高中数学选择性第4章4.1.4相关系数与向量夹角练习

4.1.4相关系数与向量夹角一．选择题（共10小题）1．给出下列说法：①用相关指数来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好；②两个模型中残差平方和越小的模型的拟合效果越好；③在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好；④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1．则正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．在下列所示的四个图中，两个变量间具有较强线性相关关系的是（）A． B． C． D．3．已知变量X和变量Y的线性相关系数为r1，变量U和变量V的线性相关系数为r2，且r1＝0.785，r2＝﹣0.983，则（）A．X和Y之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度 B．X和Y之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度 C．U和V之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度 D．U和V之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度4．如图，在一组样本数据A（2，2），B（4，3），C（6，4），D（8，7），E（10，6）的散点图中，若去掉D（8，7）后，则下列说法正确的为（）A．样本相关系数r变小 B．残差平方和变大 C．相关指数R2变小 D．自变量x与因变量y的相关程度变强5．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫（）A．函数关系 B．线性关系 C．相关关系 D．回归关系6．下列说法正确的是（）A．相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义 B．独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义 C．相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能是错误的 D．独立性检验如果得出的结论有99%的可信度就意味着这个结论一定是正确的7．下列命题中正确的为（）①散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系；②经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关性越弱；④同一组样本数据中，决定系数R2越大的模型拟合效果越好A．①② B．②④ C．①④ D．③④8．对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（）A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关9．如图给出的是两个变量之间的散点图，则两个变量之间没有相关关系的可能是（）A．① B．② C．③ D．④10．如图所示的两个变量具有相关关系的序号是（）A．②③ B．①④ C．①②③ D．③二．填空题（共5小题）11．有下列关系：①苹果的产量与气候之间的关系；②学生与他（她）的学号之间的关系；③森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；④曲线上的点与该点的坐标之间的关系．其中有相关关系的是．（填上你认为正确的所有序号）12．某学科考试共有100道单项选择题，有甲、乙两种计分法．某学生有a道题答对，b道题答错，c道题未作答，则甲计分法的得分为X＝a﹣，乙计分法的得分为Y＝a+．某班50名学生参加了这科考试，现有如下结论：①同一学生的X分数不可能大于Y分数；②任意两个学生X分数之差的绝对值不可能大于Y分数之差的绝对值；③用X分数将全班排名次的结果与用Y分数将全班排名次的结果是完全相同的；④X分数与Y分数是正相关的．其中正确的有．（写出所有正确结论的序号）13．如果两个变量的散点图由左下角到右上角则这两个变量成相关．14．利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下列说法正确的是：①相关系数r满足|r|≤1，而且|r|越接近1，变量间的相关程度越大，|r|越接近0，变量间的相关程度越小；②可以用R2来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，R2越小，模型的拟合效果越好；③如果残差点比较均匀地落在含有x轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样的带状区域越窄，回归方程的预报精度越高；④不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．15．有下列关系：（1）名师出高徒；（2）球的体积与该球的半径之间的关系；（3）苹果的产量与气候之间的关系；（4）乌鸦叫，没好兆；（5）森林中的同一种树，其断面直径与高度之间的关系；（6）学生与他（她）的学号之间的关系．其中，具有相关关系的是．三．解答题（共3小题）16．判断下列各组函数是否为线性无关？并说明理由．（1）x，x2+x；（2）eax，ebx（a＝b+1）；（3）ln（﹣1），ln（+1）；（4）cos2x，cos2x．17．对于下面的6个散点图，分别判断其中的两个变量之间是否具有相关关系，如果具有相关关系，试估计相关关系的强弱程度．18．下面表示某地区空气中灰尘微粒指标与有杂质指标之间关系的散点图．（1）对应的线性相关系数是正还是负？（2）如果这组数据的相关系数为r1，在（200，450）之间的样本组成的数据组对应的相关系数为r2，在（500，1000）之间的样本组成的数据组对应的相关系数为r3，试比较r1，r2，r3之间的大小关系（只要写出结论）．

