高三数学二轮培优微专题36讲08.隐零点代换与估计

隐零点代换与估计隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.高考中曾多次考察隐零点代换与估计，所以本节我们做一个特地的分析与探讨.一．基本原理1.解题步骤：第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；第2步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；第3步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简：①要么消退最值式中的指对项②要么消退其中的参数项；从而得到最值式的估计.2.隐零点的同构事实上，许多隐零点问题产生的缘由就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到的这两个问题，它的隐零点代换则须要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例：一类同构式在隐零点问题中的应用：原理分析所以在解决形如，这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.二．典例分析1.隐零点代换例1．已知函数.（1）当时，若曲线在处的切线方程为，证明：；（2）若，求的取值范围.解析：（2）记，依题意，恒成立，求导得，令，则在上单调递增，又，则，使得，即成立，则当单调递减；当单调递增，，由，得，于是得，当时，令，有在上单调递减，而在上单调递增，即有函数在上单调递减，于是得函数在上单调递减，则当时，，不合题意；当且时，由（1）中知，，有，从而，由知，因此满意，又在上单调递增，则有，而，所以实数的取值范围是.例2．已知函数（e是自然对数的底数）．（1）当时，试推断在上极值点的个数；（2）当时，求证：对随意，．解析：（1）在上只有一个极值点，即唯一微小值点；（2）证明：由，设，则在上是增函数，当时，，因为，所以，所以存在，使得，当时，，则，即在上单调递减，当时，，则，即在上单调递增，故是函数的微小值点，也是最小值点，则，又因为，所以，即证：对随意，，即证：对随意，，设，则在上单调递减，因为，所以，故，故对随意，.例3.（2015四川卷）已知函数.设为的导函数，摸索讨的单调性；证明：存在，使得在区间恒成立，且在内有唯一解.分析：第（1）问常规操作.此处分析第（2）问.对于其次问的分析尤为重要，因为这个题目用常规的恒成立与零点处理手法很难奏效，终归的结构是很困难的.若要在区间恒成立等价于，而同时在内有唯一解，这就表现，这才是这个题目的突破点.既然要则在区间必定先减后增，于是函数的最小值不在端点处出现而是区间内点，这就意味着最小值处导函数值为零.基于上面的分析，我们便可入手解题.解析：由，得．代入解析式，令,则，．故存在，使得．令，．由知，函数在区间上单调递增．所以．即．当时，有，．由(1)知，在区间上单调递增，故当时，，从而；当时，，从而．所以，当时，．综上所述，存在，使得在区间内恒成立,且在区间内有唯一解．点评：通常我们处理隐零点的策略是代换掉指对项，但此解法利用隐零点代换掉参数，从而得到不含参数的表达式来解决，这个思想值得我们学习.例4.（2024新高考1卷）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；（2）若，求的取值范围.解析：（1）切线方程为,故切线与坐标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为.（2）由于,，且.设,则即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此,故恒成立；当时，∴不是恒成立.综上所述，实数的取值范围是.2.隐零点同构例5.已知函数（，为自然对数的底数），.（1）若有两个零点，求实数的取值范围；（2）当时，对随意的恒成立，求实数的取值范围.解析：（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根，由，知有两个零点有两个相异实根.令，则，由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，，又，当时，，当时，当时，，有两个零点时，实数的取值范围为；（2）当时，，原命题等价于对一切恒成立对一切恒成立.令

，，令，，则，在上单增，又，，使即①，当时，，当时，，即在递减，在递增，由①知，函数在单调递增，即，，实数的取值范围为.注：本题再次涉及隐零点同构，否则的话，很难找到隐零点详细的代换方向！例6.（2024成都一诊理）已知函数.（1）当，探讨的单调性；（2）当时，若恒成立，求的取值范围.解析：（2）由题意，当时，不等式恒成立.即恒成立，即恒成立.设.则.设，则.当时，有.在上单调递增，且，.函数有唯一的零点，且.当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.即为在定义域内的最小值..，得，.令，.方程等价于，.而在上恒大于零，在上单调递增.故等价于，.设函数，.易知单调递增.又，，是函数的唯一零点.即，.故的最小值.实数b的取值范围为.注：留意，这一步代换！3.隐零点的估计.例7.（2017新课标2卷）已知函数，且．（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且QUOTEe-2<f(x0)<2习题2.解析：（1）．（2）由（1）知，．设，则．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，．因此，所以是的唯一极大值点．由得，故．由得，．因为是在的最大值点，由，得．所以．例8.（2016年全国2卷）（1）探讨函数的单调性，并证明当时，；（2）证明：当时，函数有最小值．设的最小值为，求函数的值域．解析（1）证明：∵当时，∴在上单调递增∴时，∴（2），由（1）知，单调递