2017-2021年北京初二（上）期中数学试卷汇编：整式

1/12017-2021北京初二（上）期中数学汇编整式一、单选题1．（2020·北京·北师大二附中海淀学校八年级期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（）A．（12）n•75° B．（12）n﹣C．（12）n﹣1•75° D．（12）2．（2019·北京·人大附中八年级期中）二次三项式2x2﹣3x﹣1的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（）A．2，﹣3，﹣1 B．2，3，1 C．2，3，﹣1 D．2，﹣3，13．（2020·北京市第四十三中学八年级期中）图①是一块边长为1，周长记为p1的正三角形（三边相等的三角形）纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的12）后，得图③，④，记第n（n≥3）块纸板的周长为PnA．14n-1 B．14n二、填空题4．（2020·北京市第六十六中学八年级期中）多项式9a2x5．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，⋅⋅⋅在射线ON上，点B1，B2，B3，⋅⋅⋅在射线OM上，△A1B1A2，△A6．（2021·北京市平谷区峪口中学八年级期中）观察以下等式：第1个等式：21第2个等式：23第3个等式：25第4个等式：27第5个等式：29⋯按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：___；（2）写出你猜想的第n个等式：___（用含n的等式表示）．7．（2020·北京·大峪中学八年级期中）当x分别取2017、2016、2015、⋯3、2、1时，计算分式1x28．（2021·北京市第五十七中学八年级期中）（1）如图1所示，∠A+∠B（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F；图2称为二环四边形，它的内角和为∠A+∠9．（2020·北京·101中学八年级期中）我们把正n边形（n>3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3=12，图2、图3分别是正五边形、正六边形的（1）已知a3=12，a4=20，a5=30（2）已知1a3=13-14，1a410．（2020·北京市昌平区亭自庄学校八年级期中）下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行从左向右数第3个数是_____，第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是_______11．（2019·北京市昌平区马池口中学八年级期中）观察下列各式：1+13=213，2+14=314，3+12．（2019·北京·人大附中八年级期中）请写出一个只含字母x、y，系数为3，次数为4的单项式：_______________.13．（2018·北京市第一五九中学八年级期中）观察下列等式：第1个等式：a1=31×2×22=1第2个等式：a2=42×3×23=1第3个等式：a3=53×4×24=1第4个等式：a4=64×5×25=1按上述规律，回答以下问题：（1）用含n的代数式表示第n个等式：an=_____=_____；（2）式子a1+a2+a3+…+a20=_____．14．（2019·北京市昌平区十三陵中学八年级期中）用边长为1cm的小正方形搭如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是_______cm（用含n的代数式表示）．三、解答题15．（2021·北京四中八年级期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对(a+b)n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：例如，在三角形中第二行的三个数1，2（1）根据表中规律，写出(a（2）写出(a+b)1216．（2021·北京四中八年级期中）小明同学研究如下问题：从1,2,3，…，n(n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a1<a他采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．他进行了如下几个探究：探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？所取的2个整数1，21，32，32个整数之和345如上表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？所取的2个整数1，21，31，42，32，43，42个整数之和345567如上表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有_种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有_探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有__________种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5这n个整数中任取4个整数，这4个归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3这n个整数中任取a1<a<n拓展延伸：从1，2，3，…，36这36个整数中任取_______________个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）17．（2019·北京市第五中学分校八年级期中）阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算(𝑥+2)(2𝑥+3)(3𝑥+4)所得多项式的一次项系数．小明想通过计算(𝑥+2)(2𝑥+3)(3𝑥+4)所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找(𝑥+2)(2𝑥+3)所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需要x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2=7，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算(𝑥+2)(2𝑥+3)(3𝑥+4)所得多项式的一次项系数，可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3,3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2,3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18，最后将12,16,18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：（1）计算（x+1）（4x+3）所得多项式的一次项系数为.（2）计算（x+1）（3x-2）（2x+5）所得多项式的一次项系数为.（3）若x2-3x+1是x418．（2018·北京四中八年级期中）如下表，方程1、方程2、方程3…是按照一定规律排列的一列方程．（1）猜想方程1的解，并将它们的解填在表中的空白处．序号方程方程的解（x116x1＝_________，x228x310x……………（2）若方程ax-1x-（3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解．19．（2020·北京·海淀实验中学八年级期中）我们把正n边形(n≥3)的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an，如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3=12.图3、图4分别是正五边形、正六边形的(1)如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”；(2)已知a3=12,a4=20,a5=30，则图4中a6=_____，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”的(3)已知1a3=13-20．（2018·北京·首师大附中一分校八年级期中）观察下列各式（x-1）（x+1）=x2-1（x-1）（x2+x+1）=x3-1（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…①根据以上规律，则（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=______．②你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）=______．③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．

