重难点02 函数值域与最值十四大题型【2024高考数学二轮复习题型突破】（原卷版）

高中数学精编资源2/2重难点专题02函数值域与最值十四大题型汇总题型1幂函数值域问题 1题型2指数函数值域问题 3◆类型1值域相关问题 3◆类型3由函数奇偶性求解析式 5题型3对数函数值域问题 5◆类型1值域相关问题 5◆类型2定义域与值域为R问题 6◆类型3新定义相关问题 7题型4分式型函数值域问题 7题型5对钩与双刀函数值域问题 9题型6分段函数值域问题 10题型7绝对值函数值域问题 11题型8高斯函数值域问题 12题型9“倍缩”函数值域问题 14题型10“类周期函数”值域问题 15题型11抽象函数值域问题 17题型12复合函数值域问题 17题型13三角函数值域问题 18题型14函数中的两边逼近思想 20题型1幂函数值域问题幂函数主要考察一元二次函数二次函数在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论△【例题1】（2022·全国·高三专题练习）对于函数f(x)=ax2+bx,其中b>0,若fx的定义域与值域相同【变式1-1】1.（2023·全国·高三对口高考）若函数f(x)=x2-6x-16的定义域为[0,m]，值域为[-25,-16]，则【变式1-1】2．（2017春·贵州贵阳·高三阶段练习）若函数f(x)=ax2+bx+c（a,b,c∈R）的定义域和值域分别为集合A,B，且集合{(x,y)|x∈A,y∈B}表示的平面区域是边长为1【变式1-1】3．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=-x2+2x.另一个函数y=g(x)的定义域为[a，b]，值域为[1b,1a]，其中a≠b，a，b≠0.在x∈[a，【变式1-1】4.b，c∈R，二次函数f(x)=x2+bx+c在(0,1)上与x【变式1-1】5．（多选）（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数fx=axA．函数fxB．当f1a=1时，C．若函数fx有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为D．若函数fx在区间-1,1上的值域为-1,1，则实数a的取值范围为【变式1-1】6．（2023·全国·高三专题练习）定义：区间x1,x2的长度为x2-x1.已知函数y=x2+1的定义域为a,b，值域为1,2，记区间A．1 B．2 C．0 D．3【变式1-1】7．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知f(x)=x3-3x，函数y=f(x)的定义域为a,b(a,b∈ZA．1 B．2 C．3 D．无数个题型2指数函数值域问题指数函数画图规律：1、底数讨论单增单减讨论.2、“一点一线”伴随.◆类型1值域相关问题【例题2-1】（2023·全国·高三专题练习）若2x2+1A．18,2 BC．-∞,1【变式2-1】1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=22x-2x+1+2的定义域为A．M⊆(-∞,1] B．M⊇[-2,1] C．1∈M D【变式2-1】2．（2023·全国·模拟预测）使函数f(x)=ex-a的值域为[0,+∞)的一个【变式2-1】3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）对任意实数a>1，函数y=a-1x-1+1的图象必过定点Am,n，fx=nmxA．m=1，n=2 B．gx的定义域为[0，C．gx的值域为[2，6] D．gx的值域为[2【变式2-1】4．（2020·全国·高三专题练习）设函数f(x)=axax+1，(a>0且a≠1)，m表示不超过实数mA．0,1,2 B．-1，0 C．-1,0,1 D◆类型2定义域与值域为[ma,na]型对于单调函数定义域值域都已知可转化成两个函数相交问题【例题2-2】（2023秋·山东济南·高三济南市历城第二中学校考开学考试）给出定义：如果函数y=f(x)的定义域为[a ， b]，值域也是[a ， b]，那么称函数f(x)为“保域函数”.①f(x)=2x，x∈[0,2]②f(x)=x2+x-1③f(x)=43⋅④f(x)=e2-1【变式2-2】1.（2020春·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考开学考试）若函数y=ax(a>1)的定义域和值域均为m,n,则【变式2-2】2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)=ax(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是．【变式2-2】3．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知f(x)=x3-3x，函数y=f(x)的定义域为a,b(a,b∈ZA．1 B．2 C．3 D．无数个【变式2-2】4．（2023·全国·高三专题练习）对于区间a,ba<b，若函数y=fx同时满足：①fx在a,b上是单调函数；②函数y=fx,x∈a,b的值域是a,b，则称区间a,b为函数fx的“保值”区间.若函数fx◆类型3由函数奇偶性求解析式【例题2-3】（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考三模）已知fx，gx分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且fx+gx=ex，若关于x的不等式A．158,+∞ B．0,+∞ C．【变式2-3】（2022春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知定义域为R的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足：f(x)+g(x)=2x．若存在实数a，使得关于x的不等式(nf(x)-a)(g(x)-a)≤0在区间[1,2]上恒成立，则正整数n的最小值为（A．1 B．2 C．3 D．4题型3对数函数值域问题对数函数画图规律：1.