新教材苏教版高中数学选择性必修第二册6.3.4空间距离的计算

6.3.4空间距离的计算

一、单选题

1.在正方体ABCD—A4GR中，异面直线AO,8。所成角的余弦值为（）

A.1B.也C.立D.立

2223

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.

【解析】如图，以。为坐标原点，分别以为x,»z轴，建立空间直角坐标系,

不妨设正方体边长为1,则。（0,0,0）,A（l,0,0）,8（1,1,0）,。（0,0,1）,

则4）=（-1,0,0）,叫=（-1,-1,1）,

设异面直线AD,所成角为6,

则cos"lcos/4。BD\\-lAD,BD|l_|（-1.0|_V3

则cose_除“,明产阿网—忑-T-

2.已知A（2,0,0）,8（0,1,0）,C（0,0,2）,则点A到直线BC的距离为（）

A.2B,双画C.4D.—

55

【答案】B

【分析】首先利用空间向量求出明在BC上的投影，再利用勾股定理即可求解.

【解析】由题意可得，胡=（2,-1,0）,8C=（O,-l,2）,则区4在BC上的投影为

限12邛，则点到直线的距离为何-令=R=耍

3.两平行平面。夕分别经过坐标原点。和点A（L2,3）,且两平面的一个法向量〃=（-1,0,1）,

则两平面间的距离是（）

A.72B.三C.73D.30

【答案】A

【分析】由空间向量求解

【解析】1•两平行平面已月分别经过坐标原点。和点A(l,2,3),OA=(1,2,3),

且两平面的一个法向量〃=(T，0,1),

两平面间的距离4=也g=4=五.

\n\&

4.正四棱锥S-ABCD的高50=2,底边长AB=夜，则异面直线80和SC之间的距离

A.—B.正C.也D.正

55510

【答案】C

【分析】利用坐标法，利用异面直线距离的向量公式即求.

【解析】建立如图所示的直角坐标系，则

4点,-卓,0)，B(乌,乌,0),O-冬鸟0),D(W，W，0),5(0,0,2).

22222222

;.DB=(日近0)

n-DB=0

令向量〃=(x,y,l),且〃J_O8,〃_LCS,则｛,

n-CS=0

(x,%1).(应，夜,0)=0

x+y=0

x-y+2&=0

(x,

X=-A/2

n=(—5/2,5/2,1).

y=叵

••・异面直线3。和SC之间的距离为:

d|（?C-n|卜日，*,0>（-立立1）

乙所二|（-夜,a,1）|

|1+1+0|2A/5

7（-^）2+（V2）2+l25-

5.在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面“，使点A（2,2,2）到a的距离为1,且

点3（加,0,0）到a的距离为4,则m的值为（）

A.2B.1或3

C.2或4D.2-如或2+如

【答案】B

【分析】由点AB到平面a的距离是确定的且平面a只有一个，可得AB_La,且AB两点在

平面a同侧，由此可得线段A3的长，从而求得〃，值，

【解析】因为有且只有一个平面&,使点42,2,2）到a的距离为1,且点8（九0,0）到a的距

离为4,所以AB_Le,且A,8两点在平面a同侧，4g=4-1=3,

J（,〃-2）2+4+4=3，，〃=1或3.

若A8>3,则线段48与平面。至少有下列两种位置关系，即平面。至少有两个.

若A8<3,由上面4?>3的图形知，AB两点到平面a的距离的差的绝对值不大于A8,与

已知矛盾，即不存在平面&满足题意.

6.已知四边形A5CO是边长为4的正方形，瓦尸分别是边AB,A。的中点，GC垂直于正方

形ABCD所在平面a,且GC=2,则点8到平面EFG的距离为（）

A.3B.75C.—D.竺1

1111

【答案】D

【解析】连接AC,8。，AC,E/交于M,AC,8。交于0,过。作OLJLGAJ,垂足为“,

则问题转化为求O”的长度，根据两个直角三角形相似，对应边成比例可解得结果.

