高中数学1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第2课时教学设计新人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量探讨距离、夹角问题（第2课时）一、教学内容1.能用向量方法得到两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角的向量表达式；2.解决立体几何中有关角度的度量问题.二、教学目标1.能用向量方法解决简洁夹角问题.2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在探讨几何问题中的作用．三、教学重点与难点1.重点：利用向量的数量积探讨两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角.2.难点：依据问题的条件选择适当的基底.四、教学过程设计环节一：创设情境，引入课题学问点1：求解直线与直线所成的角导入问题：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量探讨角度问题有其独特的优势.本节我们用空间向量探讨夹角问题，你认为可以按怎样的依次绽开探讨.师生活动：学生独立思索、小组沟通后，通过全班探讨达成对探讨路径的共识，即：直线与直线所成的角----直线与平面所成的角----平面与平面所成的角.设计意图:明确探讨路径,为详细探讨供应思路.环节二：视察分析，感知概念问题1：例7如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．追问1:这个问题的已知条件是什么?依据以往的阅历,你准备通过什么途径将这个立体几何问题转化为向量问题?用向量方法求解几何问题时,首先要用向量表示问题中的几何元素.对于本问题,如何用向量表示异面直线与?它们所成的角可以用向量之间的夹角表示吗?分析：求直线AM和CN夹角的余弦值，可以转化为求向量与夹角的余弦值．为此须要把向量，用适当的基底表示出来，进而求得向量，夹角的余弦值．师生活动:首先,老师分析题目的条件:已知正四面体的棱长和棱与棱之间夹角,和是中线,其模长可求,与其他棱的夹角也是确定的,这些条件都有利于向量基底的选取.接着在学生回答的基础上,老师补充后形成共识:求异面直线和的夹角时,只要用基底向量表示出它们的方向即可,这样,异面直线和夹角,可以转化为求向量与的夹角.为此,选择为基底并表示向量.解：化为向量问题如图1.4-19，以作为基底，则，．设向量与的夹角为，则直线和夹角的余弦值等于．在此基础上,将此问题推广到一般,学生思索后作答,老师对学生的回答赐予补充.梳理出将立体几何问题转化为向量问题的途径:途径1:通过建立一个基底,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素,从而把立体几何问题转化为向量问题;途径2:通过建立空间直角坐标系,用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素,从而把立体几何问题转化为向量问题.事实上,空间直角坐标系也是基底,是“特别”的基底.进行向量运算．又和均为等边三角形，所以．追问2:请你通过向量运算,求出向量夹角的余弦值,进而求出直线和夹角的余弦值.所以．回到图形问题所以直线和夹角的余弦值为．师生活动:学生利用向量的数量积求出向量夹角的余弦值,从而解决问题.思索以上我们用量方法解决了异面直线AM和CN所成角的问题，你能用向量方法求直线AB与平面BCD所成的角吗？追问3:回顾问题1的求解过程,你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成的角的一般方法吗?一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得．也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，，则．师生活动:老师引导学生梳理,得出:将直线与直线所成的角转化为直线的方向向量的夹角,进而利用向量的数量积求解.也就是说,若异面直线所成的角为,其方向向量分别是,则 在此基础上,老师板书下面的过程,让学生进一步相识用向量方法解决几何问题的基本步骤:几何问题向量问题向量运算几何说明.设计意图:通过用向量方法求解一个空间直线与直线所成角的详细问题,归纳得出用向量方法求解直线与直线所成角的角度的一般方法.环节三：抽象概括，形成概念学问点2：类比探讨,求解直线与平面、平面与平面所成的角问题2:你能用向量方法求问题1中直线与平面所成的角吗?一般地,如何求直线与平面所成的角?追问:这个问题的已知条件是什么?如何将几何问题转化为向量问题?师生活动:老师引导学生分析已知条件,明确平面的法向量在解决直线与平面所成角的问题中的关键作用,将直线与平面所成的角转化为直线的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角,进而利用向量的数量积求解.进一步地,师生共同给出求直线与平面所成角的步骤和方法.类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．如图1.4-20，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量，平面的法向量为，则．