高中数学8.2.3-8.2.4二项分布超几何分布同步练习教师版苏教版选择性必修第二册

8.2.3-8.2.4二项分布超几何分布一、单选题1．下列说法正确的个数是（

）．①某同学投篮的命中率为，他次投篮中命中的次数是一个随机变量，且听从二项分布；②某福彩中奖概率为，某人一次买了张彩票，中奖张数是一个随机变量，且听从二项分布；③从装有大小与质地相同的个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且听从二项分布．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】利用独立重复试验的概率模型，推断3个命题的真假，推出结果即可．【解析】解：①某同学投篮投中的概率，该运动员重复次投篮，则命中次数听从二项分布，正确；②福彩中奖概率为，某人一次买了张，中奖张数是一个随机变量，满意二项分布；所以②正确；③从装有个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，则的可能取值为、、、、、，且，，，，，，不是二项分布，所以③不正确；故选：C．2．已知随机变量X听从二项分布，若，则等于（

）A． B．8 C．12 D．24【答案】D【分析】依据二项分布的数学期望和方差公式，再结合数学期望和方差性质求解即可.【解析】随机变量X听从二项分布，，因为，所以.因为，所以.故选：D3．若随机变量，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据随机变量，由，解得，然后再由求解即可.【解析】因为随机变量，所以，解得，所以随机变量，所以，故选：D.4．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中听从超几何分布的是()A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】依据超几何分布的定义逐项推断后可得正确的选项.【解析】对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球，而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球，故该随机变量不听从超几何分布，同理②中的随机变量不听从超几何分布.对于③，的可能取值为，表示取出4个白球；表示取出3个白球1个黑球；表示取出2个白球2个黑球；表示取出1个白球3个黑球；表示取出4个黑球；因此听从超几何分布.由超几何分布的概念知④符合，故选：B.5．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】依据题意得都是二等品的概率为，求解计算即可.【解析】全部都是二等品的概率为，故至少有1个是一等品的概率为.故选：D.6．一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别计算ξ为1，2，3时的概率即可得到答案.【解析】随机变量ξ的可能值为1，2，3，，，.故选：C7．某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较便利，有6个不太便利现从中随意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太便利，下列概率中等于的是A． B．C． D．【答案】A【分析】X听从超几何分布，依据古典概型的概率公式计算即可．【解析】X听从超几何分布，因为有6个小镇不太便利，所以从6个不便利小镇中取4个，，故选A．【点睛】此题考查古典概型的概率公式和超几何分布，属于基础题.8．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（

）A． B．随机变量听从二项分布C．随机变量听从几何分布 D．【答案】C【分析】由题意知随机变量听从超几何分布，利用超几何分布的性质干脆推断各选项即可．【解析】解：由题意知随机变量听从超几何分布，故B错误，C正确；的取值分别为0，1，2，3，4，则，，，，，，故A，D错误．故选：C．9．某批零件的尺寸X听从正态分布，且满意，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则n的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】由正态分布解得每个零件合格的概率为，由对立事务得，即，令，由的单调性可解得结果.【解析】听从正态分布，且，，即每个零件合格的概率为合格零件不少于2件的对立事务是合格零件个数为零个或一个．合格零件个数为零个或一个的概率为，由，得，令，，单调递减，又，，不等式的解集为的最小值为故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由对立事务得，即.10．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）【答案】A【分析】当时，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出，；当时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出，，即可得解．【解析】当时，ξ的可能取值为1，2，3，，，，∴，；当时，η可取1，2，3，4，，，，，∴，；∴，．故选：A．【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.11．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参与学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则等于A． B．C． D．【答案】C【解析】求出,即得解.【解析】由题得,所以.故选：C.【点睛】本题主要考查超几何分布概率的计算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.12．设随机变量（且），最大时，（

）A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01【答案】C【分析】依据给定条件，求出最大时的M值，再利用超几何分布的期望公式计算作答.【解析】随机变量，则，因最大，则有，即，，整理得，解得，而，则，所以.故选：C【点睛】关键点睛：娴熟驾驭组合数公式，这是正确计算的关键．二、多选题13．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（

）A．X听从二项分布 B．C．X的期望 D．X的方差【答案】ABC【分析】推导出，由此利用二项分布的性质能求出结果．【解析】解：由于二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的全部结果有4类：①后4个数出现0，，记其概率为；②后4个数位只出现1个1，，记其概率为；③后4位数位出现2个1，，记其概率为，④后4个数为上出现3个1，记其概率为，⑤后4个数为都出现1，，记其概率为，故，故正确；又，故正确；，，故正确；，的方差，故错误．故选：．【点睛】本题考查命题真假的推断，考查二项分布的性质等基础学问，考查运算求解实力，属于中档题．14．已知离散型随机变量听从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（