对数函数中要注意f（b）=f（c）时.bc=1这个特征，.2.对数函数源于指数函数，所以和指数函数互为反函数.◆类型1值域相关问题【例题3-1】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）定义域为R的函数fx满足：当x∈0,1时，fx=2x-x，且对任意的实数x，均有fA．-32 B．32 C．17【变式3-1】1．（2021秋·湖南益阳·高三益阳市箴言中学校考阶段练习）设函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的定义域为[m,n]（m<n)，值域为[0,1]，若【变式3-1】2．（2019秋·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知y=log2(x2-2x+17)的值域为[m,+∞)，当正数a,b满足A．94 B．1 C．5+224【变式3-1】3．（2019秋·江苏盐城·高三校考阶段练习）已知fx=lnx+82-x定义域为D，对于任意x1，x2【变式3-1】4．（2023·高三课时练习）已知函数fx=logax-3x+3的定义域为α,β，值域为logaa◆类型2定义域与值域为R问题【例题3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝log3mx2+8x+nx2+1的定义域为【变式3-2】1．（2019·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=1g[(m2-3m+2)(1)若函数f(x)的定义域为R求实数m的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R求实数m的取值范围．【变式3-2】2．（2022·全国·高三专题练习）若函数fx=log2kx2【变式3-2】3．（2020·全国·高三专题练习）设函数y=loga(ax2+x+a)的定义域是R时，a的取值范围为集合M；它的值域是A．M⊇N B．M∪N=R C．M∩N=∅ D．M=N◆类型3新定义相关问题【例题3-3】（2022·全国·高三专题练习）设函数fx的定义域为I，若存在a,b⊆I，使得fx在区间a,b上的值域为ka,kbk∈N*，则称fx为“k倍函数”.已知函数fx=A．0,239 B．-239【变式3-3】1．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)的定义域为D，若满足：（1）f(x)在D内是单调函数；（2）存在m2,n2⊆D，使得f(x)在m2,n2上的值域为[m,n]，那么就称函数f(x)为“梦想函数”．若函数f(x)=【变式3-3】2．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]⊆D使f(x)在[a,b]上的值域为[na,nb](n∈N+,n>1)，那么就称y=f(x)为“域n倍函数”，若函数f(x)=loga(ax+t),(a>0,a≠1)是题型4分式型函数值域问题分式型函数值域问题：1.分离常数，通过“左加右减上加下减”可求得分式函数的对称中心.2.特殊的，形如(内反表对称可以证明)3.注意“水平渐近线和竖直渐近线”4.分式型函数值域的方法：分离常数法，换元法，判别式法【例题4】（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知函数fx=xA．fx在0,6上单调递减 B．fx的图象关于点C．曲线y=fx与x轴相切 D．fx【变式4-1】1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=1-4xx2+4的定义域是a,b（a，b∈ZA．-2,0 B．-1,1C．0,2 D．-1,2【变式4-1】2．（多选）（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数fx=ax+2A．fx的定义域为B．fx在-1,0上的值域为C．若fx在-∞D．若a>1，则fx【变式4-1】3．（2022·全国·高三专题练习）定义区间x1,x2长度x2-x1x2>x【变式4-1】4．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称取整函数，例如：[-3.7]=-4，[2.3]=2.已知f(x)=3x-1A．-12,1 B．-12,1【变式4-1】5．（2020·全国·高三对口高考）已知函数gx=ax2【变式4-1】6.已知a,b,c为非零实数，f(x)=ax+bcx+d,x∈R，且f(2)=2,f(3)=3.若当x≠-dc时，对于任意实数x，均有f(f(x))=x【变式4-1】7.（多选）（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知函数fx=2A．函数fxB．曲线y=fx关于0C．函数fx的值域为D．曲线y=fx有且仅有两条斜率为1题型5对钩与双刀函数值域问题1.对勾函数图像的特征：(1)渐近线；（2）拐点.2.双刀函数，可用或者简单判断，要注意“渐近线”.【例题5】（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x+kx具有以下性质：如果常数k>0，那么函数f(x)在区间(0,k)上单调递减，在区间[k,+∞）【变式5-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=【变式5-1】2.（2023·全国·高三专题练习）对于定义在R上的奇函数y=fx，当x>0时，fx【变式5-1】3．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）下列函数f1x=sin2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-1】4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=【变式5-1】5.函数f(x)=4x+A．[5,+∞) B．[4,+∞) C．(5,+∞) D．