参考答案1．C【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数．【详解】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝180°-∠B2＝∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝12∠BA1C＝12同理可得，∠EA3A2＝（12）2×75°，∠FA4A3＝（12）3∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（12）n﹣1×75°故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是根据这两个性质求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，探索其规律．2．A【分析】根据单项式的系数定义和多项式项的概念得出即可．【详解】二次三项式2x2﹣3x﹣1的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，﹣3，﹣1，故选A．【点睛】本题考查了多项式的有关概念，能熟记多项式的项和单项式的次数和系数定义的内容是解此题的关键．3．C【详解】解：P1=1+1+1=3，P2=1+1+12=52P3=1+12+12+14P4=1+

12+12+14×2+1…∴p3-p2=114-52=14=P4-P3=238-114=18…则Pn-Pn-1=12故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质；解题的关键是通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．4．9【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂即可确定公因式．【详解】解：系数的最大公约数是9，相同字母的最低指数次幂是a2∴公因式为：9故答案为：9【点睛】本题主要考查公因式的定义和确定方法；掌握其定义是解题的关键．5．

2a

2n﹣1a【分析】利用等边三角形的性质得到∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，利用同样的方法得到A2O＝A2B2＝2a＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4＝22a，利用此规律即可得到AnBn＝2n﹣1a．【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∠MON＝30°，∴∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，同理：A2O＝A2B2＝2＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4a＝22a，……．以此类推可得△AnBnAn+1的边长为AnBn＝2n﹣1a．故答案为：2a；2n﹣1a．【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，解题关键是掌握三角形边长的变化规律．6．

211=【分析】根据题意可知等式左边的分子都为2，分母为2n-1，等式右边第一个加数分子为1，分母为n，第二个加数分子为1，分母为n(2n-1)，由此问题可求解．【详解】解：∵第1个等式：21第2个等式：23第3个等式：25第4个等式：27第5个等式：29∴第6个等式：211由以上规律可得第n个等式：22故答案为211=1【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是根据已知条件得到数字之间的基本规律．7．2017【分析】把1、2、3、⋯2015、2016、2017分别代入1【详解】解：∵1x∴把1、2、3、⋯2015、2016、2017分别代入1x2+x得，11×2、12×3、1∴所得结果相加的和为1=1-=1-1故答案为：20172018【点睛】本题考查了数字的变化规律，总结出数字的变化规律是解题的关键．8．

360°

720°

1080°

360【分析】（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，得∠E（2）连接AE，FE交AH于点M，根据三角形内角和和对顶角的知识，得∠MAE+∠MEA=∠F【详解】（1）如图所示，连接AD，AF交DE于点M∵∠AMD=∠EMF，∴∠∴∠BAF+∠B+∠C故答案为：360°（2）如图，连接AE，FE交AH于点M∴∠F+∠G∵∠AME∴∠∴∠∵∠BAM∴∠∴∠∴二环四边形的内角和为：720°∵二环三角形的内角和为：360°=360°×二环四边形的内角和为：720°=360°×2=360°×∴二环五边形的内角和为：360°×∴二环n边形的内角和为：360故答案为：720∘，1080∘，【点睛】本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质，从而完成求解．9．

42；

99．【分析】（1）根据a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6找出规律，即可求出结果；（2）先拆分，再抵消得到方程13﹣1n+1＝97【详解】解：（1）∵a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，∴a6＝6×7＝42，故答案为：42；（2）∵1a3=13-14，∴13-14+14解得n＝99．经检验，n＝99是原方程的解．故答案为：99．【点睛】此题考查了图形的变化规律、分式加减、分式方程，找出图形之间的联系，得出运算规律是解题关键．10．

