新高考高中数学核心知识点全透视专题13.3双曲线（精讲精析篇）

新高考高中数学核心知识点全透视

专题13.3双曲线（精讲精析篇）

一、核心素养

1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养.

2.考查双曲线几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线），结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数

学运算的核心素养.

二、考试要求

1.了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系.

2.了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法.

3.理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用.

三、主干知识梳理

（-）双曲线的定义及标准方程

1.双曲线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线

（1）在平面内；

（2）动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值;

（3）这一定值一定要小于两定点的距离.

2.双曲线的标准方程

2222

Xy_y-v_

标准方程尸产l(a〉O,b>0)厂产1(a>0,6>0)

图形XK圣

7

（二）双曲线的几何性质

双曲线的几何性质

X2V229

标准方程U一笈=1(。>0，h>o)力一，=l(a>0,b>0)

图形

范围或y£Rx£R,yW—ci或

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点Ai(—<2,0),42(。,0)4(0,~a),A2(0,a)

bx

性渐近线产土孑y=4

质

离心率+°°）,其中©二^/片+店

线段AA2叫作双曲线的实轴,它的长|A/2l=2a：线段B1B2叫作双曲线的虚轴，

实虚轴

它的长|8/2|=26；〃叫作双曲线的实半轴长，〃叫作双曲线的虚半轴长.

〃、b、c

222

c=a+b(c>a>0fc>b>0)

的关系

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一、命题规律

对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本

量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三

是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.总体要求不高，不再独立考查双曲线大题.

二、真题展示

1.（2021•全国高考真题（文））点（3,0）到双曲线弓-4=1的一条渐近线的距离为（）

169

A9C8一6n4

A.-B.-C.-D.一

5555

【答案】A

【分析】

首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.

【详解】

由题意可知，双曲线的渐近线方程为：—-^-=0,即3x±4y=0,

169

9+09

结合对称性，不妨考虑点（3,0）到直线3x+4y=0的距离：d=-^===-.

故选：A.

2.（2021.全国高考真题（理））已知耳,巴是双曲线。的两个焦点,尸为。上一点,且/6艺=6（）。,归川=3归图,

则C的离心率为（)

A不B.叵

C.不D.岳

22

【答案】A

【分析】

根据双曲线的定义及条件，表示出|产国尸鸟结合余弦定理可得答案.

【详解】

因为|P周=3归闾，由双曲线的定义可得|P耳|-|P闾=2忸闾=",

所以|P闾=a,|P娟=3”；

因为4"=60。屈余弦定理可得4c2=9〃2+〃-2x3aacos60。，

整理可得4c2=7后,所以/=£=1，即6=立.

a242

故选：A

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考点01双曲线的定义

【典例1】（2021•鹤山市第二中学高二月考）P是双曲线/一）2=16左支上一点，R,B分别是左、右焦点,

则仍月|一『「2|=（）

A.4B.-4C.8D.-8

【答案】D

【分析】

根据双曲线的定义即可求出.

【详解】

因为双曲线方程为小一^=16,化为标准方程得兰-21=1,即a=4,

1616

所以归用-|P矶=2a=8,而点尸在双曲线左支上，于是|尸耳|＜归闾，

所以归同-归闾=-8.

故选：D.

【典例2】(2020•浙江省高考真题)已知点0(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|必|-I阳=2,

且于为函数*3,4一小图像上的点，则|以|=()

4V10

C."D.回

5

【答案】D

【解析】

因为|P4|-|P3|=2<4,所以点尸在以A,5为焦点，实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支上，由

。=2,。=1可得，b2=c2-a2=4-l=3,即双曲线的右支方程为/一］_=i(x>o),而点p还在函数

y=3,4一f的图象上,所以,

y=3\j4-x2x=--I-------

由《丫2，解得，2即|OP|=J12+2Z=布.

一匕=l(x>0)3G11\44

故选：D.

【总结提升】

1.双曲线定义的主要应用

(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程.

