第四节 数系的扩充与复数的引入课时作业 高三数学一轮复习

高考数学一轮复习-第五章-第四节数系的扩充与复数的引入-课时作业(原卷版）[A组基础保分练]1.（2024·河南安阳）已知（1＋2i）（a＋i）的实部与虚部互为相反数，则实数a＝（）A.13B.－13C.122.（2024·海南海口）若复数z＝a2－4＋（a－2）i为纯虚数，则实数a的值为（）A.2B.2或－2C.－2D.－43.（2024·河北衡水）若（i－1）（z－2i）＝2＋i，则z＝（）A.－12＋12iB.－12C.12＋12iD.－324.（2024·黑龙江哈尔滨）已知复数z＝1+i1－i，则z－zA.1＋iB.1C.1－iD.i5.已知复数z满足3z＋i＝1－4iz，则｜z｜＝（）A.2B.4225C.256.（2024·四川宜宾）已知复数z＝3＋4i，且z＋az＋bi＝9，其中a，b是实数，则（）A.a＝－2，b＝3B.a＝2，b＝4C.a＝1，b＝2D.a＝2，b＝－47.（多选）（2024·河南安阳）若复数z＝3－5i1－A.z＝17B.z的实部与虚部之差为3C.z＝4＋iD.z在复平面内对应的点位于第四象限8.（多选）下面是关于复数z＝2－1+i的四个命题，其中真命题的是（A.｜z｜＝2B.z2＝2iC.z的共轭复数为1＋iD.z的虚部为－19.欧拉公式eix＝cosx＋isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面上位于第象限.10.设i是虚数单位，复数z＝a－i2i的模为1，则正数11.已知复数z满足（1＋i）2z＝4－2i7（i为虚数单位），则｜z｜的值为.12.（2024·陕西西安）在复平面内，已知复数z满足｜z｜＝1，i为虚数单位，则｜z－3－4i｜的最大值为.[B组能力提升练]13.设z＝1＋i（i是虚数单位），则z2－2z＝（A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i14.（2024·辽宁沈阳）设i是虚数单位，若复数a－174－i（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为A.－4B.－1C.4D.115.设i是虚数单位，若复数a＋5i1+2i（a∈R）是纯虚数，则aA.－1B.1C.－2D.216.（多选）已知复数z＝1+i1－iA.z2023是纯虚数B.｜z＋i｜＝2C.z的共轭复数为－iD.复数z＋z·i在复平面内对应的点在第二象限17.（多选）若复数z满足z（1－2i）＝10，则下列说法正确的是（）A.｜z｜＝25B.z－2是纯虚数C.复数z在复平面内对应的点在第三象限D.若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα＝518.（2024·上海）复数z满足z+4－3i＝2（i为虚数单位），则z19.（2024·辽宁铁岭）设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝3＋i，则｜z1－z2｜＝.20.（2024·上海）已知复数z满足z－2＝z＝2，则z3＝2025年高考数学一轮复习-第五章-第四节数系的扩充与复数的引入-课时作业(解析版）[A组基础保分练]1.（2024·河南安阳）已知（1＋2i）（a＋i）的实部与虚部互为相反数，则实数a＝（）A.13B.－13C.12答案：A解析：由于（1＋2i）（a＋i）＝a－2＋（1＋2a）i，（1＋2i）（a＋i）的实部与虚部互为相反数，故a－2＋（1＋2a）＝0，∴a＝132.（2024·海南海口）若复数z＝a2－4＋（a－2）i为纯虚数，则实数a的值为（）A.2B.2或－2C.－2D.－4答案：C解析：因为复数z＝a2－4＋（a－2）i为纯虚数，则有a2－4=0，a所以实数a的值为－2.3.（2024·河北衡水）若（i－1）（z－2i）＝2＋i，则z＝（）A.－12＋12iB.－12C.12＋12iD.－32答案：B解析：由已知得z＝－2+i1－i＋2i＝－（2+i)(1+i）2＋2i故z＝－12－14.（2024·黑龙江哈尔滨）已知复数z＝1+i1－i，则z－zA.1＋iB.1C.1－iD.i答案：A解析：由题意得，z＝（1+i)(1+i）（1－i)(1+i）＝2i2所以｜z｜－z＝1＋i.5.已知复数z满足3z＋i＝1－4iz，则｜z｜＝（）A.2B.4225C.25答案：C解析：法一：由3z＋i＝1－4iz得z＝1－i3+4i＝－1－7法二：由3z＋i＝1－4iz得（3＋4i）z＝1－i，所以5｜z｜＝2，即｜z｜＝256.（2024·四川宜宾）已知复数z＝3＋4i，且z＋az＋bi＝9，其中a，b是实数，则（）A.a＝－2，b＝3B.a＝2，b＝4C.a＝1，b＝2D.a＝2，b＝－4答案：B解析：因为z＝3＋4i，所以z＝3－4i，则由z＋az＋bi＝9得3＋4i＋a（3－4i）＋bi＝9，即（3＋3a）＋（4＋b－4a）i＝9，故4+b－7.