【解析】如图：连接AC,3。，AC,EF交于M,AC,8。交于。，

因为E,F分别是边A仇A。的中点，所以BD//EF,

因为E尸u平面EFG,所以8。//平面EFG,所以点8到平面EFG的距离等于点。到平面

EFG的距离，

因为GC_L平面A8CZ）,所以GC_L8£>,又8O_LAC,GCAC=C,

所以加工平面GMC,因为EF/1BD,所以瓦'2平面GMC,

因为EFu平面EFG,所以平面EFGL平面G/WC,

过。作例，垂足为H,则CWL平面EFG,则OH为点。到平面EFG的距离，

在直角三角形GCM和直角三角形中，NGMC=ZOMH,所以△GCM△CWM,

所以丝=也GCOM

所以。”=

GCGMGM

因为正方形A8CO的边长为4,所以OM=』AC=LX4&=&,

44

33__________

CM=^-AC=-x4^=3V2,GM=^GC1+CM2=V4+18=722>

所以o“=与巫4vH.

V2211

所以点8到平面EFG的距离为《JFT.

7.如图，点P为矩形ABC。所在平面外一点，PA,平面A8CO,。为AP的中点，AB=3,

BC=4,P4=2,则点P到平面80。的距离为（）

【答案】B

【分析】分别以A8,AD,”所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则8(3,0,0),

0(0,4,0),mo,2),Q(O,O,1),再利用点尸到平面8QD的距离”=殴如，即可得答案；

1«1

【解析】如图，分别以A3,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则

8(3,0,0),0(0,4,0),P(0,0,2),0(0,0,1),

QB=(3,0,-1),8力=(-3,4,0),QP=(0,0,1).

设平面BQD的法向量为n=(x,y,z),

[n-BD=OJ-3x+4y=0

人1〃3=0''43x—z=0'

令x=4,则y=3,z=12,/.n=(4,3,12).

点P到平面BQD的距离d=欧回=—.

I«l13

8.如图，己知正方体ABCO-AMG2的棱长为1,。为正方形的中心，若尸为平面

内的一个动点，则P到直线的距离的最小值为()

「娓D.当

BL•-------

-I4

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，列出线面距离公式即可求解.

如图，以OA,DC,£>A为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则有

B(1,1,0),0,(0,0,1),A(1,0,1),/?,(1,1,1),因为。为正方形AD"A的中心，得。(；，。[)，

A4=(0,L0),OB=(；J-；),D,B=(I,I,-D，阴=(O,O,I)

设平面。8。的法向量为〃=(x,y,z),不!)用{，贝1]{2-2,

DlB-il=0x+y-z-Q

取x=l,解得"=(1,0,1),有AB「〃=O,且4片0平面ORB,则直线4田//平面ORB,

设直线的到平面。RB距离为d,取直线上一点用,与平面。RB上一点B,则叫=(0,0,1),

利用空间中点面距离公式有：

H2

9.如图，已知正方体ABC。-A隹CQ棱长为3,点H在棱AA上，且〃A=1，在侧面BCC4

内作边长为1的正方形EFGC，P是侧面BCGq内一动点，且点P到平面CDRG距离等于

线段PF的长，则当点P运动时，|"PF的最小值是()

A.21B.22C.23D.13

【答案】D

【解析】建立空间直角坐标系，根据P在8CC内内可设出尸点坐标，作FWL88,,连接PM,

可得心2=〃“+叱，作PNLCG,根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，

即可求得|"P『的范围.

【解析】根据题意，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示：

作HM1BB,交网于M,连接PM,则MW-LPM

作PN1CC,交CG于N,则PN即为点P到平面CDQC,距离.

设尸(x,3,z)，则F(l,3,2),M(3,3,2),A^(O,3,z)(O<x<3,O<z<3)

•••点P到平面CDD£距离等于线段P厂的长

/.PN=PF

由两点间距离公式可得x=,J(X-1)2+(Z-2)2,化简得2x-1=(z-2)2,贝IJ2x-120解不等式可

得其

综上可得J4x43

则在RfAHMP中HP2=HM?+MP。=32+(x-3)2+(z-2)2=32+(x-3)2+2x-l=(x-2)2+13

仁4T

所以，尸213(当时x=2取等)

10.如图，在棱长为a的正方体ABC。-A8©2中，p为AR的中点，Q为A片上任意一点，

E,尸为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点。到平面庄尸的距离()

A.等于@aB.和EF的长度有关

5

c.等于它“D.和点Q的位置有关

3

【答案】A

【分析】取Bg的中点G,连接PG,CG,£»P,利用线面平行判断出选项B,D错误；建立空间

直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结论.