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||⑶|一|%||=2a,运用平方的方法，建立

与|掰I•I阳|的联系.

2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线.

3.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.

4.如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.

考点02双曲线的标准方程

22

【典例3】(2021.北京高考真题)双曲线C:£-}=1过点(0,6),且离心率为2,则该双曲线的标准方

程为()

222

A.2f-y2=lB.x-^-=iC.5x-3y=lD.—-^-=1

326

【答案】B

【分析】

分析可得6=石。，再将点（女,代入双曲线的方程，求出。的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】

22

■.■e=-=2,贝ijc=2a,b==则双曲线的方程为鼻一当=1，

aa3a

将点样，用的坐标代入双曲线的方程可得家-喜吟=i,解得。=1,故匕=6

因此，双曲线的方程为f-d=i.

3

故选：B

22

【典例4】（2017•天津高考真题（文））己知双曲线[-[=13>0力>0）的左焦点为尸，点A在双曲线

ab“

的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（。为原点），则双曲线的方程为（）

22222D“一J

A.二上=1B±—JC.---丁=1

4121243-

【答案】D

【解析】

由题意结合双曲线的渐近线方程可得:

c=2

c2=3a2+b2,解得：/=］万=3,

—=tan60=yfi

a

2

双曲线方程为：/—21=]

3

本题选择D选项.

【总结提升】

1.求双曲线方程的思路

（1）如果己知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或），轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根

据条件确定关于a，b,c的方程组，解出。2,序，从而写出双曲线的标准方程（求得的方程可能是一个，也

有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解）.

（2）当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：

一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为加/—〃y2=]（/〃〃>0）,

2222

②与「—5=1共渐近线的双曲线可设为二—二=4(470),(3)等轴双曲线可设为一一y2=4(4/0)

a'b~a~b~

等，均为待定系数法求标准方程.

2.利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：

(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论.

⑵设方程：根据焦点位置，设方程为'—£=1或A册1(。>°，入°)，焦点不定时，亦可设为，江+炉=

1(/77/?<0)；

(3)寻关系：根据已知条件列出关于。、以或，小力的方程组；

(4)得方程：解方程组，将“、氏c•(或相、〃)的值代入所设方程即为所求.

3.双曲线方程的几种形式：

⑴双曲线的一般方程：当ABC/)时，方程合+而3可以变形为1+芸=1,由此可以看出方程M+ByZ

AB

=C表示双曲线的充要条件是ABC#),且4B异号.此时称方程4好+8)，2=(7为双曲线的一般方程.利用

一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为将其化为标准方程，即牛+9=1.因此,

当A>0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当A0时，表示焦点在y轴上的双曲线.

?22

(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线%—白=13>0,6>0)有公共焦点的双曲线的方程为/V

a2+A~b2-X^

l(a>0,比>0)；与双曲线方一条=1(。>0,比>0)有公共焦点的双曲线的方程为念^一访工=l(a>0,b>0).

考点03双曲线的实际应用

【典例5】(2021•长丰北城衡安学校高二月考(理))如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐・金筐宝钿团花纹

金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作

是双曲线C：f=l(e0,入0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形绕)，轴旋

转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为"立，下底座外直径为亚，且杯身最细之处

33

到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为()

A.2及兀B.37rC.2下＞几D.47r

【答案】C

【分析】

利用该金杯主体部分的上口外直径为蛇，下底座外直径为观,

33

且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，

可设M(色叵,2w),N(避&，

33

代入方程，即可解得a?=3,a=6，

即杯身最细处圆的半径为6，从而得解.

【详解】

该金杯主体部分的上口外立径为U由，下底座外直径为2叵，

33

且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，

可设”(手,2M,N(g,〃?)代入双曲线方程可得

2513

T_4w^=l=।，

crb~ab~

2513

BP12rn2_13»

/一再1'/一至

27

作差可得迈=』，解得/=3,。=6，

a24

所以杯身最细处的周长为2后.

