高中数学1.1.2空间向量的数量积运算教学设计新人教A版选择性必修第一册

空间向量的数量积运算一、内容及内容解析1.内容本单元教学需2课时.第一课时，空间向量及其运算；其次课时，空间向量的数量积运算空间向量数量积的定义、运算律，向量投影.这里给出其次课时的教学设计.2.内容解析（1）内容的本质由于随意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的数量积与平面对量的数量积一样，并且满意交换律和支配律等运算律。给出空间向量的数量积运算及其运算律后，全部空间向量所构成的向量空间进一步成为一个欧氏空间，这为用向量方法探讨空间中的位置关系和度量问题奠定了基础.（2）蕴含的思想与方法空间向量的投影包括空间向量向另一个向量、一条直线和一个平面的投影等三种状况，其中前两种投影的定义与平面对量的相应投影是一样的.一般地，向量投影是高维空间到低维子空间的一种线性变换，是构建高维空间与低维空间联系的桥梁.空间向量的投影对探讨立体几何问题有重要意义，它为后续探讨各种距离问题供应普适性方法，也是本课时证明空间向量数量积支配律的基础.（3）培育的数学核心素养本课时的学习，类比平面对量的数量积学习空间向量的数量积，将空间向量的投影转化为平面对量的投影，体现了类比、转化等思维方法.利用空间向量的数量积运算及运算律，解决一些简洁的立体几何中的求长度、角度，证明垂直等问题，体现了用空间向量解决立体几何问题的向量方法，通过空间向量的数量积运算，强化数学运算的核心素养，通过几何体中的数量积运算，有利于培育学生空间想象实力即数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养。（4）教学重点确定本节课的教学重点：空间向量数量积的概念和运算律.二、目标与目标解析1.本单元教学目标驾驭空间向量的夹角的概念，培育数学抽象的核心素养．驾驭空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培育直观想象的核心素养．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养.2.目标解析达成上述目标的标记是：能类比平面对量的数量积的概念，给出空间向量的数量积的概念，会计算两个向量的数量积.能将平面对量数量积的运算律推广到空间向量数量积的交换律、结合律、支配律，体会空间向量运算律和实数运算律的联系与区分.能画一个向量在另一个向量、一条直线上或者一个平面上的投影.能利用向量数量积解决几何度量问题，证明与垂直有关的简洁问题；体会空间向量的数量积运算及运算律在解决立体几何问题中的作用，体会立体几何中的向量方法.三、教学问题诊断分析1.问题诊断学生有平面对量学习的基础，有类比平面对量的线性运算学习空间向量的线性运算的阅历,把平面对量数量积的概念推广到空间并不难，也能较简洁由平面对量数量积的运算律推广得到空间向量数量积的运算律.尽管在平面对量的学习中已经积累了一些用向量法解决几何问题的阅历，但学生还缺乏利用空间图形解决立体几何问题的阅历，想到向量方法以及把空间图形的位置关系转化为向量表示对学生来讲都是难点.突破难点的关键是引导学生利用平面对量解决平面几何问题的阅历，结合详细问题，从几何量的向量表示入手，深化理解问题中相关条件的几何意义，在此基础上进行向量表示.教学时，应类比平面对量投影的画法，借助帮助平面把空间向量投影转化为平面对量的投影.对于向量投影在解决立体几何问题中的作用，则须要学生在后续学习中逐步体会.教学难点对于空间向量的投影，将其转化为平面对量的投影，并画出投影向量，须要较强的空间想象实力，故用向量的方法解决立体几何问题是本节课的一个难点.四、教学支持条件分析1.技术支持精确把握空间向量的投影须要较强的空间想象实力，为了帮助学生理解空间向量投影的概念，教学时可以利用三维动画直观展示空间向量向另一个向量、一条直线和一个平面的投影.2.学问储备学生在学习了空间向量的有关概念及线性运算之后，已初步感受到空间向量与平面对量之间的内在，，能体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算，明白了随意两个空间向量都是共面的。在平面对量的学习中，学生已经相识到平面对量的数量积在位置关系（垂直）的判定，叫与距离的计算中的应用价值，这为探讨空间位置关系及相关度量供应了类比前提，即在平面对量夹角的基础上，类比引入空间向量的夹角和表示方法，类比平面对量的数量积运算得到空间向量的数量积运算。五、课时教学设计1.1.2空间向量的数量积运算1.课时教学内容空间向量数量积的定义、运算律，向量投影.2.课时教学目标驾驭空间向量的加法、减法和数乘等线性法则、以及结合律和交换律等运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。培育数形结合思想，发展数学抽象等核心素养。3.教学重点、难点重点：通过类比平面对量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发觉空间向量也与平面对量满意线性运算(加法、减法和数乘），懂得运算律。难点：空间向量的线性在简洁空间几何体中的计算和应用。4.教学过程设计环节一创设情境引入课题(回顾旧知，类比得到空间向量数量积的概念)依据功的计算，我们定义了平面对量的数量积运算，一旦定义出来，我们发觉这种运算特别有用，它能解决有关长度和角度问题，在空间向量中亦是如此。