第06讲 超几何分布（教师版）-2021-2022学年高二数学同步讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

第06讲超几何分布

0目标导航

课程标准课标解读

1.理解超几何分布概率模型的特点，理

解超几何分布与古典概型之间的关

系；

通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关

2.根据超几何分布概率模型的特点，会

问题，能建立超几何概型解决实际问题.

求超凡何概型的分布列、期望、方差；

3.在实际问题中能用超几何概型解决实

际问题.

冤知识精讲

知识点

超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则尸(X=A)

「k「n-k

=..M一,上=o,1,2,m,其中机=min{M,n],且“WMM<N,n,M,NGN*,

CN

即如果随机变量X的分布列具有下表形式

X01m

厂0y^n—0z^»lz~»w—1

P

品Ga

则称随机变量X服从超几何分布.

【微点拨】1.若X服从参数为MM,〃的超几何分布，则E(X)=节.

2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几发布的特

征是：

(1)考察对象分两类；

(2)已知各类对象的个数；

（3）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.，超几何分布主要用于抽检产品，

摸不同类别的小球概率模型，其实质是古典概型.

3.超几何分布和二项分布的区别：

Q）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回''抽取（独立重复）；

（3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.

【即学即练1】下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（）

A.将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X

B.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X

C.某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次，记命中的次数为X

D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取

的次数为X

【答案】B

【解析】

【分析】

根据超几何分布的定义可判断得选项.

【详解】

解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布.

故选：B.

【即学即练2】从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品

数为1的概率为（结果用最简分数表示）.

【答案】荽12

【解析】

【分析】

设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N=15.M=2.〃=3,根据

超几何分布的概率计算公式直接求解即可.

【详解】

设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N=15.例=2.〃=3,

C'C212

它的可能的取值为0，1,2,相应的概率为P（X=1）=三*=蓑

故答案为：浮12.

【即学即练3】下列随机变量中，服从超几何分布的有.（填序号）

①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；

②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台

数；

③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X.

【答案】①②

【解析】

【分析】

根据超几何分布模型定义逐个分析即可求出结果.

【详解】

根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布.②中随机变量X服从超几

何分布.而③中显然不能看作•个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.

故答案为：①②.

【即学即练4】袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放

回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均得分.

【答案】1.5或士

2

【解析】

【分析】

由X服从超几何分布可得.

【详解】

用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，X服从超几何分布，

于是E（X）=〃•丝=5x2=1.5.

、）N10

故答案为：1.5

【即学即练5】一个箱子里装有大小相同、质地均匀的红球3个、白球2个，从中随机摸出

3个球，设摸出红球的个数为则E（?=,.

【答案】?95Q

【解析】

【分析】

分析可得《的所有可能取值为123,根据超几何分布的概率公式分别解得

P（4=1）,P仁=2）,P（J=3）,再由期望公式和方差公式求解即可.

【详解】

由题意知的所有可能取值为1,2,3,且

2

所以E⑹=1*+2*|+3，奈29=(11)x^+(2-目919

33.2x—=—,

551025

99

故答案为:g;—

【点睛】

本题考查超几何分布的应用，考查求离散型随机变量的期望与方差.

【即学即练6】盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取

到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为g,P4=4)=,

E©=.

15273

【答案】石文

【解析】

岁的所有可能取值为3,4,5,6,分别求出相应的概率，由此能求出产(4=4),EC).

【详解】

盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，

取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为九

则4的所有可能取值为3,4,5,6,

G=_L

%=3)=

Cl56

胭=4)=等吟，

2

P(J=5)=*C'C=J30

C；56

P("6)哈q,

C8JO

砥=3」+44+5盘+62=2

5656565656

故答案为：㊂15，告273

5656

【点睛】

本小题主要考查超儿何分布的分布列和数学期望的计算，属于基础题.

【即学即练7】袋中有3个红球，7个白球.从中无放回地任取5个，取到几个红球就得几

分.问平均得几分？

【答案】15

【解析】

【分析】

由题可得X服从超几何分布，进而可得分布列，然后利用期望的公式即得.