【解析】取4G的中点G,连接PG,CG,OP,则PG//CD,所以点。到平面PE尸的距离即

点。到平面PGC。的距离，与E尸的长度无关，B错.又必，〃平面PGCD,所以点A到平

面PGCZ)的距离即点。到平面PGCD的距离，即点。到平面P所的距离，与点。的位置无

关，D错.

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，则C(0,a,0),0(0,0,0),430,a),二

DC=(0,a,0),DA,=(a,0,a),DP=[^,0,a

n-DP=0,,—x+az=0,

设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,则由■得2

n-DC=0,

令z=l,则x=-2,y=0,所以”=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.

A对，C错.

7T

II.如图，在直三棱柱A8C-48c中，ZBAC=g,AB=AC=AA,=\,已知G与E分别为

Ag和CC,的中点，。与歹分别为线AC和A8上的动点（不包括端点），若GD工EF、

则线段。尸长度的取值范围为（）

A.[当）B.[孚，与C.g,0）D.[72,73]

5455

【答案】A

【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设出。，尸的坐标，根据已知条件求得参数之

间的关系，并建立关于参数的函数关系式，求其值域即可.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则E（l,O,g）,G（O,g,。，设点0坐标为（北0,0）,尸（0,”,0）,

故斯=[-1,",-£|6=（见总-11因为G"所，

故可得EF.GO=-，〃-g〃+；=0,则”=-2〃?+1,由〃«0,1）可得机

又OF=（-机〃,0）,故=Joi?+*'=,5团2一4"?+1=+",

故当机=|时，|。尸；又当用=0时，|叫=1,但无法取到机=0,则无

法取到1；

综上，线段。尸长度的取值范围为9,11.

12.如图，在三棱柱A8C-48©中，底面A3C是边长为的正三角形，至=近，顶

点A在底面的射影为底面正三角形的中心，P,Q分别是异面直线AG，AB上的动点，则P,

。两点间距离的最小值是()

A.且B.2C.V6D.如

22

【答案】D

【分析】设。是底面正一ABC的中心，4。，平面ABC,COLAB,以直线CO为x轴，。人为

z轴，过。平行于48的直线为y轴建立空间直角坐标系，P,Q两点间距离的最小值即为异

面直线AG与AB间的距离用空间向量法求异面直线的距离.

【解析】如图，。是底面正一ABC的中心，A。，平面ABC,AOu平面A8C,则A0J_A。，

AB=20,贝!IAO=鸿、2石=2,又例=疗，\O=^AA;-AO'=>/3,

CO_LAB,直线8交A8于点£),00=1,

以直线co为X轴，。4为z轴，过。平行于A8的直线为y轴建立空间直角坐标系，如图,

则A(0,0.6)，A(l,-"o),B(l,"o),C(-2,0,0),

A4,=(-1,6,6),AC=(-3,G,0),AB=(1,E,Y),

A£=A4,+AC=(-4,2石,扬，

uuuuuu

设〃=(x,y,z)与A］和AC1都垂直，

n-AC1=-4x+2>j3y+VJz=0

取x=G则y=l,z=2,〃=（后1,2）,

n-A^B=x+=0

P,Q两点间距离的最小值即为异面直线Aq与A/间的距离等于

卜刊_卜百+6+2词_6

|»|-V3+1+4-

二、多选题

13.在棱长为2的正方体ABC。-48cA中，P是棱AB上一动点，则「到平面AC。的距

离可能是（）

【答案】BC

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量写出P到平面AC。的距离的表达式，然后求其

范围即可.

【解析】如图，以。।为坐标原点，以"A，D©,的方向分别为x轴，y轴，z轴的正

方向,建立空间直角坐标系，则4（2,0,0）,8（222）,p（2,42）（04442）,。（0,0,2）,G（0,2,0）,

..[n'A.C,=-2x+2y=0

故AG=（-2,2,0）,A。=（一2,0,2）,设平面ACQ的法向量〃=（X,y,z）,由<

〃•AJD=-2x+2z=0

取X=1,则”=（1,1,1）为平面AG。的法向量，AP=（0,Z2）,所以「到平面4G。的距离

JJ喟.因为°"。所以公¥，用,而（2可一悸匕>0,

-」V7

BC选项的数值才符合.