）A． B．时，C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小【答案】ABC【分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满意二项分布，利用二项分布进行分析，选项C，D依据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可.【解析】对于A选项，由概率的基本性质可知，，故A正确，对于B选项，由时，离散型随机变量听从二项分布，则，所以，，所以，故B正确，对于C,D选项，，当时，为正项且单调递增的数列，故随着的增大而增大故选项C正确，当时，为正负交替的摇摆数列，故选项D不正确.故选：ABC.15．某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列推断正确的是（

）A．随机变量X听从二项分布 B．随机变量Y听从超几何分布C． D．【答案】ABD【分析】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布，故两个选项均正确；C，D选项，可进行计算推断.【解析】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；对于D选项，该批产品有M件，则，，因此D正确；对于C选项，假如C正确可得，则D错误，冲突！故C错误．故选：ABD.16．为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，接受“10合1混采检测”，即：每10个人的咽拭子合进一个采样管一起检测．假如该采样管中检测出来的结果是阴性，表示这10个人都是平安的．否则，立即对该混采的10个受检者短暂单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定这10个人中的阳性者．某地区发觉有输入性病例，须要进行全员核酸检测，若该地区共有10万人，设感染率为p（每个人受感染的概率），则（

）A．该地区核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为人B．随机的10个一起检测的人所需检测的平均次数为次C．该区接受“10合1混采检测”，须要重新采集单管拭子的平均人数为人D．该区接受“10合1混采检测”比一人一检大约少用份检测试剂【答案】BD【分析】依据二项分布即可求解A，设随机变量表示这10个人一共所需的检验次数，求出全部取值和相应的概率，再求出的期望即可即可推断B,依据B选项可求解10万人接受“10合1混采检测”须要检测的次数，即可推断CD.【解析】感染率为，没有感染的概率为，则为阴性的人数为,则，所以核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为，故A错误，感染率为，10个人的咽拭子混合在一起检测时，设随机变量表示这10个人一共所需的检验次数，若第一次混检都是阴性，所需检测次数为1，；若是阳性，每人还得再单独检测一次，此时，且，，于是平均检测次数是，故B正确，接受“10合1混采检测”，1管中须要重新采样的概率为，所以10万人中须要重新采集单管拭子的平均人数为人，故C错误，实行“10合1混采检测”方案，10万人可能须要进行检测的平均次数大约为：，即进行“10合1混采检测”方案，比“一人一检”方案少运用约份检测试剂,故D正确，故选：BD三、填空题17．设随机变量ξ听从二项分布，则函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点的概率是________.【答案】【分析】由存在零点结合判别式即可求出ξ≤4，由已知二项分布可求出.【解析】由函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点，得Δ=16-4ξ≥0，即ξ≤4.又因为变量ξ~B，所以所求概率.故答案为:.【点睛】关键点睛:本题关键是由存在零点求出的取值范围，结合二项分布即可求出所求.18．一台仪器每启动一次都随机地出现一个4位的二进制数，其中的各位数字中，，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的数字为，则称这次试验胜利．若胜利一次得2分，失败一次得分，则54次这样的重复试验的总得分的方差为______．【答案】【分析】由题可求出试验胜利的概率，再利用二项分布及其方差的性质即求.【解析】启动一次出现数字为的概率，设试验胜利的次数为，则，所以的方差为，易得总得分，所以．故答案为：.19．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：①，；②；③；④.其中正确的是________．(填上全部正确项的序号)【答案】①②④【分析】依据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解.【解析】由题意可知X听从超几何分布，η也听从超几何分布．∴E(X)＝＝，E(η)＝＝.又X的分布列X012P∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝，D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝.η的分布列为η123P∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝，D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝－2＝.∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确．故答案为：①②④.20．若一个随机变量的分布列为，其中则称听从超几何分布，记为，并将记为，则___________.【答案】【分析】依据题中的计算公式代入数据求解即可.【解析】依据题意，故答案为：.四、解答题21．将一枚质地匀整的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求：(1)求X的分布列；(2)求．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）依据二项分布即可求解概率以及分布列.（2）由二项分布的期望公式即可求解.【解析】（1）由题意，抛一枚匀整的硬币，正反面朝上的概率均为，所以将一枚匀整的硬币重复抛掷4次，正面朝上的次数，故即,