【详解】

用X表示得分数，则X也是取到的红球个数，X服从超几何分布，X可取0.123,

...P（X=0）=萼$，P（x=l）=等$，P（x=2）=等后，

C101乙C10CIOIN

所以E（X）=0x-t+lx3+2x』+3x-L=更=1.5,

V'1212121212

，平均得L5分.

【即学即练8】从4名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛，设随机变量X表示所选3

人中女生的人数.

（1）求X的分布列；

（2）求X的均值.

【答案】⑴分布列见解析；⑵*

【分析】

（1）根据题意，求得X的取值，利用古典概型的概率计算公式即可求得对应取值的概率，

即可求得分布列；

（2）根据所求分布列，即可求得X的均值.

【解析】（1）根据题意，X=0,1,2,3,又尸（X=0）=*=祗，

唳=1）=华=更，P（X=2）=-^$=—,P（X=3）=零」，

I7C,351'C,3517C,35

故X的分布列如卜所示：

X0123

418121

P

35353535

4181219

（2）根据（1）中所求分布列可知，X的均值为：°、玉+以玉+2x玉+3x玉=亍

Q能力拓展

考法01

1.随机变量是否服从超几何分布的判断

若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：（1）该试验是不放回地抽取〃次；（2）

随机变量X表示抽取到的次品件数（或类似事件），反之亦然.

【典例1】一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为123,4,5,6,还有4个同样大小的白球,

编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：

①X表示取出的最大号码；

②X表示取出的最小号码；

③取出一个黑球记2分，取出一个白球记I分，X表示取出的4个球的总得分；

④X表示取出的黑球个数.

这四种变量中服从超几何分布的是（）

A.①②B.③④C.①②④D.①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

对于①，当X表示最大号码，比如X=6表示从黑球编号为L2,3,4,5中取3个黑球，

而X=8及不从6个黑球和编号为7的白球共7个球中取3个球，

故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.

对于③，X的可能取值为4,5,6,7,8,

X=4表示取出4个白球；

X=5表示取出3个白球1个黑球；

X=6表示取出2个白球2个黑球；

X=7表示取出1个白球3个黑球；

X=8表示取出4个黑球：

因此X服从超几何分布.

由超几何分布的概念知④符合，

故选：B.

【典例2】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由.

（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X,求X的概率分布；

（2）有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个

数记为X,求X的概率分布；

（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只.任取3只球，把不是红色的球的个数记为

X,求X的概率分布；

(4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，

其中女生人数记为X,求X的概率分布；

(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放

器的个数记为X,求X的概率分布.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

根据超几何分布的概念逐一判断即可.

【详解】

(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.

(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类.随机变量X表示抽取〃件样本中某类样本

被抽取的件数，是超几何分布.

(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题.

考法02

2.超几何分布的计算公式：

【典例3】12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛.若随机变量X

A.P(X=6)B.P(X=5)C.P(X=3)D.P(X=7)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据X服从超几何分布直接得到答案.

【详解】

由题意可知：随机变量X服从参数为N=12,M=5,〃=6的超几何分布.

由公式尸(X=&)=*产,易知资2表示的是丫=3的取值概率.

故选：C

【点睛】随机变量X服从参数为N,M,〃的超几何分布，则P(X=&尸一9:f

CN

【典例4】某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中

年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年

龄低于30岁的人数，则尸(X=l)=.

【答案】II

【解析】

【分析】

由于X=1是指选取的人中年龄低于30岁的有1人，进而结合超几何分布的概率计算公式

即可求出结果.

【详解】

X=1是指选取的人中年龄低于30岁的有1人，

所以P(X=1)=警=［故答案为：1|,

【典例5】若一个随机变量的分布列为尸(。=其中/•=0,1,2,=min(/7,M)

5

则称4服从超几何分布，记为&〜并将P("r)=入匕…记为H(E,M,N),

CN

则H(l;3,2,10)=.

【答案】尚7

【解析】

【分析】根据题中的计算公式代入数据求解即可.