14.在棱长为1的正方体ABC。-48cA中，E为线段。。的中点，F为线段8q的中点，

则()

A•点4到直线的距离为:B.直线到直线AE的距离为叵

35

51

C.点A到平面的距离为4D.直线FG到平面的距离为:

33

【答案】BD

【分析】建立坐标系，求出向量A4在单位向量"=坐;上的投影，结合勾股定理可得点4

|8|日

到直线用E的距离，判断A；先证明AE〃FC”再转化为点F到直线AE的距离求解，判断B；

求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C；把直线FG到平面的

距离转化为C1到平面A8E的距离，利用法向量进行求解，判断D.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,1),4(1,1,1),E(0,0,；),F(l,1,；),C,(0,1,1),A(l,0,0).

因为=(-1,一1,一〈)必=瞿=(《4-J),A4=(0,1,0),

2\D}E\333

2

所以4片

所以点A到直线瓦E的距离为由2一(4百.%)2==#，故A错误;

因为4£=(-1,0,2),尸6=(-1,0,5),所以4后〃尸6；,g|JAE//FQ,

所以点尸到直线AE的距离即为直线到直线AE的距离,

=(-竿,。净，衣=叫)，A产=*户£喑

所以直线FC,到直线AE的距离为心-(立产=叵,

故B正确;

V4105

设平面AgE的一个法向量为〃=(x,y,z),A3]=(0,Ll),AE=(-l,0,g),A4,=(0,0,1).

n•AB1=y+z=0,

由｛1令z=2,则y=-2,x=l,即〃=(l,-2,2).

n,A.E=—xH—z=0,

2

M-A?|22

设点A到平面A8IE的距离为d,则[=即点A到平面AB|E的距离为：，故c

M33

错误；

因为AE〃尸G，FC2平面48建，AEu平面ABE，所以尸0〃平面4&E,

所以直线FC,到平面ABtE的距离等于G到平面AB、E的距离.。出=(1,0,0),

由(3)得平面ABE的一个法向量为〃=(1,_2,2),

所以G到平面AB|E的距离为^^=三，

H3

所以直线FG到平面A8g的距离为:，故D正确.

15.(多选)已知正方体A88-4BCA的棱长为1,点后。分别是A瓦、AG的中点,

312

尸在正方体内部且满足AP=wAB+5A£>+]AA,则下列说法正确的是()

A.点A到直线BE的距离是正B.点O到平面ABGR的距离为巫

C.平面AB。与平面BCR间的距离为且D.点P到直线AB的距离为§

336

【答案】BC

【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空

间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论.

【解析】如图，建立空间直角坐标系，则40,0,0),3(1,0,0),

0(0,1,0),A(0，。』)，C,(1,1,1),A(0,1,1),吗,0,1),

所以8A=(-1,0,0),BE=(,0,1).

设ZABE=0,则cos0=J'勺'"!=,sin。=Vl-cos20=

|BA||BE|55

故A到直线BE的距离［=|BA|sine=lx¥=竽，故A错.

易知GO=；GA=(W。］，

平面ABCR的一个法向量D4,=(0-1,1),

则点。到平面ABCQ的距离4"34,故B对.

2|叫&4

AB=(1,O-I),40=(0,1,-1),^0,=(0,1,0).

设平面48。的法向量为"=(苍小),

5所以二

则

令z=l,得y=L%=l,

所以〃=(1,1,1).

所以点。到平面A8。的距离4=段创=g.

InIV33

因为平面AB。〃平面8。。，

所以平面43。与平面8(。间的距离等于点Q,到平面ABO的距离,

所以平面ABD与平面4cA间的距离为且，故C对.

3

o19(312、

因为AP=：AB+5AD+WAA，所以=

「APAB3

又AB=(l,0,0),则n}，一=:,

|4

_____________________2___________

所以点P到A8的距离d=|AP『_|华半故D错.

V|AB|V144166

2

16.如图所示，三棱锥S-ABC中，.A8C为等边三角形，SAJ_平面ABC,SA=3,AB=2.

