新教材人教A版高中数学必修一 函数的应用（一）（含解析）

3.4函数的应用(一)-【新教材】人教A版(2019)

高中数学必修第一册同步练习(含解析)

一.单选题

1.已知/(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且“乃-g(x)=x3+x2+l,

则/⑴+g(l)=()

A.—3B.—1C.1D.3

2.设函数/Xx),g(x)的定义域都为R,且/'(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论

中正确的是()

A.f(x)g(x)是偶函数B.f(x)|g(x)|是奇函数

C.|f(x)|g(x)是奇函数D.|/(x)gQ)|是奇函数

3.已知函数/(%)为奇函数，且当久>0时，/(x)=x2+i,则〃-1)=()

A.2B.1C.0D.-2

4.己知a,b,cWR,函数f(%)=Q/+"+c.若f(0)=/(4)>f(1),则()

A.a>0,4a+6=0B.a<0,4a4-b=0

C.Q>0,2a+b=0D.a<0,2a4-h=0

5.设〃)={■°_；葭)1若/3)=/(。+1)，则呜=()

A.2B.4C.6D.8

6.已知f(x)=x+：-l,f(a)=2,那么f(-a)的值为()

A.—4B.-2C.-1D.-3

7.若函数f(x)=x+£,则下列结论正确的是()

A.函数/(x)的最小值为4

B.函数/(x)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,+8)上单调递增

C.函数/(乃的最大值为4

D.函数/(%)在区间(0,2)上单调递增，在区间(2,+8)上单调递减

8.函数/'(x)=立苫史的图象的对称中心为()

A.(0,0)B.(0,1)C.(1,0)D.(1,1)

9.已知a+1=_XJTx€(―1,2),则a的取值范围是()

A.(一|,-|)B.(一|,|)C.(-2,2)D.(一|,|)

10.函数/（x）的最小值为（）

A.1B.2C.|D.3

多选题

11.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化

为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨,

月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=|x2-

200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元似下

判断正确的是（）

A.该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低

B.该单位每月最低可获利20000元

C.该单位每月不获利，也不亏损

D.每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损

一工？一dx-5X<1

｛2x>]'一是R上的增函数，

则实数。的取值可以是（）

A.0B.-2C.-1D.—3

三.填空题

13.画出一般对勾函数丫=。％+；（。>0/>0）的图象，并写出其性质.

（1）定义域：.

（2）值域：.

（3）奇偶性：.

（4）单调区间：.

14.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y=

4%,1<%<10,

2%+10,10100jEN,其中4代表拟录用人数，y代表面试人数，若应

1.5x,x>100,

聘的面试人数为60人，则该公司拟录用人数为人.

15.已知函数f（乃=｛。二4；：tl'x<2则不等式f（x）<0的解集是.

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16.要制作一个容积为4ni3,高为1根的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每

平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(单

位：元).

17.函数/。)=》一：的值域为.

18.函数/Q)=潟的最小值为.

四.解答题

19.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100

元，己知总收益满足函数：

/?(%)=[400%一°-X~40°淇中*是仪器的月产量.

I80000,%>400

(1)将利润表示为月产量的函数/(x);

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元？(总收益=总成本+

利润)

20.已知函数/(乃=父台，且f(l)=-l.

(1)求函数/(x)的解析式，并判断它的奇偶性.

(2)判断函数/(x)在区间(0,+8)上的单调性，并证明.

21.中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定

开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台

需要另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80台时，C(x)=[/+40x(万元)，当年

产量不小于80台时，C(x)=101X+等一2180(万元)，若每台设备售价为10()

万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.

(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式.

(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这

个最大利润.

22.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿

场售价与上市时间的关系如图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的

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关系如图2的抛物线段表示.

(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式p=/(t)；写出图2表示的种植成

本与时间的函数关系式Q=g(t)；

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：

市场售价各种植成本的单位：元/IO?依，时间单位：天)

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查奇函数和偶函数的性质，属基础题，直接代入计算可得/(-1)-g(-1)的值,

进而利用奇偶性即可得到/(I)+g(l)的值.

【解答】

解：y(x)-g(x)=x3+x2+1,

f(-1)-g(_1)=-1+1+]=],

又♦."(X),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，

g(-l)=-g(l)，

+=1)=1,

故选C

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性的判定，属于基础题.

利用函数的奇偶性的定义进行判定即可.

【解答】

解：因为/(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以/(x)g(x)为奇函数，

f(x)lgG)为奇函数，l/COIgG)为偶函数,lf(x)g(x)|为偶函数，

故选8.

3.【答案】D

【解析】

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【分析】

本题考查奇函数的性质，属基础题，根据函数的解析式求得/(I)的值，根据奇函数的性

质得到/(一1)的值.

【解答】

解：由题意知f(l)=M+；=2,

是奇函数，

故选：D.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查一元二次函数对称轴和开口方向的知识，首先判断出对称轴，再判断开口方向.

