新教材高中数学必修第一册3. 2 . 2 奇偶性

3.2.2奇偶性

第1课时奇偶性的概念

【学习目标11.了解函数奇偶性的定义2掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函

数图象的对称性解决简单问题.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点一函数奇偶性的几何特征

一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为登函数.

知识点二函数奇偶性的定义

1.偶函数：函数式无）的定义域为/,如果VxG/,都有一XG/,且一一X）=/U）,那么函数人尤）

就叫做偶函数.

2.奇函数：函数大尤）的定义域为/,如果VxG/,都有一xe/,且/j~x）=一/U）,那么函数兀0

就叫做奇函数.

知识点三奇（偶）函数的定义域特征

奇（偶）函数的定义域关于原点对称.

-思考辨析判断正误

1.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.（V）

2.函数兀0=/+团的图象关于原点对称.（X）

3.对于定义在R上的函数/U）,若五—1）=黄1）,则函数八尤）一定是偶函数.（X）

4.不存在既是奇函数又是偶函数的函数.（X）

题型探究探究重点素养提升

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一、函数奇偶性的判断

例1判断下列函数的奇偶性.

（1）成龙）=5

（2求无）=f（x2+2）；

（3成x尸品

（4次r）+"1T.

解(1求>)=!的定义域为(一8,0)U(0,+°°),

•・・八一入)=±=一;=-/(%),

...於)=:是奇函数.

(2加无)=/(/+2)的定义域为R

I7—x)=Xx),

.,./(x)=x2(x2+2)是偶函数.

Y

(3玳动=口的定义域为(一8，1)U(1,+co),

•••定义域不关于原点对称，

•,式》)=言•既不是奇函数，也不是偶函数.

(4求劝+#1—%2的定义域为{—1,1}.

•.避一x)=Ax)=-/U)=0,

.7Xx)=、f—1+\1—F既为奇函数,又为偶函数.

反思感悟判断函数奇偶性的方法

(1)定义法：

①定义域关于原点对称;

②确定八一X)与黄龙)的关系.

(2)图象法.

跟踪训练1判断下列函数的奇偶性.

(1次0=5;

(2阿二七

x2+x,x>0,

(3汽)=

f—x,x<0.

解(1)函数/U)的定义域为［0,+8),不关于原点对称，所以兀0=4是非奇非偶函数.

(2抽x)的定义域为［―L0)U(0,l］,关于原点对称.

2

式一方=幺y/1二—］x=一黄功，

所以/(X)为奇函数.

(3次无)的定义域为(一8,0)U(0,+8),关于原点对称,

当x>0时，-x<0,

则_X)=(—•x)2—(-X)=X2+尤=/(尤);

当x<0时，-x>Q,

则八一x)=(—x>+(—x)=f—x=«r),所以八x)是偶函数.

二、奇、偶函数图象的应用

例2定义在R上的奇函数黄x)在［0,+8)上的图象如图所示

(1)画出/U)的图象；

(2)解不等式欢x)>0.

考点函数图象的对称性

题点中心对称问题

解(1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(一1,-1),(-2,0),连线可得於)的图象如图.

(2)求尤)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，状元)>0的解集是(一2,0)U(0,2).

延伸探究

把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.

解的图象如图所示：

-3/2-1。12\3x

(2)求尤)>0的解集是(一8,-2)U(0,2).

反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点。轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等.

跟踪训练2已知奇函数五x)的定义域为［—5,5］,且在区间［0,5］上的图象如图所示.

-5-2O2\/5x

⑴画出在区间［-5,0］上的图象；

(2)写出使兀0<0的元的取值集合.

考点函数图象的对称性

题点中心对称问题

解(1)如图，在［0,5］上的图象上选取5个关键点。，A,B,C,D.

分别描出它们关于原点的对称点，A',B,C',，

再用光滑曲线连接即得.