4.1.4相关系数与向量夹角参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．给出下列说法：①用相关指数来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好；②两个模型中残差平方和越小的模型的拟合效果越好；③在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好；④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1．则正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】变量间的相关关系．【答案】C【分析】理解变量之间的相关关系，即可判断．【解答】解：相关指数R2越小说明拟合效果越差，故①错误；两个模型中残差平方和越小的模型的拟合效果越好，故②正确；在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故③正确；两个随机变量线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，故④正确．故选：C．2．在下列所示的四个图中，两个变量间具有较强线性相关关系的是（）A． B． C． D．【考点】变量间的相关关系；散点图．【答案】B【分析】由散点图可得答案．【解答】解：对于A，散点落在某条曲线上，两个变量具有函数关系；对于B，散点落在某条直线附近，这两个变量具有线性相关关系；对于C，散点落在某条曲线附近，这两个变量具有非线性相关关系；对于D，散点杂乱无章，无规律可言，这两个变量无相关性，不具有相关关系．故选：B．3．已知变量X和变量Y的线性相关系数为r1，变量U和变量V的线性相关系数为r2，且r1＝0.785，r2＝﹣0.983，则（）A．X和Y之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度 B．X和Y之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度 C．U和V之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度 D．U和V之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度【考点】变量间的相关关系；相关系数．【答案】C【分析】由相关系数的定义依次对四个选项判断即可．【解答】解：∵r1＝0.785＞0，r2＝﹣0.983＜0，∴X和Y之间呈正线性相关关系，U和V之间呈负线性相关关系，|r2|＞|r1|，∴X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度，故选：C．4．如图，在一组样本数据A（2，2），B（4，3），C（6，4），D（8，7），E（10，6）的散点图中，若去掉D（8，7）后，则下列说法正确的为（）A．样本相关系数r变小 B．残差平方和变大 C．相关指数R2变小 D．自变量x与因变量y的相关程度变强【考点】变量间的相关关系；散点图．【答案】D【分析】由散点图知，去掉D（8，7）后，y与x的线性相关加强，由相关系数r，相关指数R及残差平方和与相关性的关系得出选项．【解答】解：由散点图知，去掉D（8，7）后，y与x的线性相关加强，且为正相关，所以r变大，R变大，残差平方和变小．故选：D．5．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫（）A．函数关系 B．线性关系 C．相关关系 D．回归关系【考点】变量间的相关关系．【答案】C【分析】根据相关变量的意义知：当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系是相关关系．【解答】解：对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫相关关系，故选：C．6．下列说法正确的是（）A．相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义 B．独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义 C．相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能是错误的 D．独立性检验如果得出的结论有99%的可信度就意味着这个结论一定是正确的【考点】变量间的相关关系；相关系数．【答案】C【分析】根据题意，依次分析选项的正确与否，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、回归分析是对相关关系的分析，有其统计意义，A错误；对于B、独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验，B错误；对于C、相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，可能有错误，C正确；对于D、独立性检验依据的是小概率原理，不能100%确定两个变量之间是否具有某种关系，D错误；故选：C．7．下列命题中正确的为（）①散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系；②经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关性越弱；④同一组样本数据中，决定系数R2越大的模型拟合效果越好A．①② B．②④ C．①④ D．③④【考点】变量间的相关关系；散点图．【答案】C【分析】根据变量间的相关系数，一一判断即可．【解答】解：对于①，散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系，故正确；对于②，回归直线也可能不过任何一个点，故错误；对于③，线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关性越强，故错误；对于④，同一组样本数据中，决定系数R2越大的模型拟合效果越好，故正确．故选：C．8．对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（）A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关【考点】变量间的相关关系．【答案】C【分析】通过观察散点图得出：y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．【解答】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选：C．