高中数学热点题型增分练专题26排列组合基础模型学生版新人教A版选择性必修第二册

专题26排列组合基础模型【题型一】分类加法原理【典例分析】某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（

）A．40种 B．20种 C．15种 D．11种【提分秘籍】基本规律古典概型中基本领件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为困难的问题中的基本领件的探求.对于基本领件有“有序”与“无序”区分的题目，常接受树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本领件的求解问题，通过列表把困难的题目简洁化、抽象的题目详细化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.【变式训练】1.某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（

）A．7种 B．12种 C．4种 D．3种2．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（

）A．7种 B．9种 C．14种 D．70种3．为了便利广袤市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺当完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（

）A．11种 B．19种 C．30种 D．209种【题型二】分步乘法原理【典例分析】2024年10月22日，中国共产党其次十次全国代表大会成功闭幕．某班实行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晚会，原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个老师节目，假如将这两个老师节目插入到原节目单中，则这两个老师节目相邻的概率为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“辨别”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“辨别”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较困难的应用题中的元素分成相互排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简洁的排列、组合问题，然后逐步解决．【变式训练】1.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华打算从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（

）A．13种 B．22种 C．30种 D．60种2.有5件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（

）A．13 B．40 C．72 D．603.现有5名同学去听同时进行的4个课外学问讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（

）A． B． C．20 D．9【题型三】人坐座位【典例分析】某公司为庆祝新中国成立73周年，支配实行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目支配的方法总数为（

）A．18 B．24 C．36 D．60【提分秘籍】基本规律解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．详细地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满意特别元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．【变式训练】1.11月29日，江西新余仙女湖的渔民们迎来入冬第一个开捕日，仙女湖的有机鱼迎来又一个丰收年.七位渔民分在一个小组，各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲乙渔船要排在一起出行，丙必需在最中间出行，则不同的排法有（

）A．96种 B．120种 C．192种 D．240种2.某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们支配了6场线上讲座，其中讲座只能支配在第一或最终一场，讲座和必需相邻，问不同的支配方法共有（

）A．34种 B．56种 C．96种 D．144种3.现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数为（

）A． B． C． D．【题型四】组数字型【典例分析】从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（

）A．24 B．18 C．12 D．6【变式训练】1.在数学中，有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，被称为“回文数”.如44，585，2662等，那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（

）A．30 B．36 C．360 D．12962.从1至8的8个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数和为偶数的概率为（

）A． B． C． D．3.数字1，2，3，4随意组成没有重复数字的四位数，则它为偶数的概率是（

）A． B． C． D．【题型五】分类探讨型【典例分析】在给某小区的花园绿化时，绿化工人须要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律分类探讨易犯错①搞不清晰原委是分类还是分步，不知道是用加法计数原理还是乘法计数原理；②在求解时考虑不全，存在重复或遗漏现象.【变式训练】1.开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖，要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有（

）种．A．12 B．16 C．20 D．242.绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果特别好．现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣扬，每个省市至少一个志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者没有条件限制，共有多少种不同的支配方法（

）A．228 B．132 C．180 D．96【题型六】“地图”涂色型【典例分析】如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色调给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（）种不同的涂色方法？A．260 B．180 C．240 D．120【提分秘籍】基本规律染色问题，要从“颜色用了几种”，“地图有没有公用区域”方向考虑：1.用了几种颜色。假如颜色没有全部用完，就要有选色的步骤2.尽量先从公共相邻区域起先。所以要视察“地图”是否可以“拓扑”转化【变式训练】1.如图，供应4种不同的颜色给图中，，，四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（

）种．A．12 B．36 C．48 D．722.对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红，黑，白，灰四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是（

）A． B． C． D．3.网课期间，小王同学趁课余时间探讨起了七巧板，有一次他将七巧板拼成如下图形态，现须要给下图七巧板右下方的五个块涂色（图中的1，2，3，4，5），有4种不同颜色可供选择，要求有公共边的两块区域不能同色，有______种不同的涂色方案.【题型七】电路图型【典例分析】如图，在由开关组与组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有（

）种A． B． C． D．【变式训练】1.如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（

）A．5 B．7 C．8 D．122.如图所示为一电路图，从A到B共有条不同的线路可通电（）A．1 B．2 C．3 D．43.如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为（

