数学建模知识竞赛中级试题及答案

数学建模中级试题

1

下面不定方程有多少组整数解?（注意:a，b）

2015“-2015+b=b-a

2

己知辱不超过2014的正级,那么有多少个b使得2014b能被（2014+b崛？

3

某大公司有这么定：只要有f员工过生日,当天所有员工全部放假但演余时候

,所有员工都没有假期,必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工，才能让公司一年内所有员工的

总工作时间期望值最大?

假设f有365天，每个员工的生日都概率均等地分布在这365天电

4

T0内接;也形，各边长度依次为2,2,2,2,3,3,3,3,求这个/U5形的面积。

子里有若干个颜色各异的小球.实验员有放回地抽取13次，每次抽取1神

如果我们朗望：抽取到的13个球的颜色总数为6种。那么，原来袋子里应该有几个小球？

中^子被任M割成两段，较长一段至少是睡一段的X倍的概率是?

7

在下面等式中，相同汉字表示相同数字,不同汉字表小不同数字。

季镒窗喈x7=利智李断谖xll

那么，李+连+杰+爰+利+智=?

i

袋鼠想要从AM到B,限定只能向右朗威向下跳，每次一格，共有多少种路线？

A__________________

IIIII

||

।।।।।

B

用黔正髅1到100这100个数顺次连接成的正髅：1234......99100。问：如果从这个数中划去1

00个数字,蚓下的数尽可能地大，月弦剩下的数的前十位数字之和是多少?

10

初发时刻

一列火车在上午某个整分钟时刻发车，行驶8公里后,司机看手表发现此时时针恰好与分针重合。火车

在这8公里平均每小时行33公里，则下列四个时刻哪个是列车的发车时刻?

11

5=1/(1/1980+1/1981+1/1982+......+1/2000)

求S髅部分。

12

有一防形的面积为61谖gab7cd,并已知长为整数，宽为143,且其中的a>4,试问,这个长方形的

面积大小至多有多少种可能？

13

三个不同的质数的积是它们的和的41倍,另陷这三个殿的fR除以7的余数是多少?

14

—1^14小球从距离地面179英尺高的比萨斜塔上落下来。如果每次期起来的高度等于前一次的10

分之一，试问：它静止之前，总共弹跳了多少£疆？

15

如下图，是T3行4列的正方形点阵，其中每个“烟圈表示f点，横行或竖列中任意相邻两点的距

离都是L那么诚12个点中的彳璜3个为顶点，一共四作出多腰直角三角形?

16

已知48,(2。石下是不同的^负级，

(A+B)*(C+D)*(E+F)=233333,

那么：

A+B+C+D+E+F=?

17

有位数m,f三位数n,n是m的1.5倍。把m放在n的左边得到f五位数mn。把m放在n的

右边得空卜一五位数nm.已知mn比nm的7倍还少3774,那么的个E傲字是多少？

18

有1皓学生参力0-次数学竞赛，考题全是选择题，每个蟒题有4个选项，考生从每个题中邮f选

项作为答案。考后发现任1可两名考生的答案至多有T题相同，问这次竞赛最多有多少道考题?

19

从左至右依次有五个位置，依次编号为1号，2号，3号，4号，5号。赵，钱，孙，李，周五人要站在

这五个位置上,要求赵不站1号位，钱不站2号位，孙不站3号位，李不站4号位,周不站5号位问：

一颊多阴蚯去？

20

10050()25201614121110

21

已知a是—,并且(a+6)陲除(2人3+2015),另^f有满题意的IE^a的和?

22

设数P=66667777+77776666，问：数P除以13的余数是多少？

23

自缄的平方吠小排…问:第?