故选：C

【规律总结】

解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联

系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤.

考点04焦点三角形问题

【典例6](2020•全国高考真题(理))设双曲线G三一马=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为E,

a2h2

后离心率为价.，是C上一点，且尸若△心£的面积为4,则a=()

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

【解析】

•：?=旧，：.c=马，根据双曲线的定义可得归耳卜|「鸟||=2〃，

Sg"2=?P不忖用=4,即|3|疗用=8,

■.■FXPLF2P,:\PFS+\PF^（2c^,

.•.（归用—归国『+2|/¥；卜「周=4,2,即。2一5/+4=0,解得0=1,

故选：A.

【典例7】（2021•湖北高三开学考试）己知双曲线5=1（。>（">0）的左右焦点为0死，过尸2的直线交双

ab“

曲线右支于A,B,若明・丽'=（）,且cos/£AE=1，则双曲线的离心率为（）

A.72B.-C.&D.叵

222

【答案】D

【分析】

设|46卜机根据西.所=0,且cosZF；A丹=：,结合双曲线的定义求得m=5a,再在△5的人中，利用

勾股定理求解.

【详解】

设|裕|=能,因为防.质'=0，且cos/F；AE=g,

所以忸用=[北恒用=[〃?，

由双曲线的定义得：\BF2\=-m-2a,\AF2\^m-2a,

因为|明|+怛月|=|明，

34

所以g加一2。+a一2〃=g"，

解得m=5a,

所以在486鸟中，BF^BF^=F]F^t

即9/+/=府,

解得e=孚，

2

故选：D

【规律总结】双曲线中的焦点三角形

双曲线上的点P与其两个焦点Q,&连接而成的三角形尸Q&称为焦点三角形.

令|PFi|=ri，|尸尸2|=相，ZFlPF2=S,因尸|3|=2。，所以有

⑴定义:比一词=2/

（2）余弦公式：4c2=r?+d—2n^cos^

（3）面积公式：SAPFiF2=|rir2sin^.

一般地，在△PQB中，通过以上三个等式，所以求问题就会顺利解决.

考点05已知双曲线的方程，研究其几何性质

【典例8】（2021.全国高考真题（文））双曲线上-t=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.

45

【答案】6

【分析】

先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】

由己知，c=J/+，2=,5+4=3,所以双曲线的右焦点为（3,0）,

_|3+2x0-8|5rz

所以右焦点（3,0）到直线x+2y-8=0的距离为为薜尸=存=石.

故答案为：下

22

【典例9】（2020•北京高考真题）已知双曲线C：土一匕=1,则C的右焦点的坐标为；，的焦

63

点到其渐近线的距离是.

【答案】（3,0）百

【解析】

在双曲线。中，a"，b=#），则c=万=3,则双曲线。的右焦点坐标为（3,（）），

双曲线C的渐近线方程为）/=土三X，即X土拒y=0.

3

所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为出.

Vl2+2

故答案为：（3,0）；73.

【总结提升】

1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a、b,利用1=3+炉求出c,

再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.

2.画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线（即以2a、2b为两邻边的矩形对角线）和两个顶点，然后根

据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图.

3.双曲线的标准方程中对“、6的要求只是“＞0,易误认为与椭圆标准方程中“，。的要求相同.

若〃＞方＞0,则双曲线的离心率ed（l,也）；

若a=b＞0,则双曲线的离心率e=也；

若0＜&＜江则双曲线的离心率e＞&.

4.注意区分双曲线中的a,b,。大小关系与椭圆4、6、C关系，在椭圆中层=从+，，而在双曲线中c?=

5.等轴双曲线的离心率与渐近线关系

双曲线为等轴双曲线0双曲线的离心率6=啦㈡双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）.

6.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b

7.渐近线与离心率

.一营=1（。＞0,/,＞0）的一条渐近线的斜率为-=g=/上±="2-1.可以看出,双曲线的

渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.

8.与双曲线有关的范围问题的解题思路

（1）若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解.