设计意图:通过本问题的解决,让学生体会法向量在求解直线与平面所成角时的关键作用,并得出一般的求解直线和平面所成角的向量表达式.环节四：辨析理解，深化概念问题3:类比已有的直线、平面所成角的定义,你认为应如何合理定义两个平面所成的角?进一步地,如何求平面和平面的夹角?师生活动:老师给出两个相交平面的图形,让学生类比已有的空间基本元素所成角的定义,给两个平面所成的角下定义.老师可以追问学生:“角度是度量方向差异的量,那么确定平面方向的是什么?”从而启发学生用两个平面的法向量刻画两个平面所成的角.在学生探讨、沟通的基础上,老师小结如下:如图1.4-21，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角．类似于两条异面直线所成的角，若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角．设平面与平面的夹角为，则．追问1:如何求平面的法向量?师生活动:学生思索、回答后,师生共同总结求平面法向量的方法:在平面内找两个不共线的向量和,设平面的法向量为,则 依据这个不定方程组,可以求得一个法向量.老师在学生回答的基础上进一步指出,求得的是法向量中的一个,不是全部的法向量,但全部法向量可以用,.表示,即追问2:你能说说平面与平面的夹角与二面角的区分和联系吗?师生活动:学生思索、回答,老师与学生共同总结.二面角的大小是指其两个半平面的张开程度,可以用其平面角的大小来定义,它的取值范围是;而平面与平面的夹角是指平面与平面相交,形成的四个二面角中不大于的二面角.设计意图:引导学生类比已有的空间基本元素所成角的定义,建立平面与平面的夹角的概念,并进一步利用向量方法得到求解两个平面夹角的表达式.结合法向量的求解,使学生体验不定方程组的“通解”和“特解”之间的关系,体会一般性寓于特别性之中的道理.通过对平面与平面的夹角和二面角的辨析,使学生对平面与平面的夹角的理解更加深化.环节五：课堂练习，巩固运用巩固应用,解决立体几何中的角度问题例8如图1.4-22，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，．求平面与平面夹角的余弦值．分析：因为平面与平面的夹角可以转化为平面与平面的法向量的夹角，所以只须要求出这两个平面的法向量的夹角即可．解：化为向量问题以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系．设平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角．进行向量运算因为平面，所以平面的一个法向量为，依据所建立的空间直角坐标系，可知，，．所以，．设，则所以所以取，则．回到图形问题设平面与平面的夹角为，则．即平面与平面的夹角的余弦值为．师生活动:老师引导学生先分析题意,明确解题思路,再让学生独立解答,教帅依据学生的解答板书补充,其中重点关注法向量的求法.为了保证解题规范,老师展示学生的解答,并适当完善学生板书.设计意图:通过例题巩固平面与平面所成的角的求解方法,进一步理解法向量的夹角和两个平面所成角的关系,进一步体会向量方法解决立体几何问题的一般步骤.练习（第38页）1．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是()A．B．C．D．1．答案：A解析：(方法1，坐标法)建立如图（1）所示的空间直角坐标．设，则，，，，，，．设与所成角为，．(方法2，基向量法)取为基底，如图（2），设，，，，则，，．设与所成角为，．(方法3，几何法)如图（3），取中点，连接，，，设．，分别为，的中点，，，，．四边形为平行四边形，，或其补角为异面直线与所成的角．在中，，，，．设与所成角为，则．2．，，是从点动身的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是()A．B．C．D．2．答案：C解析：把，，放在正方体中，如图所示，与，与，与的夹角均为，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，，，，，设平面的法向量，，设，则，，，．设直线与平面所成角为，则，．3．如图，正三棱柱的全部棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值．3．解析：∵正三棱柱的全部棱长均为2，取的中点，则，平面，取的中点，连接，，，两两垂直．以为原点建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，，．设平面的法向量为，则，取，则，，，设平面的法向量为，，取，则，，．．设平面与平面的夹角为，则．4．如图，和所在平面垂直，且，．求：（1）直线AD与直线BC所成角的大小；（2）直线AD与平面BCD所成角的大小；（3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值．4．解析：以为原点建立如图所示空间直角坐标系Bxyz．设，则，，．，，．（1），，与所成角为．（2）是平面的一个法向量，设AD与平面BCD所成角为，则．，即AD与平面BCD所成角的大小为45°．（3）设是平面ABD的法向量，则，，即，取，则，，．．设平面ABD和平面BDC的夹角为，则．例9图1.4-23为某种礼物着陆伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同．