新教材同步备课2024春高中数学第6章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积第1课时向量数量积的概念及性质教师用书新人教A版必修第二册

向量的数量积第1课时向量数量积的概念及性质学习任务1．了解向量的数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．(数学抽象)2．驾驭向量的数量积的定义及投影向量．(数学抽象)3．会计算平面对量的数量积．(数学运算)大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ．问题：该大力士所做的功是多少？学问点1向量的数量积1．两向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的随意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0时，向量a，b同向；当θ＝π时，向量a，b反向；当θ＝π2时，向量a与b垂直，记作a⊥b1．如何作出向量a与b的夹角？[提示]2．平面对量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．2．把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么？[提示]不行以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，确定要严格，必需写成“a·b”的形式．3．投影向量设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称这种变换为向量a向向量b投影，A1B3．如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么OM1与e，a，θ[提示]OM1＝|a|cosθ学问点2向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ．(2)a⊥b⇔a·b＝0．(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特殊地，a·a＝|a|2或|a|＝a·(4)|a·b|≤|a||b|．4．若a·b＝0，则a⊥b确定成立吗？[提示]不愿定，也可能a＝0或b＝0．5．a·b的符号与两向量的夹角有何关系？[提示]a·b<0，由a·b＝|a||b|cosθ可知，两向量的夹角是钝角或180°．而a·b>0时，由a·b＝|a||b|cosθ可知，两向量的夹角是锐角或0°．1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝()A．－32B．－62C．62D．2B[a·b＝|a||b|cos135°＝3×4×-22＝－622．若向量a，b的夹角为60°，则向量a与－b的夹角为________．[答案]120°3．已知|a|＝5，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则向量b在a方向上的投影向量为________．15a[向量b在a(|b|cosθ)aa＝2×cos60°×15a＝15类型1定义法求向量的夹角【例1】已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？[解]如图所示，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°．以OA，OB为邻边作▱则OC＝a＋b，BA＝a－b．因为|a|＝|b|＝2，所以▱OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以OC与OA的夹角为30°，BA与OA的夹角为60°．即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°．求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，依据“一作二证三算”的步骤求出．[跟进训练]1．如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．[解](1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°．如右上图，延长AB至点D，使BD＝AB，则AB＝BD，所以∠DBC为向量AB与BC的夹角．因为∠ABC＝60°，所以∠DBC＝120°，所以向量AB与BC的夹角为120°．(2)因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，所以向量AE与EC的夹角为90°．类型2平面对量的数量积运算【例2】如图，在▱ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°，求：(1)AD·BC；(2)AB·DA．[解](1)因为AD∥BC，且方向相同，所以AD与BC的夹角是0°，所以AD·BC＝|AD||BC|·cos0°＝3×3×1＝9．(2)因为AB与AD的夹角为60°，所以AB与DA的夹角为120°，所以AB·DA＝|AB||DA|·cos120°＝4×3×-12＝－定义法求平面对量的数量积(1)求模：即分别求|a|和|b|．(2)求夹角：尤其留意向量a与b的方向．(3)求数量积：即a·b＝|a||b|cosθ．[跟进训练]2．已知|a|＝6，|b|＝5，分别求下列状况下a与b的数量积：(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°．[解](1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|cos0°＝6×5＝30；若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝|a||b|cos180°＝－6×5＝－30．(2)当a⊥b时，a与b的夹角为90°，a·b＝|a||b|cos90°＝0．(3)当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a||b|cos60°＝6×5×12＝15类型3投影向量【例3】已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：(1)向量a在向量b上的投影向量；(2)向量b在向量a上的投影向量．[解](1)∵|b|＝1，∴b为单位向量．∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos120°·b＝3×-12b＝－3(2)∵|a|＝3，∴aa＝13∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos120°aa＝1·-12·13a投影向量的求法方法一：用几何法作出恰当的垂线，干脆得到投影向量．方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量为|a|·cosθ·bb[跟进训练]3．已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量．[解]设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝a·bab＝∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθ·bb＝12×14×18b＝1．在▱ABCD中，∠DAB＝30°，则AD与CD的夹角为()A．30° B．60°C．120° D．150°D[如图，AD与CD的夹角为∠ABC＝150°．故选D．]2．已知|a|＝3，|b|＝6，当a∥b时，a·b＝()A．18 B．－18C．±18 D．