,

,

,

；X的分布列如下:01234（2）,22．分别指出下列随机变量听从什么分布：(1)即将诞生的100个新生婴儿中，男婴的个数X；(2)已知某幼儿园有125个孩子，其中男孩有62个，从这些孩子中随机抽取10个，设抽到男孩的个数为X．【答案】(1)二项分布(2)超几何分布【分析】（1）利用二项分布的特征求解，（2）利用超几何分布特点求解(1)（1）X的可能取值为0,1,2，，且每个新生儿的性别相互独立，故男婴的个数X听从二项分布(2)（2）X的可能取值为0,1,2，，且是不放回抽样，故抽到男孩的个数为X听从超几何分布23．某公司为聘请新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，依据题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．然后求出即可；（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是，求出取每个值时的概率，即可得分布列，然后依据二项分布期望的求法求解即可.【解析】（1）解：由题意得：设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．；（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．，，，．应聘者乙正确完成题数的分布列为24．在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的学问实力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成果在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作阅历共享，每位同学最多共享一次，记第一次抽到女生为事务A，其次次抽到男生为事务B．(1)求，，(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行阅历共享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)，(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）法一：依据古典概型结合条件概率运算求解；法二：依据独立事务概率乘法公式结合条件概率运算求解；（2）依据题意结合超几何分布求分布列和期望.【解析】（1）方法一：由题意可得：，“第一次抽到女生且其次次抽到男生”就是事务AB：“第一次抽到男生且其次次抽到男生”就是事务，从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含个等可能的样本点，因为，，所以，故．方法二：，“在第一次抽到女生的条件下，其次次抽到男生”的概率就是事务A发生的条件下，事务B发生的概率，则，，故．（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3，，，，，X的分布列：X0123PX的数学期望.25．党的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向其次个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次特殊重要的大会.细致学习宣扬和全面实行党的二十大精神，是当前和今后一个时期的首要政治任务和头等大事.某校支配实行党的二十高校问竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机选择出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参与，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.(1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率；(2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为，求的分布列及.【答案】(1)甲、乙两人进入正赛的概率分别为(2)分布列见详解，【分析】（1）依据超几何分布和二项分布运算求解；（2）依据（1）中的数据，求分布列和期望，再依据期望性质求.【解析】（1）设甲、乙两人答对的题目数分别为，则，可得甲进入正赛的概率，乙进入正赛的概率，故甲、乙两人进入正赛的概率分别为.（2）由题意可得：的可能取值为，则有：，，，则的分布列为：012则，故.26．随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作实力的重要指标—询单转化率，是指询问该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值.等级询单转化率人数(1)求该网店询单转化率的平均值；(2)现从这10位客服中随意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概率；(3)已知该网店日均询问顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店询问的每位顾客由系统等可能地支配给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店询问的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经询问日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应当限制在什么范围？【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由已知分别求出、等级客服的询单转化率，依据平均数公式求出即可；（2）设A等级客服的人数为，则的可能取值为，对应的询单转化率中位数分别为，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；（3）依据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出a的取值范围.【解析】（1）解：由已知可得，等级客服的询单转化率为，等级客服的询单转化率为，所以该网店询单转化率的平均值为.（2）解：由（1）知：、等级客服的询单转化率分别为.设抽取4位客服中，等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4.由题意可得，听从超几何分布.当时，4人转化率为，中位数为；当时，4人转化率为，中位数为；当时，4人转化率为，中位数为；当时，4人转化率为，中位数为；当时，4人转化率为，中位数为.所以，当时，这4人的询单转化率的中位数不低于.因为，听从超几何分布，所以的分布列为，.所以.（3）解：设改革前后等级客服的接待顾客人数分别为.则改革前，每位进店询问顾客被等级客服接待的概率为，所以，则.因为，等级客服的询单转化率分别为，所以改革前日均成交人数为；改革后，每位进店询问顾客被等级客服接待的概率为，所以，则，故改革后日均成交人数为.由得：，①因为每位顾客被一位等级客服接待的概率为，又，所以每位顾客被一位等级客服接待的概率为.又每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，所以，解得：，②由①②得：，所以应当限制在.27．中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，依据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星竞赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的竞赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是一般球，最终一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最终一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点起先投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立.(1)记球员甲投完1个一般球的得分为X，求X的方差D（X）；(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；(3)在竞赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位运用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个一般球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.【答案】(1)(2)(3)6【分析】(1)用两点分布的概率公式计算即可.(2)设出事务，分别计算P(A)、P(AB)，用条件概率公式计算得结果.(3)用超几何分布概率公式分别计算出全部可能状况的概率，再计算出数学期望.（1）由题设,听从参数为的两点分布,.（2）记表示事务:“甲投完第一个三分点位的五个球得到了2分”;记表示事务:“甲投中花球”,则于是（3）由题设值可取,则于是28．某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐全部的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