23，

n【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可．【详解】解：第5行从左向右数第3个数是20+3=∵第（n-1）的最后一个数是(n∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是(n故答案为：23；n2【点睛】本题考查了数字变化规律，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．11．n【分析】观察分析可得1+13=(1+1)11+2，2+14【详解】解：根据题意得：1+13=(1+1)11+2发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是n+故答案为：n【点睛】本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．12．3x3y【分析】根据单项式系数和次数的定义求解即可.【详解】解：根据单项式系数和次数的定义，一个含有字母x、y且系数为3，次数为4的单项式可以写为：3x3y．故答案为3x3y．【点睛】本题主要考查了单项式，要注意所写的单项式一定要符合单项式系数和次数的定义．13．

n+2n(n+1)•2n+1

【分析】（1）由前四个等是可以看出：是第几个算式，等号左边的分母的第一个因数是就是几，第二个因数是几加1，第三个因数是2的几加1次方，分子是几加2；等号右边分成分子都是1的两项差，第一个分母是几乘2的几次方，第二个分母是几加1乘2的几加1次方；由此规律解决问题；（2）把这20个数相加，化为左边的形式相加，正好抵消，剩下第一个数分裂的第一项和最后一个数分裂的后一项，得出答案即可．【详解】(1)用含n的代数式表示第n个等式：an=n+2n(n(2)a1+a2+a3+…+a20=11×2﹣12×22+12×22﹣13×23+13×23﹣1故答案为(1)n+2n(n+1)•(2)12﹣1【点睛】此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题．14．【详解】解：第一次：1个小正方形的时候，周长等于1个正方形的周长，是1×4=4；第二次：3个小正方形的时候，一共有4条边被遮挡，相当于少了1个小正方形的周长，所搭图形的周长为2个小正方形的周长，是2×4=8；第三次：6个小正方形的时候，一共有13条边被遮挡，相当于少了3个小正方形的周长，所搭图形的周长为3个小正方形的周长，是3×4=12；…．找到规律，第n次：第几次搭建的图形的周长就相当于几个小正方形的周长是n×4=4n．所以第n个图形的周长为4n．15．（1）a5+5a4【分析】（1）根据表中规律即可得；（2）根据表中规律写出a+【详解】解：（1）根据表中规律得，(a（2）a+故答案为：66．【点睛】本题考查了整式，解题的关键是找出规律．16．探究一：（3）7；（4）(2n-3)；探究二：（1）4；（2）(3n-8)；探究三：(4n-15)，(an-a2+1)，7或29．【分析】探究一：（3）根据探究一的（1）和（2）可得结果；（4）结合（3）即可得到结果．探究二：（1）根据探究一的方法即可得结果．（2）结合以上（1），总结规律，即可得结果．探究三：根据探究一和探究二的方法即可得结果．归纳结论：根据探究一和探究二的方法即可得结果．拓展延伸：根据以上结论：当n=36时，36a-a2+1=204，解方程即可得a的值．【详解】解：根据探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不同的结果；（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5种不同的结果；（3）∵1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，2+5=7，3+5=8，4+5=9，∴从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果．故答案为：7；（4）根据探究一：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不的结果；从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5种不同的结果；从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果；所以从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有(2n-3)种不同的结果．故答案为：(2n-3)；探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和分别为：6，7，8，9，共有4种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有(3n-8)种不同的结果．故答案为：4；(3n-8)；探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有(4n-15)种不同的结果．故答案为：(4n-15)；归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1＜a＜n)个整数，这a个整数之和共有(an-a2+1)种不同的结果．故答案为：(an-a2+1)；拓展延伸：当n=36时，36a-a2+1=204，解得a1=7，a2=29．所以从1，2，3，…，36这36个整数中任取7或29个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题是关键．17．（1）7；（2）1;（3）a=-6；b=-3【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数求解即可（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积的和即为所得多项式的一次项系数求解即可（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1，常数项为2可设另一个因式为：【详解】（1）1×4+1×3=7（2）1×（-2）×5+3×1×5+2×1×（-2）=1（3）∵x4+ax2+∴设另一个因式为：x则（x2+mx+2）（∴1×m-3×1=0

1×2+1×1+（-3）×m=a

-3×2+1×m=b解得：m=3；a=-6；b=