【解答】

解：由f(0)=/(4),得/'(x)=ax2+人工+©的对称轴为x=—萤=2,二4a+b=0,

又/(0)>/•⑴，.••/(%)先减后增，.•”>(),

故选A.

5.【答案】C

【解析】

【分析】本题考查分段函数的应用，考查转化思想分类讨论以及计算能力.属于基础题.

利用已知条件，求出。的值，然后求解所求的表达式的值即可.

【解答】

解：当0<a<l时，a+l>l,/(a)=yfa>/(a+1)=2(a+1-1)=2a,

"/(a)=/(a+1),

:.y/a=2a,解得a=；或。=0(舍去).

•・•/(£)=f(4)=2x(4-1)=6.

当Q>1时，Q+1>2,

/⑷=2(a—1),/(a+1)=2(a+1-1)=2a,

・•・2(a-1)=2a,无解.

当Q=1时，Q+1=2,/(I)=0,/(2)=2,不符合题意.

综上，呜=6.

故选C

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查函数值的求法，注意奇函数的性质，属于较易题目.

【解答】

解：=x+f(a)=2,

.-,/(a)=a+i-l=2,.--a+;=3

/(—a)=—a一1=—3—1=—4,

故选A

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查对勾函数的图象与性质，属于基础题.

直接画出对勾函数/(x)=x+：的图象的大致形状，由图象得答案.

【解答】

解：函数/'(x)=x+：的定义域为{x|x40}

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y

4

--2F-rpr-->x

4

函数的图象如图，

由图可知，函数f(x)在定义域上无最小值，故A错误；

函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，故8正确，。错误；

函数f(x)在定义域上无最大值，故C错误.

故选艮

8.【答案】B

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查奇偶函数图象的对称性，把原函数解析式变形得/(>)=%+1+》寸论即可,

属于基础题.

【解答】

解：/(X)=X+1+

可设y'=y—1,x'=x得到y'=[+x',

所以y'与x'成反比例函数关系且为奇函数，则对称中心为(0,0)

即y'=0,xr=0得到y=1,%=0

所以函数y的对称中心为(0,1)

故选B.

9.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查函数单调性的判断及应用，属基础题.

依题意，令人久)=一品，根据单调性的定义判断/(x)在(一1,2)单调递减，得一|<a+

1<|,进而求得结果.

【解答】

解：令/(》)=一言设—1<%1<小<2,x2—X1>0,x1x2<

f(Af(\_2*12X_2(X-X)(4-XX)n

/(Xvi)v--诉+昕2--241)12>。，

所以/(右)—八>2)>0,所以函数/(X)在(—1,2)单调递减，

所以x6(-1,2)时,-1<f(x)<|,即一：<a+l<|,

得-1<a<—|,

故选4.

10.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查函数单调性的判断及应用，属中档题.

令=函数g(t)=t+，，根据单调性定义判断以g(t)在［2,+8)上递增,

求得g(t)min=9(2)=|，

即可结果.

【解答】

解："乃=篇=疹”+五占'

令〃2+4=t>2,函数g(t)=t+3

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令ti>t2>2,ti-t2>“速>4

g(“)-gQz)=ti+=-J-=(J-亡1)(一>2)>o,

tt

C112'l2/

所以g(t)在［2,+8)上递增，g(t)min=g(2)=|，

所以函数/'(X)=芸的最小值为|.

故选C.

11.【答案】AO

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式在函数中的应用，解题关键是列出函数关系式，属于中档题.

列出处理成本函数3然后由基本不等式求最小值，并得出取最小值时处理量X.设该单

位每月获利为S,则S=100x-y,把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解.

【解答】

解：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为

y1.80000、1180000

-=-%d--------o2n0n0>n2-%------2o0n0n=2Qn0n0，

x2xN2x

当且仅当=等,即x=400时，能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.

设该单位每月获利为S,

则S=100x-y=100%-Qx2-200x+80000)

=-|(x-300)2-35000,

因为400WXW600,所以当x=400时，S有最大值-40000元，

故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损.

故选AD.

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题主要考查了分段函数的单调性，是中档题.

—%2-dx—5xv1

a'一是R上的增函数’得到不等式组

{x>1

-1

-a<0，解出。的取值范围结合选项勾选即可.

、一1—a—5<a

【解答】

—%2—dx—5xv1

{巴X>1'一是R上的增函数，

1力,

**।a<0解得：—3<a<一2,

1—1—a—5<a

故选项中实数a的取值可以是-2和-3,

所以选：BD.

13.【答案】(l)(—8,0)u(0,+8)

(2)(—oo,-2-/ab]U\2\[ab,+oo)

(3)奇函数

【解析】

【分析】

本题考查函数性质的知识，属于基础题.

首先根据题意求出函数的定义域，再用基本不等式求出函数的值域，y(-x)=-y,定

义域关于原点对称判断出是奇函数，结合函数图像，得出函数的单调区间.

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【解答】

解:(1)由题意知%于0,故函数y的定义域为(一8,0)U(0,+8),

(2)%>0时，对于函数y=ax+p则有y>2JQX.m=2VHF，这里不等号当且仅当a%=

g即x=时取到等号，故37》2房，

x<。时，对于函数y=ax+^=-(-ax-］则有y4-2J(-ax).(一g)=-2Va6.