（2）若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中420等

来解决.

考点06由双曲线的性质求双曲线的方程

22

【典例10】（2018•天津高考真题（文））已知双曲线二-4=1（。＞0力＞0）的离心率为2,过右焦点且垂

ab~

直于x轴的直线与双曲线交于A8两点.设A5到双曲线的同一条渐近线的距离分别为&和人，且

4+4=6,则双曲线的方程为（)

9922

A.上上=1B.上上=1

3993

L.----------------=1U.----------------二

412124

【答案】A

【解析】

设双曲线的右焦点坐标为尸（C,O）（<?>0）,则

r2v2h2

由f—7=1可得：y=±——，

a2b2a

b2b2

不妨设：AC,—,Bc,一一，双曲线的一条渐近线方程为取-做=0,

cl)a

\bc-b2\_bc-b2|^+^2|_bc+h2

据此可得：4,d2

耳+从ca2+b2

则4+&=*=28=6,则b=3,〃=9,

14=l+:=2,

双曲线的离心率：e=-

aa

据此可得：“2=3,则双曲线的方程为三—二=1.

39

本题选择A选项.

【规律总结】

1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位T定式T定量”三个步

骤.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲

线方程为〃/一〃y2=］（77m>0）,从而直接求得.

2.根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程.渐近线为丫=务的双曲线方程可设为：4-4=wo）；

如果两条渐近线的方程为皿8y=0,那么双曲线的方程可设为品2—碎产砥垃翔）；与双曲线方―苴=1共

渐近线的双曲线方程可设为，一5=2（%翔）.

考点07求双曲线的离心率（或范围）

22

【典例11］（2019・全国高考真题（文））双曲线，:二-3=1（4>0/>0）的一条渐近线的倾斜角为130。，

a'b"

则C的离心率为（)

A.2sin40°B.2cos40°--------D.

sin50°-------------------cos50°

【答案】D

【解析】

bb

由已知可得--=tan130°=tan50°，

aa

...e，=、用f二标/=J]+口=尸5。。；5。。=',故选D.

a'UVcos~50°vcos50°cos50°

22

【典例12】(2021•湖北恩施土家族苗族自治州•高三开学考试)双曲线C:二-与=1(a>0,b>0)的左

ab

顶点为A,右焦点为F,过点A的直线交双曲线C于另一点8,当班_!_时时满足|A可>2忸用，则双曲线

离心率e的取值范围是()

A.\<e<2B.\<e<-C.-<e<2D.

222

【答案】B

【分析】

设双曲线半焦距c,再根据给定条件求出|8月长，列出不等式即可得解.

【详解】

X=c

设双曲线半焦距为c,因3FLAF，则由[/2得|8"=|田=2,^\AF\=a+c,

[a—27——b2r=]a

h-r2_a~2C3

于是得a+c>2・L,即a+整理得a>；c,从而有e=—<=,又e>l,

aa3a2

3

所以双曲线离心率e的取值范围是l<e<].

故选：B

【典例13](2020♦全国高二课时练习)己知双曲线C：三—卷=l(a>b>0)右支上非顶点的一点A关于

原点0的对称点为B,F为其右焦点，若AFLFB，设NABF=0,且五q，则双曲线C离心率的

取值范围是.

【答案】(&,+e)

【解析】

设双曲线的左焦点为F,连接A尸，BF,

AF±FB，可得四边形为矩形,

设|M=m,|BF|=n,即有.犷尸BF=〃，

Jim2+n2=4c2.n-m=2a.

cm

tanO=—,

n

2222

2_c_4c_m+n_1_1

a24a2m2-2mn+n2]2mn12

m2+n2

nm

1

tanO+

tanO

由北后封’可得卜=tanO£（2-6』）,

丁加

则t+,e（2,4）,可得

t\/t

t

即有:+工

t

______1_

«2,+司

2

贝也--------

1，

tan。+

tanO

即有ee（0,+<x>].

