空间距离的计算

6.3.4空间距离的计算

1.已知四面体4一BCD的顶点分别为4(2,3,1),5(1,0,2),C(4,3,-l),。(0,3,—3),则点。至IJ平面4BC的距

离.

【答案】3/

【解答】

解：因为四面体四个顶点分别为4(2,3,1),8(1,0,2),C(4,3-1),0(0,3,-3),

所以宿=(2,0,-2)>AD=(-2,0,-4).

设平面4BC的法向量为元=(a,b,c),

所以｛六一不妨令a=3,则c=3,解得b=0.

平面ABC的法向量为丘=(3,0,3).

所以顶点。到平面4BC的距离为噂=凄景=3V2.

|n|V9+9

故答案为：35

2.已知四棱锥P-4BCD中，AB=(4,-2,3),同=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8).则点P到底面4BCD的距

离为()

A—B.—C.1D.2

1326

【答案】D

【解答】

解：四棱锥P-4BC0中，AB=(4,-2,3).AD=(-4,1,0)，AP=(-6,2,-8)，

设平面4BCD的法向量为元=(x,y,z),

则£.理=0,

炳•4D=0

讦俎［4x-2y+3z=0

可得l—4x+y=0,

不妨令x=3,则y=12,z=4,

可得元=(3,12,4),

则而=(-6,2,-8).设点P到底面ZBCD的高为无，

所以/i=|AP||cos<AP，n>|

■AP'Ylj1—18+24—321r

=E=-—=2,

所以该四棱锥的高为2.

故选：D.

3.四棱锥S—ABCD中，通=(4,一2,3),荷=(一4,1,0),福=(一3,1,-4),则这个四棱锥的高九为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解答】

解：•••设面4BCD的法向量为元=(x,y,z),

.jn-AB=0

飞•而=o'

(4x—2y+3z=0

"I—4x+y=O

,・,令x=l,则y=4,z=；,

故选A.

4.在棱长为1的正方体/BCD-&8]CiDi中，点民尸分别是棱&Di，CCi的中点，在平面B8]CiC内存在点G使

得4G〃“，则直线4D到平面EFG的距离为（）

A.渔BWC.在D.匹

5524

【答案】B

【解答】

解：如图所示：

以4点为坐标原点，AB.AD,4公所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

由题意可得4(0,0,0),5(1,0,0),C(1,1,O),D(O,1,O),41(0,0,1),^(1,0,1),的(1,1,1),01(0,1,1),F(O,1,1),

F(LL，

设G(l,y,z),则砧=(1由/一1)氏=(*,一3,

•••A^G/fEF,,-j4^=XE?,二》"一1，

故G(l，；，；),二前=(1，；，，

设面EFG的法向量为标=(q，%*。)，

(n；•EP=x0+|y0-iz0=0

则〈__\2,

(n0-GF=-y0=0

令z()=2,则x0=1>y0=0,

•••面EFG的一个法向量为4=(1,0,2),

二点4到面EFG的距离d=\A^\x|cos<A^-n^>\

一-如\~AG建\x向I芯同而_同2-_一$逗,

•••GF=1AD,GFI/AD,

又GFu面EFG,ADC面EFG,

4D〃面EFG,

.­.40到面EFG的距离即为4到面EFG的距离，为▲与

5

故选B.

如图，在直三棱柱一力中，分别为

5.ABCiBiGAC=BC=AAX=2,zACB=90°,D,E,FAC,AB

的中点.则下列结论正确的是（）

A.4cl与EF相交B.BiCi//平面DEF

C.EF与4cl所成的角为90°D.点/到平面DEF的距离为竽

【答案】BCD

【解答】

解：对选项力，由图知4C1U平面ACQ4「EFC平面ACCp4i=E,且后至公

由异面直线的定义可知AC】与EF异面，故A错误；

对于选项B,在直三棱柱ABC-&B1C1中，BiCJ/BC.

•••D,F分别是AC,AB的中点，

.••FD〃BC,•••BC〃FD.

又BQC平面。EF,DFu平面。EF,

•1•BiCi〃平面DEF.故B正确；

对于选项C，由题意，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则C(0,0,0),4(2,0,0),B(0,2,0),公(2,0,2),(0,2,2),

G(0,0,2),0(1,0,0),E(2,0,l),F(l,l,0).