【详解】

根据题意，r—\,〃=3,M—2,N=10

・•・〃(1;3,2,1。)=尸("1)=等='

故答案为：—.

【典例6】有9张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中任取3张，设4表

示抽出的3张卡片标有的数字是偶数的个数，则尸&=1)=,E《)=.

104

【答案】五?

【解析】

【分析】

结合超几何分布计算公式进行求解.

【详解】

1,2.3,且P("0)=詈弓,

由题意知自的可能取值分别为0,

P(J=1)=华=3,尸(4=2)=华=』，尸(4=3)=华=-L

v'Cg21v'C,14/c；21

则E(f)=0xW+lxW+2x9+3xJ-=3.

v7422114213

in4

故答案为：—:—

213

考法02

3.求超几何分布的分布列的步骤

第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N,M,”的值；

第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；

第三步，用表格的形式列出分布列.

【典例7】己知某批产品共100件，其中二等品有20件.从中任意抽取2件，4表示取出的

2件产品中二等品的件数，试填写下列关于4的分布列.

012

19

P（『）

—495

【解析】

【分析】利用超几何分布可求题设中的概率.

【详解】

由题设可得%=。）=笋=费，尸（空1）=咎=1|•故答案为：券菽

~00^100»一“,”

【典例8】已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数

的数学期望为.

【答案】（）.3

【解析】

【分析】设任意取出的3件产品中次品数为X,列出随机变量X的分布列，进而可计算出

E（X）的值.

【详解】设任意取出的3件产品中次品数为X,则X的可能取值有0、1、2、3,

z"»3z*v202「1z"»3

尸（X=0）=处,P（x=l）=普，尸（x=2）=普，P（X=3）=处，

L[00。100。100（100

所以，随机变量X的分布列如下表所示:

X0123

♦；C；)

PC0%

^1100k

GoodJoo

因此E"(X)=°xC；)+1xGoQo+2*Cd+3x需a

故答案为：0.3.

【典例9】某班有30名男生和10名女生，现从中随机选取5名学生，计算所选学生中女生

的人数X的分布列和均值.

【答案】分布列见解析，均值为;.

【解析】

【分析】

由题意分析出服从超几何分布，直接求出概率，写出分布列和数学期望.

【详解】

由题意可得：X的所有可能取值为：0,1,2,3,4,5.

所有P"=。）=袅=器;「5=1）=等=霰|；

JQZo12。物303250

一2）：一5075（）―品名.725

（）一以一18278，（）一C「9139'

p（X-4]=C="5-尸（x=5）==7

（）C工18278,玳）C*18278,

所有X的分布列为：

X012345

6091522550757251757

P

2812365561827891391827818278

口”L/v'八609,15225c5075〜725,17575

X的数字期望为：E（X）=0x------+lx---------+2x--------+3x-------+4x--------+5x--------=—

,728123655618278913918278182784

【典例10】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量4表示所选3人

中女生的人数.

（1）求4的分布列；

（2）求“所选3人中女生人数的概率.

4

【答案】（1）答案见解析；（2）y.

【解析】

【分析】

(1)g可能取的值为0,1,2,服从超几何分布，P(4=k)=^^(k=0,1,2),然后

分别求出PC=0)，尸(4=1),PC=2)的值，最后写出分布列即可;

(2)由尸偿41)=P(「=0)+P信=1)计算即可.

【详解】

(1)4可能取的值为0,1,2,服从超几何分布，pq=k)=^r"=0，I，2),

所以，PC=0)=等=：,PC=1)=攀=],尸修=2)=詈=g

所以J的分布列为:

(2)由(1)知，“所选3人中女生人数的概率为:

4

P（W）=P（g=0）+尸（&=1）=不

考法03

4.超几何分布的期望与方差:

【典例11】口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球

数为2则E©=—；。⑶=

49

【答案】

25

【解析】

【分析】

根据超几何分布，求出4的可能取值及对应的概率，求期望、方差即可.