故答案为：卜区+8）.

FF，1

Ar

【规律提升】

1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式

来完成；②通过判别式/求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，

如4,同等非负性求解.

2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a,b,c的不等关

系，结合,2=〃2+从和。=0得到关于e的不等式，然后求解.在建立不等式求e时，经常用到的结论：双

曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c—双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二

者参数之间的转化.

3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略

(1)双曲线的离心率e=£是一个比值，故只需根据条件得到关于a,b,。的一个关系式，利用方2=—一才消

a

去b,然后变形成关于e的关系式，并且需注意e>l.

J2r2V2xy

(2)双曲线*v=1(。>0,人〉0)的渐近线是令与一方二°，即得两渐近线方程[±％=0-

(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答.注意应P]e=5=+.

考点08与双曲线有关的综合问题

【典例14](2020•全国高考真题(理))设。为坐标原点，直线%=a与双曲线C：捺-&=l(a>0,b>0)的

两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【解析】

%-C：^-g=l(a>0,b>0)

二双曲线的渐近线方程是y=±；x

•••直线x=a与双曲线=l(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于0,E两点

不妨设D为在第一象限，E在第四象限

联立卜:「。，解得Ef

故D(a,b)

联立解得

故E(a,一句

・・.\ED\=2b

△ODE面积为：S^ODE="x2b=ab=8

・・•双曲线。：《一二=l（a>0b>0）

a2b2t

.•.其焦距为2c=2Va2+b2>2y[2ab=2、屏=8

当且仅当a=b=2V2取等号

C的焦距的最小值：8

故选：B.

【典例15]（2021.重庆北修区.西南大学附中高三开学考试）已知双曲线4/-片=1的左右焦点分别为

3

同，点M是双曲线右支上一点，满足初。儿园=0,点N是尸1尸2线段上一点，满足耳灯=几万月.现将△MF\F2

沿MN折成直二面角4-MN-6，若使折叠后点依，尺距离最小，则2为（）

「3一4八9

A.2B.-C.—D.—

351313

【答案】B

【分析】

由已知条件及双曲线的定义可得W"l=3,\F2M\=2,将△MF1F2沿MN折成直二面角6-MN-鸟后，过

写作耳HLMN,应用直角-:角形边角关系、余弦定理及勾股定理求耳耳最小时4的大小，进而求；I值.

【详解】

■；\FlM\-\F2M\=2a=l,|耳M『+|玛M『=|耳骂『=13,

・・・|耳闻|=3,\F2M|=2,

过耳作耳”_LMN,易知4""L面"Mg,

设ZHMF、=a,在〃/耳中有//6=3sina,M//=3coscr,

・,•在△/"巴中，ZHMF2=^-a,有HF；=MF；+MH?-2MF2MHeosZHMF?,

冗

/.HF；=4+9cos2a-\2cosacos（~-«）=4+9cos2a-6sin2<z,

22

FtF^=HF^+HF^=4+9cosa-6sin2a+9sina=13-6sin2a>7,当且仅当sin2a=1,a=工时等号成

4

立.

F.NEM3A3

"，死距离最小时,MN为角平分线,故祐=黄=5=匚7'可得行寸

故选：B

22

【典例161（2021•邵阳市第二中学高三月考）已知双曲线£-3=1（a>0力>0）的左、右焦点分别为乙,

过心且斜率为-1的直线与其左支交于点尸，若存在4（0<4<1）,使月@=2及声，匝.哥=0,且

FF•F—PPF而P『F=同I__卫.||2,则双曲线的离心率为（）

A.G+IB.也C.上D.V2+1

【答案】D

【分析】

根据向量共线和向量垂直的数量积为零，结合直线的倾斜角得到46Qg为等腰直角三角形，所以。在y轴

上，根据向量的投影的概念，结合已知向量等式节尹・令竽=|而『得到「。=|耳。|,进而判定仆P耳心

为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质和双曲线的定义得到关于&c的关系，进而求得斜率.