.■郎=(-M=(-2,0,2).

:够招=2+0-2=0-1­.E?1AC［，EF14cl.

.1.EF与4C1所成的角为90。，故C正确；

对于选项。，设向量丘=(%,y,Z)是平面QEF的一个法向量.

•••DE=(1,0,1),DF=(0,1,0),

，由［吁里即旨管0,得巴20,

(nlDF,(.n-DF=0,(丫一出

取x=l,则z=-l,:7?=(1,0,—1),

设点占到平面CEF的距离为d.

又•.遍=(—1,2,2),

|相•前」-l+0-2|_3v^

,K|=~不-’

•・•点为到平面DEF的距离为手，故O正确.

故选BCD.

6.如图，正方体4BCD-&B1C1D1的棱长为1,E为的中点,下列说法正确的是（）

A.直线EC1与直线力。是异面直线

B.在直线41cl上存在点F,使EF_L平面&C0

C.直线与平面&CD所成角是千

D.点B到平面&CD的距离是乎

【答案】BCD

【解析】

解：对于4连接BiACiD,因为在正方体力8。。一&当6。1中E为的中点，所以E为&A的中点，又因

为B14〃CiD且四川=QDI，所以E4〃C］D且出力|=；|的。|,所以四边形4EC】D为梯形，所以直线EC1与

直线共面，故4错误；

对于B,以4为原点，以AB,4D,441所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，WJF0,0,设中=

2罚，则EF=(X-^X,^,设平面AC。的一个法向量为沆=(x,y,z),由晒,匹7°可得

'22，1nl.A］。=0

K；士；；；令丫=1，则有1Z；，即沅=(0,1,1),若直线4C1上存在点F,使EF_L平面41CD,则有布〃钾，

即存在实数〃，使得沅=4前，即(0,1,1)=〃八一；,尢口，解得［'="即存在点F为41cl中点，使得EF1平

'22/=2

面A1CD,故8正确；

对于C,由8可得西=(-1,0,1),设直线与平面&CD所成角是。，由sin。=|cos<网，沆>|=

||fi/lillrn|卜=2,可得直线与干面Ai'D所成角是6‘故C正确’

对于D,由点到面的距离公式可得d=|需|=|等|=?，故。正确.

故答案为BCD.

7.如图，正方体ABC。-AiBiQDi的棱长为1,E为的中点，则下列选

项正确的是()

A.直线EC1与直线2D是异面直线

B.在直线41cl上存在点/，使EF_L平面&CO

C.直线54与平面&CD所成角是菅

D.点B到平面&CD的距离是乎

【答案】BCD

【解答】

解：对于4连接Bi4c1。，

因为在正方体ABCD-41B1GD1中E为84的中点，

所以E为8通的中点，

又因为瓦4〃C]D且冈川=SI，

所以瓦4〃GD且|E4|=；匕。|,

所以四边形AEG。为梯形，

所以直线EQ与直线4D共面，故A错误；

对于B,以4为原点，以48,AD,4占所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则E设4"=A/l1Cp

则FGU,I),前=04，H),

设平面&CD的一个法向量为沆=01，%,zj,

।fm-DC=0nr徂1％4-04-0=0

(沆・&D=0(U+y-z—U

令y=l,则有即沅=(0,1,1),

若直线&C]上存在点F,使EF1平面4传。，

则有沆〃祥，即存在实数〃，使得南=〃初?，

即(0,1,1)=〃(；1_24子)，解得，="

即存在点F为41G中点，使得EFJ•平面41CD,故B正确；

对于C,由8可得时=(一1,0,1)，

设直线与平面&CD所成角是仇

由sin。=Los<西，沆>|=|i=gj|=垮制|=f.

7r

可得直线与平面&CD所成角是0,故C正确；

对于D,由点到面的距离公式可得

d=gf卜喈/故。正确•

故选BCD.

8,已知正方体2BC。一&B1GD1的棱长为1,点瓦。分别是的中点，P在正方体内部且满足而=

］近+?而+彳砧，则下列说法正确的是()

A.点为到直线BE的距离是华

B.点0到平面ABgCi的距离是?

C.平面4BC与平面Bi。5间的距离为三

D.点P到直线4D的距离为:

【答案】BCD

【解答】

解：如图，建立空间直角坐标系，则4(0,0,0),8(1,0,0),Bi(1,0,1)

£)(0,1,0),41(0,0,1),Oi(0,l,l),E&0,l),

所以西=(0,0,1),丽=(-p0,1).