0C[当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a||b|cos0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角为180°，所以a·b＝|a|·|b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18．故选C．]3．设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________．π3[设a，b的夹角为θ，则cosθ＝a·b∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3．4．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为π3，则b在a方向上的投影向量为________a[b在a方向上的投影向量为|b|cosπ3·aa＝2×12a＝回顾本节学问，自主完成以下问题：1．向量夹角的范围是多少？[提示][0，π]．2．如何求两个向量的数量积？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？[提示]a·b＝|a||b|cosθ，从而cosθ＝a·3．如何求向量b在a方向上的投影向量？如何求向量a在b方向上的投影向量？[提示]b在a方向上的投影向量为|b|e1cosθ，a在b方向上的投影向量为|a|e2cosθ(θ为a与b的夹角，e1为a方向的单位向量，e2为b方向的单位向量)．4．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？[提示]a⊥b⇔a·b＝0．反之成立．5．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？[提示]|a·b|≤|a||b|．课时分层作业(五)向量数量积的概念及性质一、选择题1．已知|a|＝3，|b|＝23，a与b的夹角是120°，则a·b等于()A．3 B．－3C．－33 D．33B[由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos120°＝3×23×-12＝－32．已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝()A．12 B．3C．6 D．33C[因为a·b＝|a||b|cos135°＝－122，又|a|＝4，则4×-22×|b|＝－122，解得|b|＝63．已知|a|＝8，与a同向的单位向量为e，|b|＝4，a，b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为()A．4e B．－4eC．2e D．－2eD[向量b在向量a方向上的投影向量为|b|·cos120°e＝4×cos120°e＝－2e．故选D．]4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12AB，则AB与BC的夹角是(A．30° B．60°C．120° D．150°C[如图，作向量AD＝BC，则∠BAD是AB与BC的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即AB与BC的夹角是120°．]5．(多选)下列命题正确的是()A．0·a＝0B．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0C．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0D．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2AD[A正确，因为0的长度为0，结合数量积的定义可知0·a＝0．B，C错误，当非零向量a⊥b时，有a·b＝0．D正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝b2＝1，故a2＝b2．二、填空题6．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则AB·BC＝________．－32[因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝3．所以AB·BC＝1×3×cos150°＝－327．已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________．e[因为a与b的夹角为60°，a在b上的投影向量为|a|cos60°e＝2×12e＝e．8．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝22，则a与b的夹角为________π4[设a与b的夹角为θ由题意知|a|＝|b|＝1，则cosθ＝a·ba又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4．三、解答题9．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e．(1)求a·b；(2)求a在b上的投影向量．[解](1)a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos120°＝－10．(2)a在b上的投影向量为|a|cosθe＝5×cos120°e＝－52e10．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10m时，力F做的功为()A．100J B．50JC．503J D．200JB[由题意，依据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos60°＝50(J)，故选B．]11．已知平面上三点A，B，C满意|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC+BC·CA+CA·ABA．－7 B．7C．25 D．－25D[由条件知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×45－15×35＝－16－9＝－2512．定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于()A．8 B．－8C．8或－8 D．6A[cosθ＝a·bab＝-62×5＝－3∴sinθ＝45．∴|a×b|＝2×5×45＝8．故选A13．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，AB·AC＝8，则△ABC的形态是________，AB·BC＝________．等边三角形－8[AB·AC＝|AB||AC|·cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝12，因为0°<∠BAC<180°所以∠BAC＝60°．又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．此时AB·BC＝|AB||BC|cos120°＝－8．]14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，求：(1)AB在BD上的投影向量；(2)BD在AB上的投影向量．[解]如图，连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．又D是BC边的中点，所以AD⊥BC，∠ABD＝45°，所以BD＝22．延长AB到E，则AB与BD的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°．(1)设与向量BD方向相同的单位向量为e1，则AB在BD上的投影向量是|AB|cos135°e1＝4×-22e1＝－22e(2)设与向量AB方向相同的单位向量为e2，则BD在AB上的投影向