24

有T(列是:(1),(3,4),(7,11,18),(29,47,76,123)，……

这个数列的特点是从第三项开始，每项i腭于它前面两项之和，同时把这个数列按上述方式分组,即

第n个括号内有n个数。那么第48个括号内所有数之和除以6所得余数是多少？

25

从1、3、5、7..........97、99中最多可以选出（）个数，使它们当中的每都不是另一假的倍

数？

26

—S想中的西瓜是无限可切的，切一刀最多可得两块，切二刀最多可得四块,切三刀最多可得八块

,请问：切100刀最多能得多少块？

27

在8张奖券中有一、二三等奖各T长,其余5张裱。将这8张奖券分别播4个人，每人两张，其不

同的获奖情况有一种。

28

下面的除法算式中，除数都是四位数，请在"口"里填上合适的数字，鳍式成立

口口口口-1+2015=1+口口口口

问:一共有多少种不同的填法？

29

把f两位质数写在数的右边得到一个三位数，这个三婕能被这两个质数的和的一半整

除，月陷这样的三位数共有多少个?（PS:这两个质数的和的一半也是整数）

30

有有3个钱币，其中f两面都是金色，其中f两面都是银色，其中f-面金色一面银

色。问题：如果我只从袋中随机抽出T钱市且我看到的一面是金色，那么这钱币背面是银色的酸

为多少？

31

超市将99个苹果装进两种屋盒,大包装盒每个装12个苹果，小腺盒每个装5个苹果，共用了十多

个盒子愀脂统。问两种包装盒相差多少个？（）

32

等式成立，求N=?

22N=444

33

f,Sroan写好一篇文章,分别叫jiege和"族改错别字.

jiege发现了57&b错别字，JT嗫现了588个错别字，而两人发现的错别字中有504个是一样的。

据此，请估算Sroan的文章里有多少错别字。（答案填写数字即可）

34

如下图，六点之间可能连唠十五条线中，在不交叉的情况下，你最多可以画出几条线(两点互相连

三角形ABC中，C是直角，已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=BM,另陷三角形AMN(阴影部分)的面

积是多少？

36

三个学生共解出30B数学题，每人都解出了其中的12道，且每道题都有人解出。只有一人解出的题叫

做难题，只有两个人解出的题叫做中等题,三人都解出的题叫做容易题.在这35首题中，难题、中等

题、容易题均有，且题数各不相等，则难题的题数是多少？

37

用f(n)表示自然n的各GZ数字之和,例妍(20)=2+0=2,f(2009)=2+0+0+9=ll,若对任意自然数n

,都有n+f(n)wx,满足这个条件的最大两位数x的值是多少？

38

在一个座谈会中共有7位著名教学家出席，其中3位有胡子。这7位数学家将沿着子的

请问3位留胡子的数学家正好相邻坐着的概率为多少？

39

你面前有f由铁丝围成的正方体，构成正方体每条邮每根铁丝的阻值H殍于R。问：正方形一面上

对角哪两幅段间99^邺且为多少?

40

伦敦奥运会男篮I：怎共12支球队，朝赛场有6个入口，他们可以蟒从任何—b入口进场，12支球

队一共有多少种入场方式？

41

某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图.现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求

任意相邻的两个县染不同颜色,共有多少种不同的染色方法？

42

我们用A(b)藏自然数b的的筹,例及口:A(2014)=4,A(13xl3)=A(169)=9.另陷在1~2015这201

5个自然数中，有多少个满足A(bxb)=A(b)的？

43

11的2013劝,二位数?

44

f正多边形，它的每f内角的度数都是髅,另及这个正多边形的内角和最多是多少度？

45

老丽］蜀黍进行嬲天比赛。老A每次米，蜀委每次0组75米他注海秒钟都只能跳一次.比赛途中

,从起颉始，每隔12又3/8米挖有f大坑。他俩同时起跳,当他们之中有f掉进坑里时,另f

跳了多少米？

46

17”的末位数字是几？

47

有a,b,c,d四个自修,己知2a<3b,4b<5c,6c<7d,8d<1234。jB陷当㊀^^时，

数位上的所有数字之和是多少?

48

请你用2,3,4,5,6,7这六个数和减f既能被23瞬汉能被29瞬的六艘(每个数字都用且

只用一次)。

借问能算者，这样的数有几个？

49

设数M=lim….11111(若干个1),已知数M能被1989整除，那么M至少是多少谈？

50

有T带余数除法算式，如下：m+n=p..&

如果m+n+p=2178,则m=?

51

单选题：如图是六根电阻丝的连接示意图，每根电阻丝（线段）的电阻值问：A、D两点间

的翎电阻是多少?