(4,+∞)题型6分段函数值域问题分段函数的值域等于各段函数值域的并集，同时要注意两段交接处，函数的变化【例题6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=-x2+2x+3,x≤26+logax,A．22,1 BC．1,2 D．【变式6-1】1.（2023·全国·高三专题练习）设函数y=fx由关系式xx+yy=1A．gx为增函数 B．gC．gx值域为[-1,+∞) D【变式6-1】2.（2023·北京·高三专题练习）设函数f(x)=lnx,x>0,x2+4x+1,x≤0.给出下列四个结论：①函数f(x)的值域是R；②∀a>1，方程f(x)=a恰有3个实数根；③∃x0∈R+，使得f-【变式6-1】3.（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数sgn(x)=-1,x<00,x=0①fx在π2，π上单调递减；③fx的值域为-1，1；

④fx其中所有真命题的序号是.【变式6-1】4.（2023·北京·高三专题练习）设函数f(x)=e-x,x<0x,x≥0，f(x)的值域是，设g(x)=f(x)-a(x-1)，若g(x)恰有两个零点，则题型7绝对值函数值域问题绝对值函数，主要是分类讨论.1.一元一次函数加绝对值，是折线2.一元二次函数加绝对值，要注意与轴的交点3.指数函数上下平移后加绝对值，要注意“一点一线”的位置【例题7】（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设0<a<b，若函数y=log2x-1,x∈a,b的值域为【变式7-1】1.（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)=2x-1的定义域和值域都是[a,b]，则a+b=【变式7-1】2.（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）已知f(x)=(x-a)⋅(x-3a)，若函数y=f(x),x∈[0,1]的值域为[0,f(1)]，则实数a的取值范围是【变式7-1】3.（2022·全国·高三专题练习）已知fx是定义在R上的奇函数，且fx+1=2fx-1.若当x∈0,1时，fx=1-2x-1，则fx在区间-1,3【变式7-1】4.（2020秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数fx＝-13x3＋4xA．(-∞,3) B．C．(0,+∞) D．【变式7-1】5.（2023·北京·高三专题练习）设函数f(x)=lnx,x>0,x2+4x+1,x≤0.给出下列四个结论：①函数f(x)的值域是R；②∀a>1，方程f(x)=a恰有3个实数根；③∃x0∈R+，使得f-题型8高斯函数值域问题取整函数（高斯函数）1.具有“周期性”2.一端是“空心头”，一端是“实心头”3.还可以引入“四舍五入”函数作对比因为它具有“类周期性”，所以考查函数值域多与数列关联..【例题8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x，g(x)=[f(x)]（[x]表示不超过x的最大整数，例如A．f(x)是R上的增函数 B．f(x)是奇函数C．g(x)是非奇非偶函数 D．g(x)的值域是{-1,0,1}【变式8-1】1.（2023·全国·高三对口高考）给定集合A=a1,a2,a①若A=0,1,2,3，则LA②定义函数fx=x⋅x其中x表示不超过x的最大整数，如1.5=1，-1.3=-2，当x∈n,n+1n≥3,n∈N时，函数【变式8-1】2.（2023春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知x∈R，符号x表示不超过x的最大整数，若函数fx①函数fx的值域为0,1②函数fx③函数fx是(0,+④方程fx=a有且仅有3个根时，其中正确的序号为．【变式8-1】3.（2022秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考开学考试）定义函数f(x)=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[-1.5]=-2，[2]=2，当x∈[0,n)时，f(x)的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则1a【变式8-1】4.（多选）（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2．下列命题是真命题的是（

）A．∃x∈R，B．∀x,y∈R，[x]+[y]⩽[x+y]C．函数y=x-[x](x∈R)D．若∃t∈R，使得[t3]=1，[t4]=2，[t题型9“倍缩”函数值域问题当函数的定义域与值域成倍数时，可以将问题转化为图像有两个交点的问题.【例题9】（2023春·浙江宁波·高三宁波市北仑中学校考期中）已知函数fx=x+1+m，若存在区间a,b(b>a≥-1)，使得函数fx在a,b上的值域为A．m>-178 BC．m≤-2 D．-【变式9-1】1.（2023·全国·高三专题练习）对于函数y=f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时，f(x)的值域为[ka,kb]，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=ex是k倍值函数，则k的取值范围为（A．(0,1e) B．(1,e) C．(e,+∞)【变式9-1】2.(多选)（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间[a,b]⊆D，使得函数f(x)同时满足①f(x)在[a,b]上是单调函数；②f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb](k>0)，则称区间[a,b]为f(x)的“k倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（