点。在线段SC上，且so=gsc,点E为线段SB的中点，以线段BC的中点。为坐标原点，

0A,。8所在直线分别为x,y轴，过点。作SA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则

下列说法正确的是()

A.直线CE的一个方向向量为("坐，坐]B.点。到直线CE的距离为随

I222J21

C.平面ACE的一个法向量为(6,3,-2)D.点/)到平面ACE的距离为1

【答案】ABD

【分析】首先利用题目已经建好的坐标系，写出点的坐标，再利用空间向量分别求点。到直

线CE的距离、点。到平面ACE的距离以及平面ACE的法向量，利用向量共线定理可以判

断直线CE的一个方向向量.

【解析】依题意，s(6,0,3),A(6,0,0),8(0,l,0),C(O,-1,O),E:若SD=+SC,

I222J3

则孚，-;,2],则CE=[4„],=故A正确；

3

\5)V22k2227

C£>=^,-,2,AC=(-^,-1,0),AE=\-^-,-,-\,故。点到直线CE的距离

/\2

„=CDCE877

CL)—［—；回--；—口=--2-1-故B正确;

-y/3x-y=0

ACn=O

设〃=(羽y,z)为平面ACE的法向量，则,,BP7313令z=-2,则

AE/2=0----Xd—yd—z=0

222

〃二(-/,3,-2)为平面ACE的一个法向量，故C错误;

(2J32)CD-n

而CD=告,丁,2,故点。到平面ACE的距离4=—^=1,故D正确.

I33J|n|

三、填空题

17.已知A8CD-ABCQ是棱长为1的正方体，则平面4月。与平面£8。的距离为

【答案】且##!6

33

【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面月与。/平面储8。，从而平面4gA与平面G8D

的距离等于点C,到平面ABR的距离.求得平面ABA的法向量〃和CM,结合点到平面的

距离的向量公式，即可得解.

【解析】以。为坐标原点，D4，DC,DR所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，

则4(1,0,0),8(1,1,0),0(0,0,0),C,(0,1,1),D,(0,0,1),(1,1,1),

可得病=(0,1,1),AR=(—1,0,1),3G=(-1,0,1),DC；=(0,1,1),

因为AA=BC„AB,=DC,,则AR//BC,,ABX//DC,,

所以AR〃3G，Ag〃OC1,

因为A"u平面Cd。，8£匚平面68。，44a平面。出。，

所以AR.平面GB。，AB」平面GB。，

又ARcAA=A,AR,44u平面A片。，

所以平面ABQT•平面G8。，

所以平面AAR与平面&BO的距离等于点G到平面4瓦。的距离d,

设平面ABQ的法向量为”=(x,y,z),贝叶'，

n-AD}=-x+z=O

令z=l,可得X=l,y=-1,所以“=(1,-1,1),

巾「〃|_百

又因为G4=(1,0,0),所以"=丁二丁

所以平面AB.与平面GB。的距离为且.

3

18.己知平面。的法向量为“=(1,1,0),向量A8=(0,1,1)在平面a内的投影向量的长度为

【答案】@##《布

22

【分析】先求出cos〈〃,A8〉，进而可求出直线A8与平面。的夹角大小，进而可求得向量AB在

平面a内的投影向量的长度.

/、/小481

【解析】因为平面a的法向量为〃=。,1,0),向量A8=(0,l,l),所以cos〈〃,AB)=jpM[=],

设直线AB与平面a所成角为。，所以sin®=|cos<n,A3〉卜；,

因为owevg,所以。=g.

26

所以向量A3=(0,l,l)在平面。内的投影向量的长度为k@.cose=&x*=乎.

19.在三棱锥S-A3C中，SA=BC=2,SC=AB=6,SB=AC=石.记8c的中点为例，

S4的中点为N,则异面直线40与CN的距离为.

【答案】华

【分析】将三棱锥S-A8C补成正六面体为利用勾股定理求解长、宽、高，再建立直接坐标

系后，求出AM和CN的法向量，便可求得直线A用与CN的距离.