设NB]BE=9,

•函_2\/5

则COS。

\BBl\\BE\-5'

sin0=V1-cos20=二.

故当到直线BE的距离di=|豆瓦|sin6=1xg=手,

故选项4错误；

易知m；禽否=(-p-1,0),

平面4BC1%的一个法向量西=(0,-1,1)，

____________1

则点。到平面力BC"i的距离d2=鬻©=%二号

故选项B正确；

硒=(0,1,-1),^=(0,1,0).

设平面的法向量为元=Q,y,z),

n-AB=0,

则1

jn•ATD=0,

x—z=0,

所以y-z=0,

令z=1,得y=l,x=1,

所以k=(1,L1).

所以点Di到平面&BD的距离d3=嚅包=9=冬

因为平面力遇。〃平面当(7。1，

所以平面4BD与平面为CDi间的距离等于点。1到平面&BD的距离,

所以平面&BD与平面为CD1间的距离为学.

故选项C正确；

因为点=;四+9而+1砧，

所以存=GA(),

又加=(0,1,0)，则第5=；，

所以点p到an的距离d=Ji存"I需同=瑞_誉="

故选项。正确.

故选：BCD.

9.在棱长为2的正方体ABCD中，E,F分别为棱的中点,G为棱&Bi上的一点，且&G=

A(0<A<2),则点G到平面QEF的距离为()

A2V3B.V2C.弩D.争

【答案】D

【解答】

解：以。为原点，。力为x轴，DC为y轴，DDi为z轴，建立空间直角坐标系，如图:

则G(2,/l,2),(0,0,2),E(2,0,l),4(2,2,1),

西=(-2,0,1)>~EF=(0,2,0).~EG=(0,九1)，

设平面。1EF的法向量五=(x,y,z),

贝归处i=_2x+z=0,取％=i,得元=(1,0,2),

in-EF=2y=0

・••点G到平面A"的距离为：

._|EG-n|_2_2V5

故选：D.

10.如图，AD//BCH.AD=2BC,AD1CD,EG//ADHEG=AD,CD//FGS.CD=2FG,DG1平面ZBCD,

DA=DC=DG=2.

(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN〃平面CDE；

(2)求二面角E—BC-尸的正弦值；

(3)求直线/W到平面EBC的距离.

【答案】(1)证明：依题意，以。为坐标原点，分别以五彳、玩、前的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空

间直角坐标系.

可得。(0,0,0),2(200),6(1,2,0),C(0,2,0),

•2

E(2,0,2),F(0,l,2),G(0,0,2),N(l,0,2).

设标=(x,y,z)为平面CDE的法向量，

则［一吧?'=2y=°,不妨令z=—l,可得而=(1,0,-1)；

DE

ln0-=2x4-2z=0

又而=(1,一|,1),可得而兀=0.

又♦.•直线MN，平面CDE,

AMN〃平面CDE；

(2)解:依题意,可得就=(一1,0,0)，BE=(1,-2,2),CF=(0,-1,2).

设记=(x］,yi，zi)为平面5CE的法向量，

则［_」・初=f=。，不妨令=1,可得元=(0,1.1).

(ji-BE=x1-2y1+2zi=0

设沆=02沙2*2)为平面8CF的法向量，

m■前=—x

则2,不妨令Z2=l,可得沅=(0,2,1).

Jn-CF=-y2+:=0

因此有cos＜沆，记＞=|^焉=卷^,于是sin＜记,五＞=答.

••・二面角E—BC—F的正弦值为等.

(3)vAD//BC,BCu平面EBC,AD，平面EBC,

•••平面EBC,

•••4。到平面EBC的距离即4到平面EBC的距离，

设4到平面EBC的距离为d,AE=(0,0,2),

则4=粤=方=但

|n|V2

11.如图，在四棱锥P-力BCD中，平面PCD1平面4BCD,且△PCD是边长为2的等边三角形，四边形4BCD

是矩形，BC=2V2,M为BC的中点.

(1)证明：AM1PM-,

(2)求二面角P-AM-。的大小；

(3)求点D到平面AMP的距离.