）A．f(x)=lnx BC．f(x)=x2(x≥0)【变式9-1】3.（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)=xlnx+2，若存在区间[a,b]⊆1e,e，使f(x)在[a,b](a≠b)上的值域为【变式9-1】4.（2022秋·江苏宿迁·高三校考开学考试）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)，满足f(x+1)为偶函数，且方程f(x)=x有两个相等的实数根，若存在区间[m,n]使得f(x)的值域为[3m,3n]，则【变式9-1】5.（2022秋·重庆北碚·高三统考阶段练习）已知0≤m<n，若函数f(x)在x∈[m,n]上的值域是[km,kn]，则称f(x)是第k类函数.(1)若f(x)=1-1x是第k类函数，求(2)若f(x)=4x-x2是第2类函数，求m,n题型10“类周期函数”值域问题“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：1.是从左往右放大，还是从右往左放大.2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0.3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移.【例题10】（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f(x)，当x∈[-1,1]时，f(x)=x2+x，且对任意x，满足f(x+3)=2f(x)，则f(x)在区间【变式10-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=1-1-x,0≤x≤2①f92=2②当x∈0,8时，函数fx值域为0,8③当k∈45,1时方程fx=kx恰有四个实根A．1 B．2 C．3 D．4【变式10-1】2.（多选）（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）已知函数fx=8-8A．fB．当x∈2,6时，函数fxC．当k∈17,25D．若fx≥2【变式10-1】3.（多选）（2022秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）已知函数fx的定义域为0,+∞，且满fx=2x-1,x∈0,1logA．当λ=-1时，fB．当λ>0时，fx在10,11C．当λ<-1时，fx在0,4nn∈D．当λ>0时，且λ≠1时，若将函数gx=λx-12与fx的图象在0,2nn∈N*的m个交点记为xi【变式10-1】4.（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)的定义域为R，满足f(x-2)=2f(x)，且当x∈(0,2]时，f(x)=x(2-x).若对任意x∈[a,+∞)，都有f(x)≤38成立，则A．72,+∞C．-∞,-3【变式10-1】5.（2022秋·广东深圳·高三北师大南山附属学校校考阶段练习）设函数fx的定义域为R，满足f(x-2)=2f(x)，且当x∈-2,0时，f(x)=-2x(x+2)．若对任意x∈m,+∞，都有f(x)≤题型11抽象函数值域问题【例题11】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数fx的定义域为R，值域为0,+∞，且fx-yfx+y=f2xA．12 B．24 C．42 D．126【变式11-1】1.（2023·全国·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，值域为0,+∞，若fx+1fx-1=4，函数fx-2A．4050 B．4553 C．4556 D．4559【变式11-1】2.（2022秋·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）设定义在R上的函数fx满足f0=1，且对任意的x、y∈R，都有2fxy+1=fx⋅fyA．1,+∞ B．C．0,+∞ D．题型12复合函数值域问题【例题12】（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)={-x+1,(x≤1)2x-1【变式12-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx是0,+∞上的单调函数，且ffx-x-log2A．2,10 B．3,10 C．2,13 D．3,13【变式12-1】2.（2022秋·福建福州·高三福州三中校考阶段练习）定义在R上的函数fx的值域为0,π2，且sinfx=A．f1=π2 B．flog2【变式12-1】3.（2022秋·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）（2022秋·上海浦东新·高三上海南汇中学校考期中）已知定义在R上的偶函数f(x)，满足[f(x)]3-[f(x)]2-x2f(x)+x2=0对任意的实数x都成立，且值域为[0,1].设函数g(x)=x-m题型13三角函数值域问题【例题13】（2022秋·福建福州·高三校联考期中）函数fx=【变式13-1】1.（多选）（2022·江苏常州·统考模拟预测）已知函数f(x)=|sinx|cosA．函数f(x)的值域为[-B．函数f(x)是一个偶函数，也是一个周期函数C．直线x=3π4是函数D．方程f(x)=log【变式13-1】2.（2022·四川泸州·统考一模）已知函数f(x)=sinπ2x，任取t∈R，记函数f(x)在[t,t+1]上的最大值为Mt，最小值为mt，设A．1-22,1C．1-22,【变式13-1】3.（2023·北京海淀·高三专题练习）设函数fx（1）当a=1时，fx的值域为（2）若fx=a恰有2个解，则a的取值范围为【变式13-1】4.（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知函数fx=4sinωx+φ+1ω>0,|φ|<π2，满足对∀x∈R,fx1①函数y=fx的图像关于点-②函数y=fx在区间π③函数y=f'x在④y=fx表达式可改写为f⑤若x1，x2为函数y=fx的两个零点，则x1-x【变式13-1】5.（多选）（2023·全国·高三专题练习）已