【详解】

取得红球数为4可能为0,1,2,

则PC=o)哈得,

“晋

c21

pq=2)=*

C5lo

3314

所以E团=0x?+lx±+2x±=2,

I/105105

434341Q

D(^)=(0--)x-+(l--)x-+(2--)x-=-.

49

故答案为：—；—

【典例12】如果一个数含有正偶数个数字8,就称它为“优选数”(如188,38888等)，否则就

称它为“非优选数”，从由数字0」,2,…9,共10个数字组成的四位数中任意抽取10个数，随机

变量X表示抽到的“优选数”的个数，则E(X)=.

23

【答案】77

45

【解析】

【分析】

分四位数中含两个8和四个8,根据排列组合知识求出“优选数”的个数，然后由超几何分布

可得期望.

【详解】

当四位数中含有两个8时，若8不在首位共有C；x8x9=216个，若8在首位，共有

C；x9x9=243个；当四位数中含有四个8时，只有一种结果，所以从由数字01,2,...9,组成

的四位数中，“优选数”共有460个，X可能取的值为0』,2,…9,10,已知随机变量X服从超儿

,1■八*FEW、10x46023

何分布，故E(X)=——=------=一

N900045

23

故答案为：—.

45

【典例13】已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品

数的数学期望为—，方差为一,

【答案】0.3,0.2645

【解析】

【详解】

试题分析：取出的三件产品中次品件数X服从参数N=100,M=10,〃=3的超几何分布，由

超儿何分布的期望方差公式可得点")=等=鬻=0.3,方差为

D(XA〃M(3x10123x2x10x9

V'N{N)N(N-l)1001100J100x99

考点：超几何分布的期望和方差.

【典例14】某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2

人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为.

【答案】24

【解析】

【分析】

依题意可知X的所有可能取值为190,150,110,根据超几何分布的概率公式求出所对应的

概率，从而求出数学期望与标准差；

【详解】由题意，可得X的所有可能取值为190,15(),110,且P(X=190)=

10

C'C13C2C01

P(X=150)=-^=-,P(X=110)=-^=-,则

33I

£(X)=190x—+150x-+110x—=158,标准差

10510

2

7v(X)=MxA+(-8)x|+(-48)2xA=24.

故答案为：24

【典例15】一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方法从中随机抽取2

件产品检验：方法一：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；方法二：一次性随机抽取

2件.记方法一抽取的不合格产品数为。，方法二抽取的不合格产品数为

(I)求。，乙的分布列；

(2)比较两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值的大小，并说明理由.

【答案】(1)答案见解析；(2)均值相等，理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)由题意，各分别服从二项分布和超几何分布，利用对应的概率公式计算概率，列

出分布列即可；

(2)利用二项分布和超几何分布的期望公式计算对应的期望，即得解

【详解】

(I)随机变量刍的可能取值为0,1,2,

且叫啕，

*=。)=43母/*=1)=喉)图嗡

因此。的分布列为

012

49219

P

10050100

随机变量乙的可能取值为0,I,2,且$服从参数为10,3,2的超几何分布,

二（）「2rz^l7z,^2z^O-I

尸值=°）=管噌唯力箸=/皈=2）=等$

因此第的分布列为

012

771

P

"15L515

（2）由（1）知，方法一中％=2乂得=|,方法二中脸=等=],因此玷=%,

所以两种方法抽到的不合格产品数的均值相等.

考法04

5.超几何分布的实际问题：

【典例16】某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成

“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为（）

GK

A.

4

c区

'点

【答案】c

【解析】

【分析】

利用超几何概率计算公式即可求解.

【详解】

组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为P=4

故选：C

【典例17】为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向

校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网

络平台等多种方式实施线上教育教学工作.为了了解学生和家长对网课授课方式的满意度，

从经济不发达的4城市和经济发达的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满

意度评分的样本：

A城市:46,48,51,53,54,56,62,64,65,65,73,73,74,76,79,81,82,83,

91,93

5城市:53,62,64,66,73,74,76,76,78,78,81,82,85,86,88,89,92,95,

95,97

若评分不低于80分，则认为该用户对此授课方式“认可”，否则认为该用户对此授课方式“不

认可”，以该样本中A,B城市的用户对此授课方式“认可”的频率分别作为A,8城市用户对

此授课方式“认可”的概率.现从A城市和B城市的所有用户中分别随机抽取2个用户，用X

表示这4个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则P(X=3)=；用丫表示从A

城市随机抽取2个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则V的数学期望为.