【解析】解：三棱锥S-ABC的三组对棱分别相等，因此三棱锥S-ABC的外接平行六面体

为长方体，将三棱锥S-ABC放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为〃，b,J且

a2+b2=SA2,a2+h2=4,a=6,

/?2+c2=SC2,||J-b2+c2=3,解得.b=l,

a2+c2=SB2,a2+c2=5,c="

因此以5为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示:

则S（O,6,0）,A（1,O,0）,8（0,0,0）,C（l,30）,M；,与0,N；，孝，&

I'7/

AHAM/=｛——，,——出，72川,Cr\Ni=（——1,--百--,公，2

2222

\7\7

设〃=（x,y,Z）垂直于AM和CN,

令，=0，贝i]z=立，x=0,所以"=0,72,

2

又MN=（0,0,夜）,所以异面直线A"与CN的距离”=

20.如图，在四棱锥S-A8CD中，底面48co是矩形，AD=SA=SD=2AB=2,P为棱A。

的中点，且SPJ_AB,AM=2AS（O<A<1）,若点M到平面SBC的距离为坐，则实数九的

值为____________

【答案】:

【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，得到SC=(-1,1,-6)，SB=(1,1,-6),

,IMS•m\

利用AM=2AS求出MS，再利用点到平面距离公式d=-TL,

代入相关向量坐标，解出2即可.

【解析】过点P作尸E〃8，交8C于点E,SD=SA,户为AO中点，

:.SPYAD,又,SP1AB,且A£>cM=A,AD,AB^-^ABCD,

:.SPmABCD,QPEu平面ABCD,则SPJ.PE,

则易得SP,PAPE两两垂直，所以以尸为原点，PA,PE,PS所在直线分别建立x,y,z轴，如图

所示：

则点P(0,0,0),又知">=SA=S£>=2,AB=\,P为A。中点，贝USP=G，

故A(l,0,0),S(0,0,aC(-l,l,0),

SC=(-1,1,-G)，AS=(-1,0,73),SB=(1,1,-石)，

又；AM=AASA=(1-A)AS=(2-1,0,73(1-2)),

设平面SBC法向量为〃?=(x,y,z),则“SC=0，且〃?-S8=0

[-X+y-yl3Z=0L

有〈一厂，令Z=l,则m=(0,石,1),

x+y-j3z=0

,\MS-m\石

M到平面SBC的距离d=।।=—,

H3

o,G(i-㈤X。,后1)1=4,化简得1一02,故人1

2333

四、解答题

21.如图，已知正方体ABCD-ASGR的棱长为1,MN是异面直线4C与G。的公垂线段,

试确定点M在AC上及点N在CQ上的位置，并求异面直线AC与G。间的距离.

【答案】点M是线段AC上靠近点C的一个三等分点，，点N是线段G。上靠近点。的一个

三等分点；—.

3

【分析】以A为原点，所在直线分别为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系,

利用AC-MN=O,0C「MN=O,可求出M,N两点的坐标，从而可求出答案.

【解析】以A为原点，A&A244所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示，

则A(o,o,o),c(i,i,o),r>(o,i,o),£(i,i,i),

因为点"在AC上，点N在CQ上，所以设N(〃,l,〃)，

所以AC=(1,1,0),=(1,0,1),=

因为MN是异面直线AC与G。的公垂线段，

■2

n-m+[-m=03

所以4。根7=0,£6・仞7=0,即〈八,解得：，

n—m+n=01

1n=—

所以陪加,呜词,

所以点M是线段AC上靠近点C的一个三等分点，，点N是线段G。上靠近点。的一个三等

分点，且异面直线AC与CQ间的距离为刖|=(|-；)+(|-1[+(0-3邛.

22.如图，在长方体A8CC-AMGR中，AA=2A8=28C=2,E为线段0A的中点，F为

线段Bq的中点.

⑴求点A到直线的距离；

(2)求直线FC、到直线AE的距离；

(3)求点A到平面A4E的距离.

【答案】(1)如

3

⑵如

2

⑶*

3

【分析】(1)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线距离公式进行计算;

(2)在第一问的基础上，得到FCJ/AE,从而利用空间点到直线距离公式求出直线FG到

直线AE的距离；

(3)求出平面48避的法向量，利用点到平面的距离公式求出答案.

【解析】(1)建立如图所示以D4、DC、0A为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，

则0(0,0,0),4(1,0,0),C(0,l,0),D,(0,0,2),8(1,1,0),E(0,0,1),

A(1,0,2),G(0,1,2),B、(1,1,2),2(1,1,1),

z

filE=(-l,-l,-l)，ABl=(0,1,0),

设点A到直线BE的距离为4，

则点A到直线与E的距离为逅.