引导语：前面我们学习了空间向量的线性运算，随意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，空间向量的线性运算与平面对量完全一样.在必修其次册中我们还学习了平面对量的数量积运算，现在我们类比平面对量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.问题1:类比平面对量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关学问？想一想，在学习平面对量的数量积时，我们都学习了哪些内容，是怎么学习的.请同学们类比平面对量的数量积运算探讨空间向量数量积运算，小组合作完成表格.平面空间（学生填空）夹角对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,.已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作．特例:当时,则.假如，那么向量，相互垂直，记作．数量积两个非零向量,则叫.做的数量积,记作,即数量积.已知两个非零向量，，则叫做，的数量积(innerproduct)，记作．即．特别地，零向量与随意向量的数量积为0．特例:.由向量的数量积定义，可以得到：；．也记作．师生活动：首先让学生回忆平面对量数量积运算的内容和学习过程，师生共同画出上述表格，确定表格的表头、并完成表格的左侧部分.然后通过小组合作，完成表格右侧部分.设计意图：通过完成表格这种形式，使得类比学习更为生动干脆，进一步让学生体会平面对量到空间向量的推广是“平行”推广.师生共同画出表格的过程也体现了从平面对量到空间向量的探讨环节二视察分析感知概念借助几何直观，揭示空间向量投影概念的本质问题2：依据平面对量数量积的学习阅历，为了探讨数量积的运算律，须要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些状况.提示：向量向向量投影；空间向量向直线投影；向量向平面投影师生活动：学生独立思索后，通过合作沟通，得出结论.设计意图：明确问题，培育空间想象力.问题3：下面我们分状况绽开空间向量投影的探讨.如图1(1),如何定义并画出空间向量向向量投影？如图1.1-11(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(图1.1-11(2))．追问:你能用向量,向量表示出投影向量吗?师生活动:先让学生自主探究,然后老师引导学生总结画投影的步骤:空间向量是自由向量,随意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,因而空间向量的投影就是平面对量的投影.进而在图1(1)中,首先平移向量,使表示向量的有向线段的起点与表示向量的有向线段的起点重合,画出这时它们确定的平面(图1(2)),再在平面内画出向量向向量的投影,得到投影向量(图1（3）).师生活动：老师引导学生类比平面对量的投影，得到空间向量向向量投影得到的投影向量c的表示：追问：类似于向量向向量投影，你能定义并画出空间向量向直线投影吗？师生活动：学生独立完成后在课堂上展示、沟通，最终老师总结.追问：请尝试定义并画出向量向平面投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处.如图1.1-11(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．空间向量的数量积满意如下的运算律：，；(交换律)；(支配律)．师生活动：学生独立画图，并沟通结果.在此基础上，老师小结：就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．设计意图：结合平面对量的投影，理解空间向量投影的概念，画图表示空间向量向向量的投影、向直线的投影、向平面的投影，让学生进一步体会空间向量和平面对量的内在联系.环节三抽象概括形成概念推广运算律，理解向量运算律与数的运算律的差异问题4：定义了运算就要探讨它的运算律.类比平面对量数量积的运算律，你能说出空间向量的数量积运算具有哪些运算律吗？师生活动：老师提出问题，结合平面对量数量积的运算律，学生不难得到空间向量的数量积满意如下的运算律：，；(交换律)；(支配律)．追问：你能证明这些运算律吗？师生活动：请学生依据数量积的定义证明运算律(1)和(2),并在课堂上展示、沟通.对于(3)的证明，可以在课堂上组织学生进行小组合作探究，也可以留给学生课下完成(详细证明方法可参见前面相应内容).设计意图：将平面对量数量积运算的运算律推广到空间，进一步完备空间向量的运算体系.问题5：我们知道，数及其运算是一切运算的基础，空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此，自然会想到将它与数的乘法作类比.向量的数量积是否具有一些与数的乘法类似的性质呢？它们之间有什么共性和差异吗？师生活动：老师提出问题，让学生联想数的乘法，提出空间向量的数量及运算的一些性质,并分组沟通探讨，详细地，可引导学生探讨下面的问题.追问：对三个不为0的数,有,也就是说，数的运算满意结合律.