2025优化设计一轮第3节 平面向量的数量积

第3节平面向量的数量积高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.研考点精准突破目录索引

强基础固本增分12强基础固本增分知识梳理1.平面向量数量积的概念(1)向量的夹角已知两个__________向量a,b,O是平面上的任意一点,作

,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作__________.

其中夹角为0时两向量同向共线,夹角为π时两向量反向共线

非零

a⊥b(2)向量的数量积已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos

θ.

数量积是一个实数,可正可负可0规定:零向量与任一向量的数量积为__________.

微思考两个向量的数量积大于0(或小于0),则夹角一定为锐角(或钝角)吗?|a||b|cosθ0提示

不一定.当两个向量的夹角为0(或π)时,数量积也大于0(或小于0).2.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.不要与向量平行的坐标公式混淆

3.向量数量积的运算律

交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)微点拨向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立).(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立).自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.两个向量的数量积是一个实数,向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量.(

)2.由a·b=0可得a=0或b=0.(

)3.在等边三角形ABC中,设

,则a与b的夹角为60°.(

)√××题组二

回源教材4.(人教A版必修第二册6.2.4节例9改编)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=,则a·b=__________.

-105.(人教A版必修第二册习题6.2第11(2)题改编)已知|a|=2,|b|=5,且a·b=-3,则|a+b|=__________.

6.(人教A版必修第二册6.2.4节例13改编)已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,若向量a+kb与a-kb互相垂直,则实数k=__________.

题组三

连线高考7.(2022·全国乙,文3)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=(

)A.2

B.3

C.4

D.5D8.(2023·全国甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos<a+b,a-b>=(

)B9.(2022·全国甲,文13)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=_________.解析

因为a⊥b,则a·b=m+3m+3=0,解得m=

研考点精准突破考点一平面向量数量积的运算B[对点训练1](1)(2024·山东潍坊模拟)已知平面向量a与b的夹角是60°,且|a|=2,b=(1,2),则a·(2a-b)=(

)C(2)(2024·辽宁教研联盟模拟)设M,N是圆O上两点,若MN=2,则=(

)A.-4

B.-2

C.2

D.4C考点二平面向量数量积的应用(多考向探究预测)考向1向量的模例2(1)(2024·湖南长郡中学模拟)已知a=(1,2),b=(2,t),若|a+b|=|a-b|,则t的值为__________.

-1(2)(2023·新高考Ⅱ,13)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=__________.

考向2向量的夹角例3(1)(2020·全国Ⅲ,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=(

)D解析

∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,∴|a+b|=7,(2)已知非零向量a=(x,3x),b=(-2x,1),若a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是(

)D变式探究(变条件)在本例(2)中,其他条件不变,若向量a与b的夹角为锐角,则x的取值范围是__________.

考向3向量的垂直例4(1)(2023·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则(

)A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1

D.λμ=-1D解析

(方法1)由题意得,a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故选D.(方法2)由题意得,a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0.∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.解得λμ=-1.故选D.(2)(2020·全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(

)A.a+2b

B.2a+bC.a-2b

D.2a-bD规律方法平面向量垂直问题的两个类型利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据向量数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数[对点训练2](1)(多选题)(2024·山东滨州模拟)已知向量a=(1,m),b=(2,-4),则下列说法正确的有(

)A.若|a+b|=

,则m=5

B.若a∥b,则m=-2C.若a⊥b,则m=-1

D.若m=1,则向量a,b的夹角为钝角BD(2)(2024·广东广州模拟)已知两个非零向量a,b满足|a|=3|b|,(a+b)⊥b,则cos<a,b>=(

)D解析

因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,所以a·b+b2=0,所以a·b=-|b|2,C(4)(2020·全国Ⅱ,理13)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=__________.

考点三投影向量及其应用例5(2024·广东深圳中学模拟)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则b在a上的投影向量为(

)A.3

B.-3C.-3a

D.-aD解析

a⊥(a+b),则a·(a+b)=a2+a·b=9+a·b=0,故a·b=-9,[对点训练3](2024·山东淄博模拟)已知向量a,b满足a·b=10,且b=(6,-8),则a在b上的投影向量为(

)D考点四平面向量的实际应用例6(多选题)在日常生活中,我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景,若行李包所受的重力为G,两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2夹角为θ,θ∈(0,π),当两人拎起行李包时,下列结论