已知a是f正级,并且（a十6）能献（a7+2015）,另陷所有满足题意的正髅a的和是多少？

53

答案

1

解析2015+a—2015+b=b—a

2015b—2015a=ab(b—a)

2015(b—a)=ab(b—a)

因为axb,则有：

ab=2015

注意是求整数解,包括正整数解和负髅解。

2015=1x5x13x31,对应的(a,b)有以下16组解。

(1,2015),(-1,-2015),

(5,403),(-5,-403),

(13,155),(-13,-155),

(31,65),(-31,-65),

(65,31),(-65,-31),

(155,13),(-155,-13),

(403,5),(-403,-5),

(2015,1),(-2015,-1),

2

隹物(1)。2014bx2014+b)

=[2014x(2014+b)-2014x2014]:(2014+b)

=2014-2014x2014^(2014+b)

⑵。(2014+b)必是2014x2014的因数。

因为1)是^22014的,所lU2015w2014+b*028

现诙触出2014x2014的因数中有哪几个在2015〜〜4028(含2015^4028)力司就了.

(3).2014x2014=2x2x19x19x53x53

可知2014x2014ft^3x3x3=274«,这27他刎下：

1和2014x2014

2和2x19x19x53

4和19x19x53*53

19和2x2x19x53x53

19x2和2x19x53x53

53和2x2/19x19x53

2x2x19和19/53x53

2x53和2x19*19x53

2x2x53和19*19*53

19x19和2x2x53x53

19x19x2和53/53x2

19x53和2x2x19x53

19x19x4和53x53

烟2x19x53共27个

(4).在这27个因数中只有53x53=2809和2x2x19x53=4028,符合上述要求。这时b分别

是

2809-2014=795和

4028-2014=2014,共2个,

3

你的第一感觉或许是,公司应该雇用100多人，或者200多人吧。答案或许会让你大吃

:公司应该雇用365个人。注意，雇用365个人并不意味着全体员工全年的总工作时间

为0,因为365个人的生日都是随机的，恰好每天都有f人过生日的概率极〃械小。下面

我们就来证明，这个问题的最优解就是365人。

由于期望值满足线性关系(即对于随机变量X和Y有E(X)+E(Y)=E(X+Y)),因此我

们只需要让每1总工作时间的期望值最大就可以了。假设公司里有n个人，那么在特

定的"女里,没有人过生日的概率是(364/365)。。因此，这出的期望总工作时间就是n-

(364/365尸个工作日。为了考察函数n-(364/365)n的增减性,我们来看一下((n+1)-

(364/365)n+1)/(n-(364/365)n)0$K6,(364(n+1))/(365-n)。如比却

小，解得n>364。可见，要到n=365以后，函数才是递减的。

4

假设圆的半径为R。整个71边fl缥由4个三边分别为3,R,R的三角形和4个三边分别为2,

R,R的三角形组成。如果我们重新摆放这8个三角形，让这两种三角形交替出现的话，整个

图形的面积是不会的。然而,新的/US形相当于是一个边长为3+2V2的正方形去掉了4

个直角边为y12的等腰直角三角形以后所得0g图形。它的面积是(3+272)2-4=13+

12V2.

5

设袋子里有m个颜色各异的小球.

令Xi=l第i个小球在13次抽取中被抽到过),否则Xi=0(第i个小球没^抽到)

于是令X=X1+X2+X3+......+Xm,便有数窖望EX=6.

由于P(Xi=0)=(l-l/m)八13,所哪为：P(Xi=l)=l-(l-l/m)A13

于是我们有6=EX=m(l-(l-l/m)八13)

代入m=6阚时,霹艇0.5UU：,而m=7时，霞在0.1以下。

所以m=7.

6

笛析假设AB是这条绳子，P为AB上一点，使得

AP：PB=1：x

设AP二s，.二PB二sx

所求截点在AP上的概率为s/(s+sx)=l/(1+x)

又•.截点位于与线段另TB同样距离的线段上的可能性是一样的

・••所求事件的除为2/(x*l)

7

设四位数"李连杰爰"为a,两位数"利智”为b,依题意得方程。

(100a+b)x7=(10000b+a)xll

700a+7b=110000b+lla

689a=10999北

a:b=109993:689

a:b=8461:53

因为a是四立数,b是两位数，蟠―解：

a=8461,b=53o

则:李+连+杰+爰+利+智

=8+4+6+1+5+3

二27。

8

群柝考虑一共跳七次，所以首先用7x6x5x4x3x2xl(A)

而后考虑三个竖格和四个横格各为寮攵，所以用(4x3x2xl)x(3x2x1)(B)

(A)・(B)=35

9

划去100个数从最高位开始并留下所有的9:

包括1-8,10—18,19中的L20~28,29中的2,…,50到561里共有

8+19+19+19+19+14=98个再划去57,58中的两个5,剩下的数的前十位是

9999978596.