(2)由(1)图可知，当且仅当xe(—2,0)U(2,5)时，»<0.

使犬尤)<0的x的取值集合为{x|-2a<0或2<%<5}.

三、利用函数的奇偶性求参数值

例3(1)若函数/0)=加+法+30+》是偶函数，定义域为［a—1,2a］,则。=,b=

答案10

解析因为偶函数的定义域关于原点对称，

所以a—1=—2a,解得a=；.

又函数yu)=¥+bx+b+i为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b=o.

(2)已知函数兀0=加+2%是奇函数，则实数a=.

答案0

解析由奇函数定义有1-x)+/U)=0,得故a=0.

反思感悟利用奇偶性求参数的常见类型

(1)定义域含参数：奇偶函数小)的定义域为［a,b］,根据定义域关于原点对称，利用〃+6=0

求参数.

(2)解析式含参数：根据|一x)=—於)或fl.-X)刁⑺列式，比较系数利用待定系数法求解.

跟踪训练3(1)若函数式乃二X2一|x+a|为偶函数，则实数。=.

答案0

解析方法一显然xGR,

由已知得八一x)=(-x)2—|—x~\~a\=x2—\x-a\.

又为x)为偶函数,所以x),即f-Ix+aln%2—|x—a|,

即|x+a|=|无一a\.

又xGR,所以a=0.

方法二由题意知下-D=/Q)，则I。一1|=|。+1|,解得〃=o.

(2)已知函数是奇函数，当x£(—8,0)时犹%)=f+g.若式2)=-3,则m的值为

答案I

解析•••/(—2)=一负2)=3,

，八一2)=(-2>—2机=3,

._1

..m=2-

随堂演练基础巩固学以致用

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1.下列函数是偶函数的是()

A.y^~xB.y=2p3

C.y=yfxD.y=x1,x^(—1,1]

答案B

2.函数“r)=1—x的图象关于()

A.y轴对称B.直线y=-r对称

C.坐标原点对称D.直线y=x对称

答案C

解析=：—尤是奇函数，

.\Xx)=9-X的图象关于原点对称.

3.下列图象表示的函数具有奇偶性的是()

考点函数的奇偶性概念

题点函数奇偶性概念的理解

答案B

4./U)=—+|x|()

A.是偶函数，在(一8,十8)上是增函数

B.是偶函数，在(一8,十8)上是减函数

C.不是偶函数，在(一8,十8)上是增函数

D.是偶函数，且在(0,+8)上是增函数

考点单调性与奇偶性的综合应用

题点判断函数的单调性、奇偶性

答案D

5.若已知函数兀r)=*於是定义在(一1,1)上的奇函数，且/(；)=|，则函数兀0的解析式为

答案危尸击

n\"—\-h

解析•••/(©=詈%是定义在(一1,1)上的奇函数,

aXO+Z?

.,犹0)=0,・•・/())=]+02=0,；・b=0.

即於尸器,

a

X

.*.47—1,・••函数j{x}=]+f，

■课堂小结

1.知识清单：

(1)函数奇偶性的概念.

(2)奇函数、偶函数的图象特征.

2.方法归纳：特值法、数形结合法.

3.常见误区：忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能具有奇偶性.

课时对点练注重双基强化落实

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g基础巩固

1.下列函数中奇函数的个数为()

①/(犬)=/；②A尤)=必；

领x)=x+*领x)=".

A.1B.2C.3D.4

答案C

2.已知兀0是定义在R上的奇函数，八—3)=2,则下列各点中一定在函数兀0的图象上的是

()

A.(3,-2)B.(3,2)C.(-3,~2)D.(2,-3)

答案A

解析近-3)=2即点(一3,2)在奇函数的图象上，

；.(—3,2)关于原点的对称点(3,—2)必在式》)的图象上.

3.设危)是定义在R上的一个函数，则函数RX)=/(x)—八一x)在R上一定()

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

答案A

解析F(—x)=/(—x)-fix)=—\fix)—J[—x)]=-F(x).