求着陆伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2，精确到0.01N)．师生活动:老师引导学生思索下列问题:(1)着陆伞匀速下落,下落过程中,8根绳子拉力的合力大小与礼物重力大小有什么关系?(2)每根绳子的拉力和合力有什么关系?(3)如何用向量方法解决这个问题?师生共同分析,将实际问题转化数学问题,进而解决问题.设计意图:让学生体会向量方法在解决实际问题中的作用.分析：因为着陆伞匀速下落，所以着陆伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量．解：如图1.4-24，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为．因为，所以在上的投影向量为．所以8根绳子拉力的合力．又因为着陆伞匀速下落，所以．所以，所以．例10如图1.4-25，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求平面与平面的夹角的大小．你能找到解决问题的方法吗?师生活动:老师引导学生依据条件确定利用空间直角坐标系解决问题.建立以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系.分析：本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题．解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图1.4-26所示的空间直角坐标系，设．（1）证明：连接，交于点，连接．依題意得，，．因为底面是正方形，所以点是它的中心，故点的坐标为，且，，所以，即．而平面，且平面，因此平面．（2）证明：依题意得，，又，故，所以．由已知，且，所以平面．（3）解：已知，由（2）可知，故是平面与平面的夹角．设点的坐标为，则．因为，所以，即，，，设，则，所以，点的坐标为．又点的坐标为，所以．所以．所以，即平面与平面的夹角大小为．追问2:直线和平面是由哪些要素确定的?直线和平面的平行关系是用这些要素之间怎样的关系来刻画的?你能用这些要素之间的关系证明平面吗?师生活动:师生共同回顾用向量法证明直线与平面平行的步骤,设直线的方向向量为,平面的法向量为,则.在此基础上,用坐标表示以及平面的一个法向量,进而利用向量的数量积运算解决问题.追问3:直线和平面的垂直关系是用确定直线和平面的要素之间怎样的关系来刻画的?你能证明平面吗?师生活动:师生共同回顾用向量法证明直线与平面垂直的步骤,设直线的方向向量为,平面的法向量为,则.在此基础上,用坐标表示以及平面的一个法向量,进而利用向量的数乘运算解决问题.追问4:如何依据平面与平面的夹角与两个平面的法向量的关系求出平面与平面的夹角?师生活动:老师引导学生用向量及坐标表示平面的法向量,进而利用向量的数量积运算,求得平面与平面的法向量的夹角,进而求得这两个平面的夹角.设计意图:通过例题,让学生进一步体会用向量方法解决空间的位置关系和度量问题的过程、方法,进一步体会用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”.例8如图1.4-22，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，．求平面与平面夹角的余弦值．分析：因为平面与平面的夹角可以转化为平面与平面的法向量的夹角，所以只须要求出这两个平面的法向量的夹角即可．解：化为向量问题以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系．设平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角．进行向量运算因为平面，所以平面的一个法向量为，依据所建立的空间直角坐标系，可知，，．所以，．设，则所以所以取，则．回到图形问题设平面与平面的夹角为，则．即平面与平面的夹角的余弦值为．练习（第38页）1．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是()A．B．C．D．1．答案：A解析：(方法1，坐标法)建立如图（1）所示的空间直角坐标．设，则，，，，，，．设与所成角为，．(方法2，基向量法)取为基底，如图（2），设，，，，则，，．设与所成角为，．(方法3，几何法)如图（3），取中点，连接，，，设．，分别为，的中点，，，，．四边形为平行四边形，，或其补角为异面直线与所成的角．在中，，，，．设与所成角为，则．2．，，是从点动身的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是()A．B．C．D．2．答案：C解析：把，，放在正方体中，如图所示，与，与，与的夹角均为，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，，，，，设平面的法向量，，设，则，，，．设直线与平面所成角为，则，．3．如图，正三棱柱的全部棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值．3．解析：∵正三棱柱的全部棱长均为2，取的中点，则，平面，取的中点，连接，，，两两垂直．以为原点建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，，．设平面的法向量为，则，取，则，，，设平面的法向量为，，取，则，，．．