这里不等号当且仅当ax=p即x=-g时取到等号，故y<-2VHF,所以y的值域是：

(—8,-2芯司U［2VH5+8).

(3)y(-x)=-ax-^=-y,且函数y的定义域关于原点对称，所以函数y是奇函数.

(4)结合函数图像，可知在区间(-8,-耳和［电,+8)上单调递增，在区间［-即)和

14.【答案】25

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数模型，基础题.

由题意令函数值为60,求解即可.

【解答】

解：若4%=60,则x=15>10(舍去)；

若2x+10=60,则x=25,满足题意；

若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.

故答案为：25.

15.【答案】(1,4)

【解析】

【分析】

本题考查分段函数求不等式，属基础题.

可以利用函数的图象求得不等式的解集，也可以分段求出不等式的解集，然后取并集.

【解答】

解法一：当x》2时，/(为=%-4<0的解集为［2,4)；

当*<2时，不等式“乃=x2-4%+3<0的解集为(1,2).

综上所述，不等式/Xx)<0的解集为(1,4)

故答案为：(1,4).

解法二：分段函数的图象如图，得出不等式/(x)<0的解集是(1,4).

故答案为：(1,4).

16.【答案】160

【解析】

【分析】本题考查基本不等式的实际应用，属基础题，设该容器的总造价为y元，长方

体的底面矩形的长为xm,将y表示为x的函数，利用基本不等式求最值即可.

【解答】解：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为久m,

因为无盖长方体的容积为4m3,高为1m,所以长方体的底面矩形的宽为gm,

依题意，得y=20x4+10(2x+^)=80+20(x+：)

>80+20x2Jxx=160(当且仅当x=即久=2时取等号)，

所以该容器的最低总造价是160元.

17.【答案】R

【解析】

第14页，共18页

【分析】

本题考查利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题.

由题意，可得函数/为奇函数，利用定义法可得函数/(乃在(0,+8)上是增函数，由

此可得函数的值域.

【解答】

解：,函数/(X)的定义域为(一8,0)1_)(0,+8),关于原点对称，

且/'(-X)=一%+：=一(乂一》，即/(-x)=-/0)，

.•・函数fQ)为奇函数，

对于任意%1，%26(0,+co),设%1<%2,

则：/(■)-/(X2)=一,_(42_今=Xl_*2+_%2+

xXxx

“1“221l2

3

=(%1-x2)(l+—)-

v,%2W(0,+8)且％1<%2,

3

AXx—X2<0,%1%2>0>1+>0，

•••/(Xi)-/(x2)<0,即fQl)<f(X2)，

二函数f。)在(0,+8)上是增函数,

■■■/Q)在(一8,0)U(0,+8)上单调递增，有函数性质可得，函数的值域为R.

故答案兄

18.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查函数最值的知识，属于基础题.

可以用换元法，t=GT，t>o,函数/'(x)=t++再利用均值不等式求解即可.

【解答】

解：由题意可知久一1>0,即％>1,

令t=Vx—1，则％=t24-l(t>0),

f(x)=C+：)2Jt.£=4,当且仅当£=g,即t=2,%=5时，等号成立，

故加)。)=4,

答案为：4.

19.【答案】解：(1)由于每月产量为x台，则总成本为20000+100%,

-1x2+300%-20000,0<%<400,

从而/(x)=

60000—100x,x>400.

(2)当0<x<400时，/(x)=-j(x-300)2+25000,

.•.当x=300时，有最大值25000；

当x>400时,f(x)=60000-100%是减函数,

/(X)<60000-100x400<25000.

•・当x=300时,f(x)取最大值.

•••每月生产300台仪器时，利涧最大，最大利润为25000元.

【解析】本题考查了函数模型的应用的相关知识，试题难度一般

20.【答案】解：(1)依题意，a+1=—1得a——2,f(x)=十]——2x+

因为“X)的定义域为(一8,0)u(0,+8),

且/'(-X)=2%-i=一/'(%).所以/'0)是奇函数

(2)/(%)在区间(0,+8)上单调递减.

证明：设任意0<%1<打，

111

则f(%i)—f(%2)=-2r+—+=(x-%力(2+—

lX12X2--x22xlx2

因为0</<%2，所以%2—X]>0且2++>°•所以/(/)>/(%2)，所以/'(x)在

(0,+8)上单调递减

【解析】本题考查函数解析式确定，考查函数奇偶性与单调性的判断，属基础题.

(1)依题意，得a=-2,再根据奇函数定义判断即可.

(2)f(x)在区间(0,+8)上单调递减，根据减函数的定义证明即可.

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21.【答案】解：(1)当0<x<80时,y=100%-(|x2+40x)-500=-|x2+60x-500,

当％岂80时，y=100x-(lOlx+^-2180)-500=1680-(x+誓)，

f—^x2+60x—500,0<x<80