所以前10位的和为80.

10

解析：解：

1.火行8公里所用的时间

8+33x60=(160/11)涉

2.火车出发时时针，分针的夹角

(160/11)X(6-0.5)=80JS

3.在好选项中只有10:40的时针与饼郑魁是:30x2+30x(40/60)=80度

11

我们发现1/1980+1/2000-2/1990>0,BD1/1980+1/2000>2/1990;

同理1/1981+1/1999>2/1990……1/1989+1/19991>2/1990,

共10组，再力吐本身的f1/1990,

因此$<1/(21/1990)=94+16/21即94+6/21<s<94+16/21,

说明嬲部分是94。

12

因为143可分解为11*13两个质因素的积，按其有关性质，则有如此两个三位数7cd和6ab之

差可被143瞬。

L因此7cd-6ab型为143.由于飕百<22^为1,所购必贿：cd-ab=43.因为a>4,所

以a可为5至9中的各数。但是c已不能向百位借十,c必须大于a,且只能为9,在此情况下要

使c-a=4,a只能为5,c只能为9.

2.从上分析可以看出，个位d也不能向十位借十,所以d只能为：3、4、5、6、7、8、9,因

d-b=3,贝粉别对邮b为：0、1、2、3、4、5、6.

3.由上分析得出这一防形的面积可为：650793、651794、652795、653796、654797、

655798、656799共制结果。即面积大小至多有7种可能.

13

百丁：设g三个质数分别是a,b,C,得

Labc=41(a十b十c),观察得：等式左边能被41整除,贝(J右边必能被41整除。因为右边是

三个不同的质数，所以必有f质数是41,不妨设a=41.

贝！labc=41(a十b十c),可简化为：bc=41十b+c

2.bc=41+b+c

be—b—c=41

c(b-l)-(b—1)=42

(b—l)(c—1)=42

因为b,c均为质数,贝!l(b—1),(c-1),都是42的因数。

42=1*42=2*21=3*14=6*7

⑴若b—1=1,贝!Ie—1=42,此时b=2,c=43，(或b=43,c=2,也可以).符合题意

(2)若b—1=2,则c-l=21,lttetb=3,c=22,与献格。

⑶若b—1=3,则c—1=14,此时b=4,c=15,与题意不符.

(4)若b—1=6,赃一1=7.蝴b=7,c=8,与凝神。.

,匹个^^别是：2,41,43。贝！］2*41*43+7=503...5O

14

解仙：179+2*179/10+2*179/10八2+……+2*179/10An

=179+2*179*(l/10+l/10A2+l/10A3+……+l/10An)

=179+2*179*(l-l/10An)/9

因为n无限大

所以1-1/100=1

S=179+2*179/9

15

新析L斜边长为V2的等腰直角三角形个数

在每个1*1的正方形中可以教出4个斜边长为V2的等腰直角三角形，而原图中有6个1*1的正方

形，因此斜边长为V2的等腰直角三角形共有4*6=24个。

2.斜边长为2V2的等腰直角三角形个数

在每个2*2的正方形中可以教出4个斜边长为2V2的等腰直角三角形，而原图中有2个2*2的正

方形，因峥边长为2V2除腰直角三角形共有4*2=8个

3.斜边长为2的等腰直角三角形个数

在每个2*1的长方形中可以数出2个斜边长为2的等腰直角三角形，而原图中有7个2*1的长方

形，因此斜边长为2的等腰直角三角形共有2*7=14个

4。斜边长为V1O0W腰直角三角形个数

这种等腰直角三角形的斜边为V10,两条直角边分别为V5.每个3*1的长方形的对角线长为

V10,图中共有2个3*1的长方形，共有4条对角线，每条对角僦对应看一^边长为V10的

等腰直角三角形，因峥边长为V10的等腰直角三角形共有4个。

综^上述，本廨解为：24十8十14十4=5/

16

233333是一M璃的数由俩个质嫄乘而得，

233333的因数为L353,661,23333,

由题目可得：

(A+B)*(C+D)*(E+F)=233333=1*353*661

那么A+B+C+D+E+F=l+353+661=1015

17

依题意得mn=nmx7—3774,(注意:mn不是mxn,而是•一个五位数)

1000m+n=（100n+m）x7—3774

1000m+n=700n+7m—3774

699n-993m=3774

再由n=1.5m得

699xl.5mT93m=3774

55.5m=3774

m=68

贝（Jn=68xL5=102。

2的解他,4,8,脆环，102+4=25...2,所以

18

科祈考生A每道题与3个考生相同，（16-1）/3=5,答案为5.