）A．8

B．6C．5 D．3【题型八】走楼梯型【典例分析】欲登上第10级楼梯，假如规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有A．34种 B．55种C．89种 D．144种【提分秘籍】基本规律一般状况下，可以借助“数字化法”，把路口转化为相同数字来进行排列。比如，向右，定为数字1，向上，定为数字2，如下图，从A到B，只向右和向上，那么向右2步，向上3步，可以理解为数字1,1,2,2,2五个数字全排列，那么只选不排，相当于五个位置，先放三个2，共有种放法，【变式训练】1.欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法.2.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.3.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有______种．【题型九】摸球型【典例分析】一个口袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，每次从袋中至少取出一个球，恰好4次取完，那么不同的取法一共有（

）种．A．76 B．48 C．40 D．28【变式训练】1.从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有A．42种 B．36种 C．72种 D．46种2.将6个不同的乒乓球全部放入两个不同的球袋中，每个球袋中至少放1个，则不同的放法有（

）A．82种 B．62种 C．112种 D．84种3.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X全部可能取值的个数是（

）A．5 B．9 C．10 D．25培优第一阶——基础过关练1．某中学实行歌颂竞赛，要求甲、乙、丙三位参赛选手从《难却》《兰亭序》《许愿》等首歌曲中随意选首作为参赛歌曲，其中甲和乙都没有选《难却》，丙选了《兰亭序》，但他不会选《许愿》，则甲、乙、丙三位参赛选手的参赛歌曲的选法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种2．将4名北京冬奥会志愿者支配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只支配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的支配方案共有（

）A．12种 B．18种 C．24种 D．48种3．把5个相同的小球分给3个小挚友，使每个小挚友都能分到小球的分法有（

）A．4种 B．6种 C．21种 D．35种4．某鞋店销售a，b，c，d四种不同款式的运动鞋，甲、乙、丙三人每人随意选择一款运动鞋购买，则不同的购买选择有（

）A．24种 B．48种 C．64种 D．81种5．中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天试验舱和梦天试验舱.2024年10月31日15：37分，我国将“梦天试验舱”成功送上太空，完成了最终一个关键部分的放射，“梦天试验舱”也和“天和核心舱”依据支配成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2024年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要支配甲、乙等6名航天员开展试验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的支配方法有（

）A．450种 B．72种 C．90种 D．360种6．1至10中的质数能够组成的全部没有重复数字的整数的个数为（

）A．4 B．12 C．24 D．647．导师制是中学新的教学探究制度，班级科任老师作为导师既面对全体授课对象，又对指定的若干学生的特性、人格发展和全面素养提高负责．已知有3位科任老师负责某学习小组的6名同学，每2名同学由1位科任老师负责，则不同的支配方法的种数为（

）A．90 B．15 C．60 D．1808．11月29日，江西新余仙女湖的渔民们迎来入冬第一个开捕日，仙女湖的有机鱼迎来又一个丰收年.七位渔民分在一个小组，各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲乙渔船要排在一起出行，丙必需在最中间出行，则不同的排法有（

）A．96种 B．120种 C．192种 D．240种培优其次阶——实力提升练1．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（

）A．若随意选择三门课程，选法总数为B．若物理和化学至少选一门，选法总数为C．若物理和历史不能同时选，选法总数为－D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为2．高二年级支配甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（

）A．假如社区A必需有同学选择，则不同的支配方法有61种B．假如同学甲必需选择社区A，则不同的支配方法有25种C．假如三名同学选择的社区各不相同，则不同的支配方法共有60种D．假如甲、乙两名同学必需在同一个社区，则不同的支配方法共有20种3．某校的高一和高二年级各10个班级，从中选出五个班级参与活动，下列结论正确的是（

）A．高二六班确定参与的选法有种B．高一年级恰有2个班级的选法有种C．高一年级最多有2个班级的选法为种D．高一年级最多有2个班级的选法为种4．将甲､乙､丙､丁4名志愿者分别支配到三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少支配一名志愿者，则下列选项正确的是（

）A．共有18种支配方法B．若甲､乙被支配在同社区，则有6种支配方法C．若社区须要两名志愿者，则有24种支配方法D．若甲被支配在社区，则有12种支配方法5．将8个人分成三组，其中一组由2人组成，另外两组都由3人组成，则不同的分组方法种数为______.6．2024年12月某机构关于中国新国货品牌“金榜题名”颁奖典礼打算以线上直播的形式举办，并邀请榜单中的五家企业发言，则在之前发言（不愿定相邻，下同），且在之后发言的方法种数为__________.（用数字作答）7．如图，2根绳子上共挂有7只气球，绳子上的气球数依次为3，4.每枪恰打破一只气球，而且同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，将这些气球都打破的不同打法有______种（请用数字作答）.8．某值班室周一到周五的工作日每天须要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续支配三天的夜班，则这五天排夜班方式的种数为______．培优第三阶——培优拔尖练1．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，