训练】已知公差不为0的等差数列满意，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，并求使得成立的最小正整数.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题意求得首项和公差，据此可得通项公式为；(2)裂项求和得到关于实数n的不等式，求解不等式可得使得成立的最小正整数的值为26.试题解析：（1）是公差不为0的等差数列，设公差为，∵，，成等比数列，∴得，解得：或（舍去），∴.（2）∵即化简得：，，使不等式成立的最细正整数为.【题型七】分组求和1：等差等比分组【典例分析】已知数列的首项，且满意.(1)求证：是等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由递推式变形得，从而利用等比数列的定义即可得证；（2）由（1）求得，再利用分组求和法与等比数列的前项和公式即可得解.【详解】（1）因为数列的首项，且满意，所以，即，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可得，则，所以.【提分秘籍】基本规律形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加（减）【变式训练】已知正项等比数列满意且是的等差中项，数列满意．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）依据条件，列方程求出和，运用累加法求出；（2）令，对分类探讨即可.【详解】（1）设数列的公比为q，由条件得，即，解得或（舍），，累加得：，，又符合该式，所以；（2）令，则，又，则当时，，当时，，又当时，，当时，，时，，时，，.【题型八】分组求和2：裂项分组【典例分析】已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满意，，，成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)设等差数列的公差为，依据题意列出关于和的方程组求解即可；(2)依据题意可得，利用裂项相消和分组求和运算求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得：，即，整理得，解得，所以，∵，所以.（2）∵，∴，故.【提分秘籍】基本规律形如an＝，用分组+裂项求和法求和，分别求和而后相加减【变式训练】已知公比大于1的等比数列满意，，数列的通项公式为(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和Tn．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用等比数列的通项公式化简条件，求出等比数列的公比，由此可得数列的通项公式；(2)由(1)可得，利用裂项相消法和组合求和法求数列的前n项和Tn.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，由，，可得，即得，解得或（舍去），故，所以的通项公式为；（2）若，则，故，即，即所以.【题型九】分组求和3：正负相间分组【典例分析】已知数列的前n项和公式为．(1)求证：数列是等比数列；(2)令，求数列的前n项和；【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用之间的关系，求得的关系，依据等比数列的定义，即可证明；（2）依据（1）中所求，求得，对进行分类探讨，结合等比数列的前项和公式，即可求得结果.【详解】（1）数列的前n项和，，则当时，，即，当时，，解得，所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，，，，当n为偶数时，，于是得，当n为奇数时，，所以.【提分秘籍】基本规律.形如，多可以通过奇偶取值，再各自求和，得到奇数项或者偶数项和【变式训练】在等比数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）等比数列可求出首项、公比和通项，可得到数列的通项.（2），接受分组求和法求.【详解】（1）设等比数列的公比为，则所以，故.（2）由(1)得，，.【题型十】分段数列求和【典例分析】.已知数列满意(1)求的值；(2)求的前50项和．【答案】(1)2，(2)675【分析】（1）依据递推公式依次求出2,3,4,5项即可；（2）先说明奇数项成等差，然后将和分为奇数项与偶数项的和分别求和即可.【详解】（1）依据递推公式可知：．（2）依据递推公式知：当时，．于是，即．所以，是以1为首项，1为公差的等差数列；且【提分秘籍】基本规律有分段型（如），可奇偶各段各自求和。分段型，还包括符号型（如），周期型（如）等等【变式训练】已知数列的前项和为，且满意，等差数列中，，.(1)求数列，的通项公式；(2)定义，记，求数列的前20项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）依据，作差即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，再设数列的公差为，即可得到方程组，解得、，从而求出的通项公式；（2）依据通项公式推断数列的单调性，即可得到的通项公式，再用分组求和法计算可得.【详解】（1）解：因为，当时，解得，当时，所以，即，所以，即是以为首项，为公比的等比数列，所以；设数列的公差为，由，，可得，解得，所以.（2）解：因为，即数列为递增数列，即数列单调递减，，，，，，，，，，，，，所以当时，当时，所以，所以.【题型十一】裂项相消拔高1：f（x）型裂项【典例分析】已知数列为等差数列，，，其前项和为，且数列也为等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.解：（1）设等差数列的公差为，，，成等差数列，，解得，，经检验，所以数列为等差数列，.（2），，设数列的前项和为，则.【提分秘籍】基本规律1.形如，可列为型。其中，分子a-b是隐藏比较深的分母相减结果，须要留意构造出这种形式。2.假如分子次幂比较高，可以先分别常数，再构造分母之差的形式。【变式训练】．已知正项数列的前项和为，满意.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列前项和的值.【答案】(1);(2).试题解析：（1)当时，即,解得,①②①-②：，所以，即，因为是正项数列，所以，即，其中，所以是以为首相，1为公差的等差数列，所以.(2)因为，所以，所以，所以.【题型十二】裂项相消拔高2：指数型裂项【典例分析】已知数列满意，.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，若对于随意的，均有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由，则，两式相除得：.当为奇数时，，当为偶数时，，∴.（2）由（1）知，则，∴，由恒成立，则.【提分秘籍】基本规律形如指数型，其中f（n）可构造为，化为。留意构造过程中指数幂的运算【变式训练】已知数列是公差为1的等差数列，是单调递增的等比数列，且，，.（1）求和的通项公式；（2）设，数列的前项和，求；（3）若数列的前项积为，求.（4）数列满意，，其中，，求.【答案】（1），；（2）；（3）；（4）；（5）介绍见解析.【详解】（1），则，解得，故，，即，，解得或（舍去），，故.（2）故.（3），故；（4），即.培优第一阶——基础过关练1．（2024·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）依题意可得，依据，作差即可得到，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再依据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，．【整体点评】（2）法一：依据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；法二：依据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．2．（2024·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.【详解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，明显对于也成立，∴的通项公式；（2）∴3．（·湖北·高考真题（文））已知数列和满意：，，，，且是以为公比的等比数列.（1）证明：；（2）若，证明：数列是等比数列；（3）求和：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）利用列方程，结合已知条件进行化简，由此证得.（2）求得、，由此求得，进而证得数列是等比数列.（3）利用分组求和法，结合对进行分类探讨，由此求得.【详解】（1）∵是以为公比的等比数列，∴，∴，∴.（2）∵，∵数列，，，…和数列，，，…均是以为公比的等比数列，故，，∴.故是首项为5，公比为的等比数列.（3）由（2），得，，∴.当时，；当时，，∴.4．（2024·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满意，记的前n项和为，若对随意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，结合与的关系，分探讨，得到数列为等比数列，即可得出结论；（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对随意恒成立，分类探讨分别参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当时，，，当时，由①，得②，①②得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，，得；时，，得；所以.【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽视状况；（2）恒成立分别参数时，要留意变量的正负零探讨，如（2）中恒成立，要对探讨，还要留意时，分别参数不等式要变号.5．（2024·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满意．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和，，．设，

⑧则．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知，令，且，即，通过等式左右两边系数比对易得，所以．则，下同方法二．[方法四]：导函数法设，由于，则．又，所以，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算实力，是一道中档题，其中证明不等式时接受作差法，或者作商法要依据式子得结构类型灵敏选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一干脆作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二依据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；方法三接受构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.培优其次阶——培优拔尖练1．（2024·陕西汉中·模拟预料（文））已知等差数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）将化简一下用基本量表示出来解方程可得，进而求出通项公式；（2）将代入后，作为一组分组表示出来可得前项和.【详解】（1）由可得，即，设等差数列的公差为，则，解得.（2）由（1）可得，.2．（20