附表：P「i6为考生，ABCD为选项。

P1AAAAAP2ABBBBP3ACCCCP4ADDDD

PsBABCDP6BBADCP7BCDABP8BDCBA

P9CACDBPIOCBDCAPnCCABDP12CDBAC

P13DADBCP14DBCADP15DCBDAP16DDACB

19

三按同样方法可知，当1号位分别是4和5时，都各有11种站法。

因此，总共有11x4=44种站法，

20

原数列10050(33)2520161412111咯项均剑100,可得10.5(0.33)0.250.2

0.160.140.120.110.1,观察可得到新数列为分数列1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1

〃，1/8,1/9,1/10的小数后两位，即原数列是分数列的辍部分，所以括号里应为33

21

解：去,把(a八3+2015)触(a十6)可知,

aA3十2015=(a+6)(aA2—6a十36)十1799。

要使(a"+2015)能被(a+6)整除，必须1799能被(a+6)整除，因此(a+6)必是1799的因

数。

1799=7x257,1799的因螃有4个1,7,257,1799.

所以a十6可以分另帕7,257,1799.

则满足题意的所有a之和为：(7十257十1799)—6x3=2045

22

解析:解:

1.

因为6666三10(modl3),所以6666A7777三10八7777(010仇3)

因为10A3三一l(modl3),ffilU(10A3)A2592H(—l)A2592(modl3),

gfllOA7776Hl(modl3),则10人7777三1x10三10(modl3).

即6666人7777三10(modl3)。

2.

因为7777三3(modl3),所以7777A6666三3A6666(modl3)

因为3A3三l(modl3),所以3八6666三1八6666三l(modl3)

即7777八6666三l(modl3).

3.

由以上得6666人7777十7777八6666三10十1三ll(modl3),因喊P除以13的钠为11,应

23

三析：1-3的平方是f数，占去3个;

4-9的平方是二位数，占去12个位置;

10-31的平方一飕,占却；

32—99的平方是四位数，占去272个位置;

将1到99的平那卜成一彳亍，共占去3+12+66+272=353WS,从612减去353,3W259

^#259=51x5+4。从10癖口50,共51例,它们的平座§5位数,要占去25%立

置中的255个.151x151=22801,从左到右的第4个位置上是0,这就是本题的答案，即第

612个位置上的数是0。

24

解析：解：

1.因为这个数列的特点是从第三项开始,每项聘于它前面两项之和。所以计算每个数除以

6所得余数时，可以把前两个余数相力吃和除以6,所得余数就是下一^除以6所得余数。据

此很易得到各数除以6的钠:

(1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0,1,1,2,3,5,2),1,3,4

括号内为循环节，每24个数循环一次。

2.前47个括号共有1十2十3十4十…十47=24x47=1128个数,1128是24的倍数，贝噬48个

括号里各数除以6的余数同!ft?是2个循环节。

(1十3十4+1十5+0+5十5十4十3十1十4十5十3十2十5十1十叶1十1十2十3十5十

2)x2=132,132觥6^90,故问为0

25

中雕"趣、趣=缄”幅理，在1,3,5,7.........97,99中，如

的蹴,那^艘,这个商^B1,如耨1,

牌数是它自己的一倍,这并不硝D讨论的范围之内，因此这个商最小是3.

