新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：第7章三角函数

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第7章三角函数

7.1角与弧度

7.1.1任意角

1.了解任意角的概念和弧度制

2.能进行弧度与角度的互化

3.体会引人弧度制的必要性

馋基础认知•自主学习处

概念认知

1.任意角

类型定义图示

一条射线绕其端点，按逆时针方

正角

向旋转形成的角---------------A

一条射线绕其端点，按顺时针方

负角

向旋转形成的角

零角T射线没有做画旋转0A

2.象限角

角的顶点为坐标原点，角的始边为X轴正半轴，建立平面直角坐标系，

这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如

果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.

3.终边相同的角

⑴定义：所有与角a终边相同的角，连同角a在内.

（2）表示：集合S=出IB=a+k-360°,k£Z}.

⑶本质：表示成角a与整数个噩的和.

自我小测

1.在下列说法中，正确的是（）

①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；

②钝角一定大于锐角；

③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；

④-2000。是第二象限角.

A.①②B.③④

C.①③D.②④

选D.①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°,因而转过的

角为-60°,所以①不正确.

②钝角a的取值范围为90°<a<180°，锐角9的取值范围为0°<9<90°,

因此钝角一定大于锐角，所以②正确.

③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°,所以③不正确.

④-2000°=-6x360°+160。与160。终边相同,是第二象限角,所以

④正确.

2.与-30。角终边相同的角是（）

A.30°B.330°

C.-330°D.150°

选B.与-30。角终边相同的角连同-30。在内，可表示为-30。+

k-360°（kez）,令k=1得，选项B正确.

3.与-457。角终边相同的角的集合是（）

A.{a|a=k-360°+457°,kez}

B.{a|a=k-360°+97°,kGZ}

C.{a|a=k-360°+263°,keZ}

D.{a|a=k-360°-263°,kez}

选c.-457°=-2x360。+263°,所以与-457。角终边相同的角的集合

>{a|a=k-360°+263°,keZ}.

4.若a是第一象限角，则J是（）

A.第一象限角B.第一、四象限角

C.第二象限角D.第二、四象限角

选D.因为a是第一象限角，

所以上360。<。<上360。+90。，1<£2,

所以k-180。＜k-180°+90°,kez,所以是第一、三象限角，

又因为-f与T的终边关于x轴对称，所以-T是第二、四象限角.

5.下面与-850。12,终边相同的角的是_______.

①230012，②229。48，③129°48，④130012，

与-850。12,终边相同的角可表示为a=-850°12,+k-360°（kez）,当

k=3时，a=-850。12'+1080°=229。48"其他都不是.

答案：②

6.在0。~360。范围内，与-950。12角终边相同的角为,它

是第象限角.

-950°12'=129°48'-3x360°,所以在0°~360°范围内,与-950。12'

终边相同的角是129。48,，所以它是第二象限角.

答案：129。4十二

7.如图所示.

⑴写出终边落在射线OA,OB上的角的集合.

⑵写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.

【思路导引】（1）根据题目给出的角度分别写出OA,OB表示的角.

⑵根据阴影部分写出不等式，注意两个角的先后顺序.

6终边落在射线0人上的角的集合是{(1|01=上360。+210。，kez}.

终边落在射线08上的角的集合是{(1|(1=1<.360。+300。，1<£2}.

⑵终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{a|k-360。+

210°<a<k-360°+300°,kez}.

区学情诊断•课时测评④

基础全面练

一、选择题

1,下列各组角中，终边相同的角是()

A.-145°,585°B.45°,585°

C.225°,585°D.315°,585°

选C.-145°-585°=-7300=-360°x2-10°,故A5街吴；

45°-585°=-540°=-360°-180。，故B错误；

225°-585°=-360°,故C正确；

315°-585°=-270°,故D错误.

2.将-885。化为(/+如360。(0。女<360。，k£Z)的形式是()

A.-165°+(-2)x360°

B.195°+(-3)x360°

C.195°+(-2)x360°

D.165°+(-3)x360°

选B.-885。=195°+(-3)x360。，

0°<195°<360°.

3.若a是第四象限角，则180°-a是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

选C.可以给a赋一特殊值-60°,

则180°-a=240°,故180°-a是第三象限角.

4.2021。是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

选C.2021。=5x360。+221。，且180°<221°<2700,所以2021°是第三

象限角.

5.与-463。角终边相同的角可表示为()

A.k-360°+463°(kez)

B.k-360°+103°(keZ)

C.k-360°+257°(keZ)

D.k-360°-257°(keZ)

选C.因为-463°=257°+(-2)x360°,

所以与-463。角终边相同的角可表示为k-360°+257°(kez).

6.^^{a|k-180o+45°<a<k-180o+90°,kez}^,a所表示的范

围（如图阴影部分）正确的是（）

选C.令k=0得，45°<a<90°,排除B、D,

令k=-1得，-1350<a<-90°,排除A.

7.（多选）下列与412。角的终边相同的角是（）

A.52°B.778°C.-308°D.11320

选ACD.因为412。=360。+52。，所以与412。角的终边相同的角为0

=kx360O+52°,k^Z.^k=-1时邛=-308°;当卜=0时邛=52。；

当k=2时邛=772°;当k=3时，0=1132。；当k=4时邛=1492°.