【答案】(1)证明：以点。为原点，分别以直线LM,DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

依题意，可得。(0,0,0),P(0,l,V3),力(2直,0,0),M(四,2,0),

PM=(V2,l,-V3)>AM=(-V2,2,0),

.•.丽初=(V2,l,-V3)•(-72,2,0)=0，

即闲1宿,

：.AMLPM.

(2)解：设布=(x,y,z)为平面P4M的法向量，

则俨.空=0,CV2x+y-V3Z=0(

娟•丽=0l-V2x+2y=0

取y=l,得元=(&,1,百)，

取万=(0,0,1),显然了为平面48C。的一个法向量,

/―K、标V3V2

cos<n>P>=询=而=3，

•二面角P-AM-。的平面角为锐角，

••・二面角P-AM-。的大小为45。.

(3)解：设点。到平面4Mp的距离为d,

由(2)可知元=(夜,1,6)为平面4MP的一个法向量,

.d—丽箱_|2遮乂附_276

••・阮|--2+1+3-3’

即点。到平面2MP的距离为等.

12.如图，在正四棱柱4BCD-&B1GD1中，AB=1,

点F为BO1中点.

(1)求异面直线BD］与Cg的距离；

(2)求直线ED】与平面BCE所成角的正弦值；

(3)求点尸到平面BDE的距离.

【答案】解：(1)以。为原点，DA,DC,。么所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则

8(1,1,0),。1(0,0,2),C(0,l,0),Q(0,1,2),E(0,l,l),

『(若，1)，

.•.西=(一1,-1,2),西=(0,0,2),用=或一；,0),

BD；■—0,CC；­£?=0,

BD11EF,CC11EF,艮|1EF为8。1与CC1的公共垂线,

而脚1=口1=争

(2)由(1)知，9=(11,0),屁=(0,1,1),西=(一1,一1,2),

设平面BDE的法向量为五=(x,y,z),

%死即%+y=0

则=0,

元•屁=0y+z=O'

令y=1,则K=—1,z=-1,

・•・n=(-1,1,—1),

设直线BD】与平面BOE所成角为出

则sin。=|cos<n,西>|

_.元由01I_1-1-2

|n|-|BD7l—x/3xV6

故直线BD1与平面80E所成角的正弦值为芋.

(3)由⑴知，乔=(一;，一;,1),

由(2)知，平面BOE的法向量为元=(-1,1,一1),

•••点F到平面BDE的距离为|甯|=|嚼|=4.

13.如图，已知斜三棱柱ABC—&B1G，^-BCA=90°,AC=BC=2,4在底面4BC上的射影恰为4c的中

点D,且B&_LACi.

A\

(1)求证:4Gl平面4BC；

(2)求C］到平面&AB的距离.

【答案】(1)证明：如图：

取4B的中点E,则。E〃8c.

因为BC14C,

所以OE1AC.

又&D_L平面4BC,

所以DE,DC,D占两两垂直，

以DE,DC,DA^x,y,z轴建立空间坐标系。-孙z,

则4(0,—1,0),C(0,l,0),B(2,l,0),4(0,0由,Q(0,2,t),

所以福=(0,3,t)，网=(-CB=(2,0,0),

所以福•旗=0,

所以4cl1CB.

乂J.AC[，BA]CBC=B,BAr8Cu平面A]BC,

所以ACil平面&BC.

(2)解：由(1)知褊・西=一3+t2=o,得t=g.

设平面的法向量为元=(x,y,z),砧=(0,1,6)，AB=(2,2,0),

则[元•码=y+V3z=o,

In•=2%+2y=0,

令z=l,则元=(遮,一代,1).

所以Cl到平面41AB的距离d=窄得=弯.

14.如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC-&Bi。］中，。是BC的中点.

(1)求证：AD1平面BCC$i；

(2)求点C到平面ACiD的距离.

【答案】⑴证明：⑴直三棱柱ZBC-ABiG中，SB】JL面ABC；

BB]1AD,又•••AB=AC,。是BC的中点,

AD±BC,BCnBB1=B,

BC、BB]u平面BCC&

AD_L平面8"出；

(2)连接CiD,由(1)力。,平面BCgBi，

故AOIDCr,

又ACr=V2,:,C\D=亭

S—DCi=lAD-DC1=等，

S"DC=\AD-DC=亨，

设点C到平面AC1。的距离为d,

则;