对于向量的数量积运算，有“结合律吗？师生活动:老师提出问题,引导学生通过小组合作、探讨等,举出反例.例如,随意取三个不共面的向量是一个数与向量作数乘,是一个数与向量作数乘,而不在同一个方向上,所以与不行能相等.老师进而指出，空间向量的数量积运算满意的运算律和实数的运算律有很多相像之处，但也有区分，如向量数量积运算不满意“结合律”，也就是说，向量不行以“连乘”.追问：对于三个均不为0的数，若，则．对于向量，，，由，你能得到吗？假如不能，请举出反例．师生活动：老师可以引导学生结合长方体中的反例说明上述结论不成立,并进一步指出,若向量都垂直于向量,则成立,但向量的方向可能不同,所以不一定成立.追问：对于三个均不为0的数，若，则(或)．对于向量，，若，能不能写成（或）的形式？师生活动：师生共同完成追问3后，老师小结：向量没有除法运算，不行以在等式两边同时除以一个非零向量，这与实数运算不一样.设计意图：通过对向量数量积运算和运算律与实数乘法运算和运算律的对比分析，使学生明确向量运算与实数运算的联系与区分，更好地建构空间向量的运算体系，为后续运用空间向量及其运算解决立体几何问题奠定基础.环节四辨析理解深化概念例2．如图1.1-12，在平行六面体中，，，，，．求：(1)；(2)的长(精确到0.1)．解：（1）；（2），所以．师生活动：学生依据向量数量积的定义独立完成.由于空间向量的线性运算和数量积运算具有显明的几何背景，空间图形的很多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来，因此，立体几何中的很多问题可以用向量运算的方法加以解决．设计意图：通过例题让学生体会如何计算两个空间向量的数量积，以及利用数量积计算向量的模，进而得到线段的长度，加深对向量数量积概念的理解，并熟识其运算律.环节五概念应用巩固内化例3如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，假如，，求证：．图3图3分析：要证明，就是要证明垂直于内的随意一条直线（直线与平面垂直的定义）．假如我们能在和，之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题．证明：在平面内作随意一条直线，分别在直线，，，上取非零向量，，，．因为直线与相交，所以向量，不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使．将上式两边分别与向量作数量积运算，得．因为，（为什么?），所以．所以．这就证明白直线垂直于平面内的随意一条直线，所以．思索：例3即为直线与平面垂直的判定定理的证明过程.尝试用综合几何方法证明这个定理，并比较两种方法，你能从中体会到向量方法的优越性吗？设计意图：通过层层递进的问题引导学生用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理，学生初步体会向量方法的威力.环节六归纳总结反思提升问题7请同学们回顾本节课所学内容，并回答下列问题：(1)空间向量数量积的定义、运算律是什么？与平面对量的数量积运算有什么联系与区分？(2)空间向量投影的意义是什么？与平面对量的投影有什么联系与区分？如何画出空间向量向另一个向量、一条直线和一个平面的投影？(3)在用空间向量的数量积运算解决一些简洁的立体几何问题的过程中，向量及其运算起了什么作用？课堂小结空间向量的夹角两向量的夹角是唯一确定的夹角范围特别夹角及对应两向量的位置关系空间向量的数量积的定义与几何意义空间向量数量积的性质：证明向量垂直的方法；计算向量长度的方法。空间向量数量积的运算律。设计意图：通过问题引导学生复习本节课所学学问，包括空间向量数量积运算的概念、运算律、空间向量的投影等，进一步体会类比平面对量学习空间向量的方法.结合对平面对量解决简洁几何问题的回顾，让学生体会用空间向量解决立体几何问题的基本思索方法，为后续归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲''做打算.环节七 目标检测，作业布置作业布置：教科书习题1.1第4,7题.1．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°1．答案：B解析：设，则．，，．．与所成的角为90°．2．如图，正方体的棱长为1，设，，，求：（1）；（2）；（3）．2．解：（1）；（2）；（3）．3．如图，在平行六面体中，，，，，．求：（1）；（2）的长；（3）的长．3．解：(1)；（2），，即的长为；（3），．，即的长为．4．如图，线段，在平面内，，，且，，．求，两点间的距离．4．解：，，即，两点间的距离为．习题1.1（第9页）复习巩固1．如图，在长方体中，，分别为棱，的中点．(1)写出与向量相等的向量；(2)写出与向量相反的向量；(3)写出与向量平行的向量．1．解：(1)与向量相等的向量有，，；(2)与向量相反的向量有，，，；(3)与向量平行的向量有，，，，．2．如图，已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）；（2）；（3）；（4）．2．解：（1）；（2）；（3）；（为的中点）（4）设为上靠近的三等分点，．3．证明：假如向量，共线，那么向量与共线．3．证明：由向