8.（多选）在下列四个角中，属于第二象限角的是（）

A.160°B.480°

C.-960°D.1530°

选ABC.A中，160。是第二象限角；

B中,480°=120°+360。是第二象限角；

C中，-960°=-3x360°+120。是第二象限角；

D中，1530。=4x360。+90。不是第二象限角.

【误区警示】判断角所在的象限时，先在0°~360。内找到与已知角终

边相同的角，判断这个角所在的象限，即原角所在的象限.

二、填空题

9.与2019。角的终边相同的最小正角是_________绝对值最小的角

________•

与2019。角的终边相同的角为2019°+k-360°(kez).

当卜=-5时，219。为最小正角；

当k=-6时，-141。为绝对值最小的角.

答案：219°-141°

10.已知角a的终边与-100。角的终边关于y轴对称，则a的取值集

合为.

如图，

-80。角与-100。角的终边关于y轴对称，因此a的取值集合为{a|a

=k-3600-80°,kez}.

答案：{a|a=k-360°-80°,kez}

三、解答题

11.在［0,4幻内找出与看角终边相同的角.

27r27r27r

因为售与角度2kH+y(k£Z)的终边相同，故令0空兀+弟＜4TT,

1Qi

解得k$[5]，又kez,故可得k=0或1.故与角度年终边相

同的角为2兀+胡.

12.写出终边在如图所示直线上的角的集合.

⑴在0。~360。范围内，终边在x轴上的角有两个，即0。和180。，

因此所有与0°角的终边相同的角构成集合

Si={P|p=0°+k-360°,kez),

而所有与180°角的终边相同的角构成集合

S2={P|P=180°+k-360°,k£Z}.

于是，终边落在x轴上的角的集合

S=S1US2={PIP=11-180°,nez}.

⑵在0。~360。范围内，终边在直线y=-x上的角有两个，即135°

和315°.

因此,终边在直线y=-x上的角的集合S={PIP=135°+k.360°,

kez}U{p|p=315°+k-360°,kez}={p|p=135°+n-180°,n£Z}.

综合突破练

一、选择题

1.在0°到360。范围内,与角-120。终边相同的角是（）

A.120°B.60°C.180°D.240°

选D.因为与-120。终边相同角的集合为｛a|a=-120°+k-360°,

k£Z）.

取k=1,可得在0。到360。范围内，与角-120。终边相同的角是240°.

2.|终边在第三象限，则9的终边可能在（）

A.第一、三象限

B.第二、四象限

C.第一、二象限或y轴非负半轴上

D.第三、四象限或y轴非正半轴上

选C.因为|终边在第三象限，

g

所以180°+k-3600<2<270°+k-360°,k^Z,

所以3600+2k-3600<9<540°+2k-360°,k£Z.

（2k+l）-3600<9<180°+（2k+1）-360°,keZ.

所以9的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴上.

3.集合M=｛a[a=k.90。，k£Z｝中,各角的终边都在（）

A.x轴正半轴上

B.y轴正半轴上

c.x轴或y轴上

D.x轴正半轴或y轴正半轴上

选C.令k=1,2,3,4,终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴上,

y轴负半轴上，x轴正半轴上，又k£Z.

二、填空题

4.（多选）如果角a的终边在第三象限，那么段的终边可能在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

选ACD.因为a为第三象限角，

所以k-360°+180°<a<k-360°+270°,kez,

a

所以忆120。+60。<,<k-120°+90°,kGZ.

分别取k=0,1,2,3,...,可得与的终边分别在第一、第三、第四、

第一、…象限，均不过第二象限；

取k=-1,-2,-3,…时，!的终边分别在第四、第三、第一、…

象限，均不过第二象限.

5.已知角a,p的终边关于直线y=-x对称，且a=-60°,贝（JP=

【解题指南】结合图象，找出一个角后表示.

-60。角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45。+15。=

-30°;所以P=-30°+k-360°,kez.

答案：-30°+k-360°,kez

6.若角a的终边在y轴的负半轴上，则角a-150。的终边在第

象限.

因为角a的终边在y轴的负半轴上，所以a=k-360°+270°(keZ),

所以角a-150。=k-360。+270。-150°=k-3600+120°(kez),

所以a-150。的终边在第二象限.

答案：二

7.如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,

0)出发，以逆时针方向匀速沿单位圆周旋转，已知P点在1s内转过

的角度为9(0°<0<180°)，经过2s到达第三象限，经过14s后又回到

了出发点A处，则。=.

【解题指南】因为2s到达第三象限，

k-360°+180°<29<k-360°+270°(keZ),

又因为经过14s后又回到了出发点，

所以149=n-360°(neZ).

因为0°<0<180°,fik-3600+180°<20<k-360o+270°,keZ,

则一定有k=0,于是90°<9<135°.

又因为140=n-360°(neZ),

bi”八fn-180^1

所以e二「一J。，

“hfn-180^

从而90。<「万一J。<135。，

所以T<n<,，所以n=4或5.

当n=4时，0=沫)。；

当n=5时，。=(峭。.

答案:苧同明。

8.射线OA绕端点O