9．如图给出的是两个变量之间的散点图，则两个变量之间没有相关关系的可能是（）A．① B．② C．③ D．④【考点】变量间的相关关系；散点图．【答案】C【分析】根据已知条件，结合散点图的分布，即可求解．【解答】解：③图中点散乱的分布在坐标平面内，不能拟合成某条曲线或直线，故两个变量之间没有相关关系．故选：C．10．如图所示的两个变量具有相关关系的序号是（）A．②③ B．①④ C．①②③ D．③【考点】变量间的相关关系；散点图．【答案】A【分析】观察散点图是否成带状分布即可判断两个变量是否具有相关关系．【解答】解：观察散点图知②③中的图呈带状分布，故选：A．二．填空题（共5小题）11．有下列关系：①苹果的产量与气候之间的关系；②学生与他（她）的学号之间的关系；③森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；④曲线上的点与该点的坐标之间的关系．其中有相关关系的是①③．（填上你认为正确的所有序号）【考点】变量间的相关关系．【答案】见试题解答内容【分析】根据相关关系是一种不确定的关系，是两个变量之间确实存在的关系，由此判断即可．【解答】解：对于①，苹果的产量与气候之间确实存在一定的关系，是不确定的关系，属于相关关系；对于②，学生与他（她）的学号之间的关系是一种确定的对应关系，是映射，不是相关关系；对于③，森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系是一种不确定的关系，属于相关关系；对于④，曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应关系，不是相关关系．综上，其中有相关关系的是①③．故答案为：①③．12．某学科考试共有100道单项选择题，有甲、乙两种计分法．某学生有a道题答对，b道题答错，c道题未作答，则甲计分法的得分为X＝a﹣，乙计分法的得分为Y＝a+．某班50名学生参加了这科考试，现有如下结论：①同一学生的X分数不可能大于Y分数；②任意两个学生X分数之差的绝对值不可能大于Y分数之差的绝对值；③用X分数将全班排名次的结果与用Y分数将全班排名次的结果是完全相同的；④X分数与Y分数是正相关的．其中正确的有①③④．（写出所有正确结论的序号）【考点】变量间的相关关系．【答案】见试题解答内容【分析】①考查X﹣Y的值即可判断是否正确；②考查|△X|﹣|△Y|受哪些量的影响即可得出结论；③说明X与Y两个变量正相关，因此全班排名顺序不变；④X、Y的值都随着a的增大而增大，是正相关关系．【解答】解：根据题意，a+b+c＝100，且a、b、c∈N；又X＝a﹣，Y＝a+，∴X﹣Y＝（a﹣）﹣（a+）＝﹣（+）≤0，∴同一学生的X分数不可能大于Y分数，①正确；又|△X|﹣|△Y|＝|（a1﹣）﹣（a2﹣）|﹣|（a1+）﹣（a2+）|＝|（a1﹣a2）+（b2﹣b1）|﹣|（a1﹣a2）+（c1﹣c2）|，且（b2﹣b1）与（c1﹣c2）的大小不确定，∴②错误；又∵X＝a﹣b，Y＝a+，∴Y＝a+＝a+＝a﹣b+20＝（a﹣b）+20＝X+20∴X与Y正相关，因此全班按X或Y的值排列，名次不变，∴③正确；又X＝a﹣b，Y＝a+，随着a的增大，X、Y也增大，∴X、Y是正相关关系，④正确；综上，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．13．如果两个变量的散点图由左下角到右上角则这两个变量成正相关．【考点】变量间的相关关系．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用线性相关的定义，写出结果即可．【解答】解：有线性相关的定义可知：两个变量的散点图由左下角到右上角则这两个变量成正相关．故答案为：正．14．利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下列说法正确的是：①③④①相关系数r满足|r|≤1，而且|r|越接近1，变量间的相关程度越大，|r|越接近0，变量间的相关程度越小；②可以用R2来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，R2越小，模型的拟合效果越好；③如果残差点比较均匀地落在含有x轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样的带状区域越窄，回归方程的预报精度越高；④不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．【考点】变量间的相关关系．【答案】见试题解答内容【分析】利用由r、R2、残差图的意义以及利用回归方程进行预报的特点进行分析．【解答】解：相关系数r是用来衡量两个变量之间线性相关关系的方法，当r＝0时，表示两变量间无线性相关关系，当0＜|r|＜1时，表示两变量存在一定程度的线性相关．且|r|越接近1，两变量间线性关系越大．故①正确；由R2计算公式可知，R2越小，说明残差平方和越大，则模型拟合效果越差．故②错误；由残差图的定义可③正确；在利用样本数据得到回归方程的过程中，不可避免的会产生各种误差，因此用回归方程得到的预报值只能是实际值的近似值．故④正确．故答案为：①③④15．有下列关系：（1）名师出高徒；（2）球的体积与该球的半径之间的关系；（3）苹果的产量与气候之间的关系；（4）乌鸦叫，没好兆；（5）森林中的同一种树，其断面直径与高度之间的关系；（6）学生与他（她）的学号之间的关系．其中，具有相关关系的是（1）（3）（5）．【考点】变量间的相关关系．【答案】见试题解答内容【分析】根据相关关系的定义分别进行判断即可得到结论．【解答】解：（1）徒弟的水平在一定程度上与老师的水平有一点的关系，∴（1）具有相关关系．（2）球的体积与该球的半径之间是函数关系，不是相关关系；（3）苹果的产量受到气候的影响，是相关关系；（4）乌鸦叫与有没有好兆，没有必然的连续，故不是相关关系；（5）森林中的同一种树，其断面直径与高度之间存在一定的关系，故是相关关系；（6）学生与他（她）的学号之间是确定的，可以看作是函数关系，不是相关关系．故答案为：（1）（3）（5）三．解答题（共3小题）16．判断下列各组函数是否为线性无关？并说明理由．（1）x，x2+x；（2）eax，ebx（a＝b+1）；（3）ln（﹣1），ln（+1）；（4）cos2x，cos2x．【考点】变量间的相关关系；函数解析式的求解及常用方法．【答案】全为线性无关．【分析】对于两个函数构成的函数组，如果两函数的