3

(2)FC,=(-l,O,l),A£=(-1,0,1),故尸CJ/AE

所=(1,1,0),

设直线FG到直线AE的距离为由，则的即为尸到直线AE的距离;

则直线FC、到直线AE的距离为述.

2

(3)设平面的法向量为〃=(x,y,z),

n-AE=(x,y,z)(-l,0,l)=-x+z=0

由＜*

n•B[E=(x,=-x-y-z=0

令％=1,则y=-2,z=l,所以〃=(L—2,1)

设点A到平面AB、E的距离为4,

...”|(o,l,o)-(l,-2,l)|_^

|n|-Vl+4+1-3'

则点A到平面ABtE的距离为远.

3

23.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD_L底面A8CE>,PD=DC=1,M为BC的

中点，且P5_LAM.

（1）求3C；

⑵求点B到平面PAM的距离.

【答案】（1）0

Q也

7

【分析】（1）建立空间直角坐标系，设3c=2%写出各点坐标，利用PRAM=0列出方程,

求出a=也，从而得到BC的长；

2

（2）求出平面以M的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解.

【解析】（1）：平面ABC£>,四边形ABC。为矩形，不妨以点。为坐标原点，DA,DC.

。产所在直线分别为x、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系D-孙z,

设BC=2a,则0（0,0,0）、P（0,0,l）、8（2a,l,0）、M（a,l,0）、A（加,0,0）,

则尸3=（2a,l,-l）,AM=（-a,1,0）,

,：PBVAM,则PB-AM=-2/+l=0，解得〃=也，

2

故BC=2a=0;

（2）设平面承用的法向量为m=a，y,zj,则AM7一5-,1,0,AP=（-72,0,1）,

\7

--42八

,m,AM=----x«+y.=0l,/r__\

由2IM,取玉=夜，可得m=（夜,1,2）,

m-AP=-\[2xt+Z1=0

A3=（0,1,0）,

，点B到平面PAM的距离d=

|nz|V77

24.如图，已知以。为圆心，2为半径的圆在平面a上，若POJ_a,且P0=4,04、0B为

圆。的半径，且NAO3=90。，M为线段A8的中点.求:

⑴异面直线。B,PM所成角的大小;

(2)点0到平面PAB的距离；

(3)异面直线。B,PM的距离.

【答案】(l)arccos交

6

尾

(3哈后

【分析】(1)根据题意，建立空间直角坐标系，找到直线OB,PM的方向向量，代入向量的

夹角公式，计算得答案；

(2)利用等体积法计算点O到平面PAB的距离；

(3)把异面直线。B,PM的距离.转化为直线0B与平面丽的距离，求出平面PMV的法向

量，利用空间向量点到平面的距离公式，计算求解.

【解析】(1)由POLa且/4。3=90。，以。为原点，分别以OA。尸所在的直线为

%Xz轴，建立空间直角坐标系，如图，

由题意P(0,0,4),4(2,0,0),3(020),因为意为线段AB的中点,所以

所以PM=(1,1,-4),08=(0,2,0),

PMOB2V2

cos(PM,OB)=।--nj-=,=—=—

'/卜训71+1+16x26，

所以异面直线OB,PM所成角的大小为arccos也；

6

(2)由题意，5包=*4网=；x2x2=2,

5,0=#刈.网=；/1+1+16'2夜=6,

设点。到平面的的距离为d,因为PO，＜z,

由Vp-OAB=^O-PAB

所以gsM»PO=gSaBd,

i14

所以±x2x4=—x6xd,解得d=—,

333

,4

所以点。到平面BAB的距离-；

(3)如上图所示，作MN//0B交OA于点N,

因为080平面PAW,MVu平面PAW,所以。B〃平面BMV,

因此异面直线08,PM的距离就是直线0B与平面PMN的距离，

也即是点。到平面丽的距离，

因为M为线段的中点.所以N(l,0,0),W=(0,1,0)

设平面PMN的法向量为〃=(x,y,z),

n.NM=v=0

则山,，、令z=l，则可得"=(4,0,1)

n-PM=y—4z=0

所以点。到平面P