【解析】

设随机抽取的4个用户中，对此授课方式“认可”的4、8城市的户数分别为,“户和”户，由

超几何分布分别计算P(加=1,〃=2)和尸(机=2,n=1),再将两者相加即可得P(X=3)；

随机变量y的所有可能取值为o,1,2,再根据超几何分布的概率公式计算每个丫的取值所

对应的概率，然后由数学期望的计算方法即可得解.

【详解】

A城市中，对此授课方式“认可”的户数有5户，

8城市中，对此授课方式“认可”的户数有10户.

设随机抽取的4个用户中，对此授课方式“认可”的4、8城市的户数分别为"?户和〃户，

则于(X=3)=尸(加=1,”=2)+尸(加=2,〃=1)

/C5MI175

第成总舄1444-

随机变量y的所有可能取值为o,1,2,

尸(丫=。)=警埸，w=i)=鲁琮，叩=2)=警q,

V-^2QDCSX.^2Qo1v

•・•数学期望E")=0x5+lx4+2x，；.故答案为:鉴".

【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望、超几何分布，考查学生对数据的分析与处理

能力，属于基础题.

【典例18】在1,2,3,…，9这9个自然数中，任取2个不同的数.

(1)求这2个数中恰有1个是奇数的概率；

(2)设X为所取的2个数中奇数的个数，求随机变量X的概率分布及均值.

【答案】⑴焉

⑵分布列见解析，均值为4.

【分析】(1)由9个数中5个奇数，4个偶数，可得出取出的2个数中恰有1个是奇数的方

法数，从而计算出概率；

(2)X的可能值依次为0,1,2,分别计算出概率得分布列，由均值公式计算出均值.

r'r15

【解析】(1)9个数中5个奇数，4个偶数，因此所求概率为P=*=?：

⑵X的可能值依次为。［2P(X=0)=|=l'32)啥亮,

X的分布列为

X012

]_55

P

69

均值为E(X)=0X4+1X£+2X9=W.

69189

【典例19］在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学

生提供了多种网络课程资源.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个

班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间(单位：h),将样本数据分成［3,4),［4,

5),［5,6),［6,7),17,8］五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图.

甲班

频率

Ml

0.300

0.250

0.200

0.150

0.100

0^3~4~5~6~7~［时商/拉

乙班

(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习

时间达到5小时及以上的学生人数；

(2)已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随

机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为X,求X的分布列和均值；

(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为s：,s)试比较s：与s；的大小.(只需

写出结论)

【答案】⑴480；

⑵X的分布列为

X012

3J

P

555

均值为1;(3)s；＜s；

【分析】

(1)从频率分布直方图中求出甲班每天学习时间达到5小时及以上的频率，进而求出该校

高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为多少；(2)利用超几何分布求分布

列和均值；(3)从甲、乙两个班学生每天的学习时间的频率分布直方图上看两个班的数据集

中情况，进行判断方差的大小.

【解析】(1)由甲班频率分布直方图知，甲班每天学习时间达到5小时及以上的频率为

(0.500+0.250+0.050)x1=0.8.

故该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为0.8x600=480.

(2)甲班每天学习时间不足4小时的人数约为40x0.050x1=2,乙班每天学习时间不足4小

时的人数约为40x0.100x1=4,

所以两个班每天学习时间不足4小时的学生共6人.从中随机抽取3人.则抽到的甲班学生

人数X的可能取值为0,I,2,且X服从超几何分布，

“=。)=罟j尸(X=D=詈=|,^=2)=^4'

所以X的分布列为

X012

3

P

555

13I

方法■：E(X)=0x-+lx|+2x-=l.

方法二：E(X)=^=1.