由于3x33=99,3x35=105超过99,因此从35开始，以后每(直到99)都不可能

是微,从1至99MW100+2=50,而1至33共，因此，从

1,3,5,7……,97,99中，最多可以选出50-17=33个数，使它们当中的每T数,都不

0｛微。

26

设二维中切第n刀破坏Q(n)个平面块，三维中切第n刀破坏P(n)个立体块，我发

现：P(n)=P(n-l)+Q(n-l),设n刀切出V(n)块西瓜,有V(n)=(V(n-l)-

P(n))+2P(n)=P(n)+V(n-l)所以开始的几刀切出的西瓜块是：4刀15块、5刀26块、6刀42

块......nl2345678Q(n)12345678P(n)124711162229V(n)2481526426493

正确答案的通项公式：V(n)=l/6(n八3+5n+6)将100代人上面的式子就可的正确答

案：166751

27

假设一人得奖，与3张奖券不符,至少有两人彳醒,所以除

假设两人得奖，百法^券的分发为3种(1.2)(1.3)(2.3),得奖的人分为4*3*2/2=12

种，所以有3*12=36种

假设三人得奖，那么奖券的分发只有1种，得奖的人分为4*3*2=24种，所以有24种

假设四人得奖,与只有三张奖券不符,所期滁

综合可得，得奖的情况共有6例

28

在上面27个因数中，只有4225,4805,5229,10075位于3015与12014之间，也即只

有4种塌去,因此应选D。

相邮Ja,b取酶下：

当2015+b=4225时，

b=2210,a=1054.

当2015+b=4805时,/

b=2790,a=1170。

当2015+b=5239时，

b=3224,a=1240.

当2015+b=10075时,

b=8060,a=1612。

29

设这个■位质数是a,两位质数为b,则依题意得

（（）

lo100a+b）4-0.5a+0.5b

=（200a+2b）4-（a+b）

=198a4-（a+b）+2

因为这个三位数的皮这两个质数的和的一半整馀，故这两个质数之和必为偶数。

2。因为2+ll=13<a+b，7+97=104,而a与（a+b）蹒，故（a+b）必是198的因数

198的因数中，既™^在13至104之间的有:18,22和66,所以（a+b）的fiB18,22麻6

而18=5+13=7+11,22=3+19=5+17,66=5+61=7+59.

所以裕瞬的三位数有：513,711,319,517,561和759M6^

30

其实三个币有六个面，面面被你抽出的瞳都一样，都为1/6。

设A币是两面金色的币，有两个面分别是（金1,金2）;

设B市是两面银色的币，有两个面分别是（银1,银2）;

设C币是T色一黑色，有两个面分别是（金0,银0）;

题目说，抽出的币正面是金色的，则等机率情况有三个：

1）、上面是（金1）,则下面是（金2）;

2）、上面是（金2）,则下面是（金1）;

3）、上面是（金0）,则下面是（银0）；

即说明：三个情况中其实只有f情况是银色，所以是1/3

31

首先设大盒有x个，小盒有y个，贝以2x+5y=99,要使总和为99,利用尾数法，5y的艘必须为

5,贝1112x09位数必须为4,即x=2或7,而y=15或y=3.由于题干要求大小盒子总数大于10,因此

x=7,y=3舍去,从而取值只能为x=2,y=15,故y-x=13/4

32

咨M右式=4256=Q2）256=2512

因此2N=512,贝！IN=9。

33

提示：假设jiege,JT暧现错别字的瞬为P,Q

密

Sroan文章里有N个错别字，jiege,JT喷现错别字的概率为P,Q同时发现哪臻为PQ,

贝炉*N=576,Q*N=588,PQN=504,

我正何以得到P=6/7,Q=7/8,N=672

34

35

可以连接NB,由燕尾定理及条件可知CAN:'ANB'=2:1,不妨设AMN为1份，贝UANB为2

份，CAN就是4份，"CNB"也是4份，全图就是10份，阴影就占全图1/10。.国

36

将每人解出的题目看作f集合，画出文氏图。

上图中圆内白色部分表示只有f人解出，对应难题；灰色部分表示只有两个人解出，对应

中等题；黑色部分表示三个人都解出，对应容易题。

设三个灰色部分对应题数为x,黑色部分对应题数为y,将三个集合叠加，则三个灰色部分各

多算了1次，黑色部分多计算了2次,因此有12+12+12-x-2y=30,邮得x+2y=6。

由6和2y均是偶雌⑪（也是偶数。又X、消为正数，可知x只能取2或4。当x=2时，y=2,不

符合"难题、中等题、容易题题数各不相等"这个条件，W滁。当x=4^t,y=l,符合题干要

求。因此白色部分对应题数为30-4-1=25（道），即难题的题数是25道。

•收起|土查看大图、向左转«♦向右转

■中

■

口««,

37

90+f(90)=99,85+f(85)=98,84+f(84)=96,83+f(83)=94...依次变小。.o而由于

86,87,88,89mWn+f(n)09B已大甘9,不睇位数,所l^£n+f(n)#xm±两位数x

就是98和96之间的97了.

