2024年中考数学压轴题型（全国）专题13 隐圆问题3种模型（学生版）

PAGE1PAGE专题13隐圆问题3种模型通用的解题思路：隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。（3）四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。类型1：定点定长1．（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，，请利用圆规画出过、．三点的圆．若，则．如图，中，，，．（2）已知，如图2．点为边的中点，将沿方向平移2个单位长度，点、、的对应点分别为点、、，求四边形的面积和的大小．（3）如图3，将边沿方向平移个单位至，是否存在这样的，使得直线上有一点，满足且此时四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值及平移距离，若不存在，说明理由．2．（2024•兰州模拟）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在中，，，点为平面内一点（点，，三点不共线），为的中线．【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点，使得，连接．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①；②；【类比探究】（2）如图2，将绕点顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明；【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点在以点为圆心，为半径的圆上运动，直线与直线相交于点，连接，在点的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值．3．（2022•番禺区二模）已知抛物线与轴交于点，两点，，．其顶点的横坐标为．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点在抛物线第一象限的图象上，垂足为，轴交直线于点，当面积等于4时，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，点是抛物线上的一点，点从点运动到达点，交直线于点，延长与线段的延长线交于点，点为，，三点构成的三角形的外心，求点经过的路线长．4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到．（2）问题解决：如图，在四边形中，，，求的度数．（3）问题拓展：抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，点在抛物线上，直线交轴于点，连接．①若含角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与重合，直角顶点在上，另一顶点在上，求的坐标；②若含角的直角三角板一个顶点与点重合，直角顶点在上，另一个顶点在上，点与点，点不重合，求点的坐标．类型2：定弦定角1．（2022•雁塔区校级三模）问题提出（1）如图①，已知为边长为2的等边三角形，则的面积为；问题探究（2）如图②，在中，已知，，求的最大面积；问题解决（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面上安装一台摄像头进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点出发的观测角，请你通过所学知识进行分析，在墙面区域上是否存在点满足要求？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．2．（2023•灞桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，为等腰三角形，，，是上一点，且平分的面积，则线段的长度为．问题探究：（2）如图②，中，，，试分析和判断的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃，满足米，米，，，主办方打算过的中点点（入口）修建一条径直的通道（宽度忽略不计）其中点（出口）为四边形边上一点，通道把四边形分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道？若存在，请求出点距出口的距离的长；若不存在，请说明理由．3．（2023•柯城区校级一模）如图，点与点的坐标分别是，，点是该直角坐标系内的一个动点．（1）使的点有个；（2）若点在轴上，且，求满足条件的点的坐标；（3）当点在轴上移动时，是否有最大值？若有，求点的坐标，并说明此时最大的理由；若没有，也请说明理由．类型3：四点共圆1．（2022•中原区校级模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务．西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图（1），已知内接于，点在上（不与点，，重合），过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，．求证：点，，在同一条直线上．如下是他们的证明过程（不完整）如图（1），连接，，，，取的中点，连接．，则，（依据点，，，四点共圆，．（依据又，．同上可得点，，，四点共圆，任务：（1）填空：①依据1指的是中点的定义及；②依据2指的是．（2）请将证明过程补充完整．（3）善于思考的小虎发现当点是的中点时，，请你利用图（2）证明该结论的正确性．2．（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到．（2）【问题解决】如图2，在四边形中，，，求的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是．3．（2022•潢川县校级一模）如图1，点在直线上，过点构建等腰直角三角形，使，且，过点作直线于点，连接．（1）小亮在研究这个图形时发现，，点，