6

(3)从甲、乙两个班学生每天的学习时间的频率分布直方图上来看，甲班的数据比较集中，

乙班的数据相比甲班较为分散，故s；＜s；.

【典例20】为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，

还有最后一个参赛名额要在A,B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A,B两

名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A能正确回答其

中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为A,8两名学生对每个问题回答

正确与否都是相互独立的.

(1)分别求A,8两名学生恰好答对2个问题的概率.

(2)设A答对的题数为X,B答对的题数为y,若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名

学生？请说明理由.

34

【答案】(D(2)选择学生A,理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)由古典概型概率公式求得A的概率，由独立用复试验的概率公式计算出B的概率；

(2)X的可能取值为1,2,3,计算出概率后得概率分布列，求出期望与方差，而丫〜,

也计算出均值与方差，比较可得.

【详解】

C2C'3

(1)由题意，知A恰好答对2个问题的概率为?=中=三，B恰好答对2个问题的概率

(2)X的可能取值为1,2,3,

则尸（X=l）=冷J1;尸（X=2）=c*2cl3尸（x=3）=岩1

所以£'（*）=匕+2、|+3乂!=2,D（X）=（1-2）2X1+（2-2）2X|+（3-2）2X1=|.

易知

2712

所以E（y）=3x]=2,D（r）=3x-x-=-.

因为E（x）=£（y）,D（X）＜D（y）,

所以A与B答题的平均水平相当，但A比B更稳定.所以选择学生A.

M分层提分

题组A基础过关练

1.在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不

方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（）

A.N=15,M=7,n=10

B.N=15,M=10,n=7

C,N=22,M=10,n=l

D.N=22,M=7,n=\0

【答案】A

【解析】

【分析】

根据超几何分布概率模型可得选项.

【详解】

根据超几何分布概率模型得N=15,M=7,〃=10,

故选：A.

2.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是（）

37石*〃10、17

A.—B.—C.—D.—

42422121

【答案】C

【解析】

【分析】

由超几何分布概率公式可直接求得结果.

【详解】

c2c'10

设取出红球的个数为X,则X〜"（9,5,3）,.•.2（*=2）=肯=3.

故选：C.

3.袋中有3个白球，1个红球，从中任取2个，取得1个白球得0分，取得1个红球得2

分，则所得分数X的均值E（X）为（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

依题意X的可能取值为。或2,再根据超几何分布的概率公式求出概率，再求出数学期望;

【详解】

解：由题意，得X的可能取值为0或2,其中X=0表示取得2个白球，X=2表示取得1

所以P（x=o）=等c'c11

个白球,1个红球,P（X=2）=碧=：,故X的均值

故选：B

4.在10个排球中有6个正品，4个次品，从中随机抽取4个，则正品数比次品数少的概率

为（）

D

A.iB--A

【答案】A

【解析】

【分析】

抽取的正品数比次品数少，有两种情况：抽取到0个正品和4个次品；抽取到1个正品和3

个次品.分别求概率再相加即可.

【详解】

抽取的正品数比次品数少，有两种情况：抽取到0个正品和4个次品；抽取到1个正品和3

个次品.

C41

当抽取到。个正品和4个次品时，：

C!c3244

当抽取到1个正品和3个次品时，^=-^=­=—

145

所以抽取的正品数比次品数少的概率为4+6=土+盘=总

故选：A.

3

5.盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是示的事件为（）

A.恰有1个是坏的B.4个全是好的

C.恰有2个是好的D.至多有2个是坏的

【答案】C

【解析】

【分析】

利用超几何分布的概率公式，对四个选项--求概率，进行验证即可.

【详解】

3

事件的概率为r'C*=:1

对于A,

Go2

事件的概率为导=；；

对于B,

J。o

C2C23

对于C,事件的概率为皆=2

do1U

C；+C；C；+C；C；29

对于D,事件的概率为

C，30

故选C.

6.袋中有80个球，其中40个红球、40个黑球，这些球除颜色外完全相同.从中任取两球,

则所取的两球同色的