【详解】

存在使质=4/，说明。为线段「用上的点，延•£>=()说明耳QLFzP，即/耳。鸟为直

角，过玛且斜率为T的直线与其左支交于点P,说明NQE耳=45。，所以△耳。玛为等腰直角三角形，所

以。在y轴上,

是钛在6万上的投影，爷牛是所在班上的投影,

F述

分别是线段PQ和QP2的长度，爷茨-P%芾=|而『，

说明|PQ||Q用=|耳。『，；•俨。=|耳。|,；2月。工一△耳。尸,

.•.△PK8为等腰直角三角形，

2a=|P周一阀|=闺明一|尸制=(0-1)|*=(五-1明周=2(下一巾,

双曲线的离心率为e=£=Y—=夜+1,

aV2-1

故选：D.

双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、桶圆、抛物线、向量、三角函

数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.

(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与

系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.

(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系

构造相关数量关系求解.

眄最能行！及时巩固求提升！

2

1.(2019•北京高考真题(文))已知双曲线「―y2=i%>0)的离心率是百则2=()

a

A.V6B.4C.2D.；

【答案】D

【解析】

•.•双曲线的离心率e=g=石，c=m,

a'

a

解得。，

2

故选1).

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2.(全国高考真题(文))双曲线。:3-当=1(4>0力>())的离心率为2,焦点到渐近线的距离为G，则C

ab

的焦距等于().

A.2B.2>/2C.4D.472

【答案】C

【解析】

设双曲线的焦距为2c,双曲线的渐进线方程为解=韭色裒，由条件可知土=投,

—?=演*4&巴解得题■=［御=^^":=翦,故答案选C.

22

3.（2021•江苏高考真题）已知双曲线专■=1（〃>0力>0）的一条渐近线与直线2x-y+3=0平行，则该双

曲线的离心率是（）

A.V2B.y/3C.2D.75

【答案】D

【分析】

写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率

【详解】

双曲线的渐近线为y=±&,易知y=%与直线2x-y+3=o平行，

aa

所以2=2ne=Jl+（"）=逐,

故选：D.

4.（2021•全国高二课时练习）“0必〈3”是“方程工+工=1表示双曲线”的（）

&+1k-5

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】

根据方程W-+上=1表示双曲线求出左的范围，再根据充分性和必要性的定义即可得出结论.

k+\k-5

【详解】

k+\>022

解：-：0<k<3,：....方程/二+工=1表示双曲线;

k-5<04+1k-5

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反之，：方程工+工=1表示双曲线，.'.（hH）/-5）＜0,解得一1＜上5.

k+\k-5

故“0女＜3”是“方程上+上=1表示双曲线”的充分不必要条件.

Z+1k-5

故选：A.

5.（2021.广东佛山市.高三开学考试）已知双曲线C：炉-1=1的一个焦点为（-2,0）,则双曲线C的一条

渐近线方程为（）

A.x+-0B.\/3x+y=0

C.x+2y=0D.2x+y=0

【答案】B

【分析】

由题知“2=1,C=2,双曲线的焦点在x轴上，进而计算b,再求渐近线方程即可得答案.

【详解】

解:由题知a?=l,c=2,双曲线的焦点在x轴匕

所以b=\lc2-a2=＞/3，

所以双曲线的渐近线为丫=±6》

故选:B

6.（2021•全国高二课时练习）已知Q,B为双曲线C：/一产=1的左、右焦点，点尸在C上，ZFIPF2=

60°,则IPBHPBI等于（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】

不妨设P是双曲线右支上一点，则则伊川一|尸危|=2,|BB|=2夜，再利用余弦定理得解.

【详解】

不妨设尸是双曲线右支上一点，

在双曲线y2=l中，4=1,b=l,C=V2＞

则伊人|一|「危|=2°=2,|Fi尸2|=2板,

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V|F1F2|=|PF11+伊尸产一2|尸尸1尸冏90