（多选）（2024·河南安阳）若复数z＝3－5i1－A.z＝17B.z的实部与虚部之差为3C.z＝4＋iD.z在复平面内对应的点位于第四象限答案：ACD解析：∵z＝3－5i1－i＝∴z的实部为4，虚部为－1，z＝42＋(−1）2＝17，A正确；z的实部与虚部之差为5，B错误；z＝4＋i，C正确；z在复平面内对应的点为（4，8.（多选）下面是关于复数z＝2－1+i的四个命题，其中真命题的是（A.｜z｜＝2B.z2＝2iC.z的共轭复数为1＋iD.z的虚部为－1答案：BD解析：∵z＝2－1+i＝2(−1－∴｜z｜＝2，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1.9.欧拉公式eix＝cosx＋isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面上位于第象限.答案：二解析：由题得e2i＝cos2＋isin2.∵2∈π2∴cos2∈（－1，0），sin2∈（0，1），∴e2i表示的复数在复平面上位于第二象限.10.设i是虚数单位，复数z＝a－i2i的模为1，则正数答案：3解析：由题意得z＝a－i2i＝－12－a2i.因为复数z的模为1，所以14＋a24＝1，解得a＝±3.11.已知复数z满足（1＋i）2z＝4－2i7（i为虚数单位），则｜z｜的值为.答案：5解析：因为（1＋i）2＝2i，i7＝（i2）3·i＝－i，所以z＝4+2i2i＝1－2i，故｜z｜＝｜1－2i｜12.（2024·陕西西安）在复平面内，已知复数z满足｜z｜＝1，i为虚数单位，则｜z－3－4i｜的最大值为.答案：6解析：令z＝x＋yi且x，y∈R，则x2＋y2＝1，即复数z的对应点在以原点为圆心，半径为1的圆上，而｜z－3－4i｜＝（x－3）2＋（y－4）2，即点所以｜z－3－4i｜的最大值为（0－3）[B组能力提升练]13.设z＝1＋i（i是虚数单位），则z2－2z＝（A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i答案：C14.（2024·辽宁沈阳）设i是虚数单位，若复数a－174－i（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为A.－4B.－1C.4D.1答案：C15.设i是虚数单位，若复数a＋5i1+2i（a∈R）是纯虚数，则aA.－1B.1C.－2D.2答案：C16.（多选）已知复数z＝1+i1－iA.z2023是纯虚数B.｜z＋i｜＝2C.z的共轭复数为－iD.复数z＋z·i在复平面内对应的点在第二象限答案：ABC解析：由题意知，z＝1+i1－i＝（1+i）2（1－i)(1+i）＝i，所以z2023＝i2023＝－i，A正确；｜z＋i｜＝｜2i｜＝2，B正确；z的共轭复数为－i，C正确；z＋z·i＝－i＋i·i＝－17.（多选）若复数z满足z（1－2i）＝10，则下列说法正确的是（）A.｜z｜＝25B.z－2是纯虚数C.复数z在复平面内对应的点在第三象限D.若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα＝5答案：AB解析：∵z1－2i＝10，∴z＝101+2i1－2i1+2i＝2＋4i，对于A，z＝22＋42＝25，故A正确；对于B，z－2＝2＋4i－2＝4i是纯虚数，故B正确；对于C，复数z在复平面内对应的点为（2，4），在第一象限，故C错误；对于D，∵18.（2024·上海）复数z满足z+4－3i＝2（i为虚数单位），则z答案：7解析：令z＝x＋yi且x，y∈R，又z+4－3i所以（x+4）2＋（y－3）2＝2，即（x＋4）所以复数z对应点在以（－4，3）为圆心，半径为2的圆上.又z＝x2＋y所以z的最大值为5＋2＝7.19.（2024·辽宁铁岭）设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝3＋i，则｜z1－z2｜＝.答案：23解析：法一：设z1＝a＋bi，（a∈R，b∈R），z2＝c＋di，（c∈R，d∈R），∴z1＋z2＝a＋c＋（b＋d）i＝3＋i，∴a＋c＝3，b＋d=1，又｜z所以a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，∴（a＋c）2＋（b＋d）2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2（ac＋bd）＝4，∴ac＋bd＝－2，∴z1－＝（a－＝8+4＝23.法二：如图所示，设复数z1，z2所对应的点为Z1，Z2，OP＝OZ1＋OZ由已知OP＝3+1＝2＝OZ1＝OZ∴平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，∴∠Z1OZ2＝120°，｜Z1Z2｜2＝｜OZ1｜2＋｜OZ2｜2－2｜OZ1｜｜OZ2｜cos120°＝22＋22∴z1－z2＝Z20.（2