38

7个人一共有7!即504则非列方法。而这3位有胡子的教学家坐在气的情况一共有5种。

对于这5种情况中的每一种，这3位数学家之间的排列方法为3x2x1=6种。而没有胡子的

数学家之间的排列方法为4x3x2x1=24种。因此，这3位数学家坐在F一共有

5x6x24=720#方法。

其概率为1/7（720/5040）。

39

首先画出球电路图，可以看到，两点间的电阻为

\(\frac{l}{\frac{l}{3R}+\frac{l}{3R}+\frac{l}{3R}+\frac{l}{3R}}=\frac{l}{\frac{4}{3R}}=

\frac{3R}{4}\cdot\)

40

:注意先后顺序

第1支球队有6种方式;第2支球队可以选择其他5个入口，也可以选择在第1支球队前面或后面

入场，因此有7种方式；

同理：第3初飒有8种历t;第4初秋有9种防t；第豉啾有1用昉5C；第皎啾有

11种方式；第7支球队有12种方式;

第8班队有13种旅;第9^1^有14种版;第有15种成;第有16

种方式；第12支球队有17种方式;

一有：6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17=2964061900800

41

丽：

为了便于观察，在保持相邻关系不獭情况下可以把左图改画成右图。另陷,为了完成地

图染色这件工作需要多少步呢？

由于有7个区域，我们不妨按A、B、C、D、E、F、G的顺序，用红、黑、绿、蓝、

紫五种颜色依次分7步来完稣色任务.

第1步：林区域A,有5种颜色可供选择;

第2步：再染区域B,由于B不能与A同色，所以区域B的染色方式有4种；

第3步：染区域C,由于C不能与B、A同色，所以区域C的染色方式有3种；

第4步：染区域D,由于D不能与C、A同色，所以区域D的染色方式有3种；

第5步:染区域E,由于E不能与D、A同色，所以区域E的染色方式有3种；

第6步:染区域F,由于环能与E、A同色，所以区域F的染色方式有3种；

第7步：染区域G,由于G不能与C、D同色，所以区域G的染色方式有3种.

根据分步计数的乘法原理，共有5X4X3X3X3X3X3=486(W不同的染色方法.

42

1.本题实质是考虑T自秘的平方的末位数字与这个自然数的末位数字相同的问题。个位

数字是0,1,5或6的自微的平方的末位数字与这个自然数的末｛逾字相同。

2.在1~10中有1,5,6,10«竹数符题意。

在11~20中有11,15,16,20共4个数符合题藏

在21~30中有21,25,26,30序例

即每1OW中有4个数符合题意,

2015^10=201......5,因螃1~2010中有4x201=804例融题意,画下的5个

(2011~2015)数中演2011和2015这两^题氤。

3.所以,可题的I聘804+2=80衿，螭D.

43

11的n(n为彳瑾)、加,其结熟溷瘫二蹒存是n的棉数K1

44

注意到任意一个凸多边形的外角和都是360度，而这个正多边形的每个内角度数都是整数度，

贝佗的每个外角的度数也是辍度.要使这个正多边形的内角和最大，必须使它的每T内

角尽量大,且内角数尽量多。而360=1*360,因此这个正多边形的每个外角为1度，有36g

外角时，可满足题意.正多边形内角和为180*(360-2)=64440.

45

当老A掉进大坑时，磔过的路程最短是4.5米和12又3/8米的最小公｛微：99/2米当蜀黍

掉,蝴恒的路jg^SS2.75海12又3/8^9>JN微：99/4米。99/4<99

/2,所以蜀黍先掉进坑里。这时蜀黍共跳了(99/4)+2.75=9次.这时老A也跳了9次，进而

可以求出老微处］路程.4.5*9=40.5米,即蜀黍先掉坑里，这时老A®匕了40.5米。

46

1717=(174)4x17,

其中(174)4的末位数字是］,所以17。的末位数字是7。这就是所需的答案。

用类1峭方法可以讨^他物的乘方的末位数字。例如,可以仿照上面的“潦雪球"

过程，得到4343的末位数字也是7,因而4343和1717的末位数字相同。

4343的值究竟是多少呢?利用电脑容易算出

4343=17343