；.F(x)为奇函数

4.若段)=39+5元+a—1为奇函数，则。的值为()

A.0B.-1C.1D.2

答案C

解析：兀0为R上的奇函数，

.,./(0)=0得0=1.

5.如图，给出奇函数y=/(x)的局部图象，则五―2)十/(—I)的值为()

A.-2B.2

C.1D.0

答案A

解析八-2)+五-1)=一/(2)—/(I)

~『3I1—°.

6.若式x)=(x+a)(无一4)为偶函数，则实数a=.

答案4

解析/fXlur+m-4)无一4〃是偶函数，；.a=4.

7.已知y=/(尤)是奇函数，当x<0时，fixj—^+ax,且式3)=6,则。的值为

答案5

解析因为犬尤)是奇函数，

所以五一3)=一八3)=-6,

所以（-3>+a（—3）=—6,解得a=5.

8.若五x）为R上的奇函数，给出下列四个说法:

①Ax）+/（—x）=O；

颔x）-/（一犬）=贺%）；

③/⑴十一x）<0；

其中一定正确的为.（填序号）

答案①②

解析:TU）在R上为奇函数，

•77(-%)=-A尤).

•••»+fi.-x)=fi.x)-fix)=0,故①正确.

»-A-X)^fix)+»=W)-故②正确

当x=0时，/(x)次一x)=0,故③不正确.

危）

当x—Q时,分母为0,无意义，故④不正确.

/（一尤）

9.判断下列函数的奇偶性:

（1求工）={+/；

(2)fix)=\x+l\+\x-l\；

2A2+2尤

(3W)=x+1'

考点函数的奇偶性判定与证明

题点判断简单函数的奇偶性

解（1）函数的定义域为R.：_A—x）=（—X）3+（一尤）5=—（r+必）=一而）../x）是奇函数.

（2W）的定义域是R.：大一元）=|—x+11+1—无-11=lx-11+|x+11=Kx）,是偶函数.

（3）函数/（x）的定义域是（一8,-1）U（-1,+8）,不关于原点对称，.,/X）是非奇非偶函数.

10.（1）如图①，给出奇函数>=黄劝的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出五3）的值.

（2）如图②，给出偶函数>=兀0的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较八1）与共3）的大小.

解（1）由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象.易知人3）=—2.

(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知犬1)43).

g综合运用

11.下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上单调递增的函数是()

A.y—x3B.y=|x|+l

C.y=T+lD.y=~~

答案B

解析对于函数y=|x|+l,八一x)=|—x|+l=|x|+l=/(x),

所以y=|x|+l是偶函数，当x>0时，y=x+l,

所以在(0,+8)上单调递增.

另外，函数y=V不是偶函数，y=—x?+l在(0,+8)上单调递减，：不是偶函数.故

选B.

12.设函数黄x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()

A.人龙)+庶(尤)|是偶函数

B.1x)一|g(x)|是奇函数

C.|Kx)|+g(x)是偶函数

D.班尤)|一g(©是奇函数

考点函数的奇偶性判定与证明

题点判断抽象函数的奇偶性

答案A

解析由/(X)是偶函数，可得八—x)=/(x),

由g(元)是奇函数可得g(—X)=—g(x),

故1g(尤)1为偶函数,

•'-fix)+|g(x)|为偶函数.

13.函数兀0=舂W的定义域为________,为______函数(填“奇”或“偶”).

乙I乙I

答案［-2,0)U(0,2］奇

解析依题意有

.21|尤+2|W0,

解得一2W尤W2且xWO,

的定义域为[―2,0)U(0,2].

..•/)=出2=亚三一甲，定义域关于原点对称，

八2一优十2|—Xx

-\l4-x2

为奇函数.

14.函数/U)=aR+b尤+£+5满足人-3)=2,则犬3)的值为

答案8

解析设