设平面与平面的夹角为，则．4．如图，和所在平面垂直，且，．求：（1）直线AD与直线BC所成角的大小；（2）直线AD与平面BCD所成角的大小；（3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值．4．解析：以为原点建立如图所示空间直角坐标系Bxyz．设，则，，．，，．（1），，与所成角为．（2）是平面的一个法向量，设AD与平面BCD所成角为，则．，即AD与平面BCD所成角的大小为45°．（3）设是平面ABD的法向量，则，，即，取，则，，．．设平面ABD和平面BDC的夹角为，则．环节六：归纳总结,反思提升老师引导学生回顾本单元的学习内容,并回答以下问题:（1）向量方法解决立体几何问题的基本步骤是什么?你能用一个框图表示吗?（2）通过本节的学习,你对立体几何中的向量方法是否有了确定的相识?请结合例题和上面的框图谈谈体会.（3）解决立体几何中的问题,可用三种方法:综合法、向量法、坐标法.你能说出它们各自的特点吗?师生活动:师生共同梳理总结本单元的学习内容,引导学生画出用向量法解决立体几何问题的一般步骤的“三步曲”的框图,详细如下:师生活动：师生共同梳理总结本单元的学习内容，引导学生画出用向量法解决立体几何问题的一般步骤的“三步曲”的框图.进一步地，在学生回答的基础上，老师指出解决立体几何问题的综合法、向量法、坐标法的特点：综合法通过纯粹的逻辑推理解决问题，向量法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标法常常与向量法结合起来运用.对于详细的问题，应依据它的条件和所求选择合适的方法. "设计意图:这里的小结既是本节课的小结，也是本单元的小结.目的是从宏观的思想方法和中观的解题步骤方面进行总结，使学生驾驭用向量方法解决立体几何问题的一般方法，并通过综合法、向量法、坐标法的比较，相识它们各自的特点，进一步加深对向量法的相识.环节七：目标检测，作业布置布置作业教科书习题1.4第14,15题.练习（第41页）1．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，求平面与平面的夹角．1．解析：取基底，设，，，则，，，．设平面，的夹角为，则．2．如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点．求异面直线，所成角的余弦值．2．解析：(方法1)取基底．，．，，．设异面直线，所成角为，则．(方法2)如图，连接，取的中点，连接，，为的中点，，或其补角是异面直线，所成的角，在中，，，，．∴异面直线所成角的余弦值为．3．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，．求直线与平面所成角的正弦值．3．解析：由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．，．，，，．∴，，．设平面的法向量为，∴，取，则，，．．设直线与平面所成角为，则．习题1.4（第41页）1．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，求直线，的方向向量．1．解析：连接，则．．2．如图，在直三棱柱中，，，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．（1）求平面的法向量；（2）求平面的法向量．2．解析：（1），，，，．设平面的法向量为，，取，则，．∴．（2），，，，．设平面的法向量为，，取，则，，．3．如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，求证：．3．解析：(方法1)如图，取基底，为中点，几何体为平行六面体，，，，．(方法2)如图，取的中点，连接，，，．在四边形中，，为中点，，∴四边形为平行四边形．．在四边形中，，为中点，，∴四边形为平行四边形，，，∴四边形为平行四边形，．4．如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点．点在线段上，且．求证：平面．4．解析：(方法1)建立如图（1）所示的空间直角坐标系，设，，为的中点，，又为的中点，．设，，，，，，，，∵平面的一个法向量为，，平面．(方法2)如图（2），取的中点，在上取点，使．在中，，为中点，，又为的中点，，在中，，，，，∴四边形为平行四边形，．又平面，平面，平面．(方法3)设，，，则，，所以．又因为平面，是平面的法向量，，所以．故平面．5．如图，在正方体中，点在上，且，点在上，且．求证：（1）；（2）．5．证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，，．，，，，，，．，，，，，，，，又，，，，，．6．如图，在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点，求点到直线的距离．6．解析：建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，又为平面的中心，为的中点，，又，，，取，，，∴点到直线的距离为．7．如图，四面体OABC的全部棱长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE．（1）计算DE的长；（2）求点O到平面ABC的距离．7．解析：(方法1)如图，取的中心，连接交于，则面．在上取点，使，，．建立如图所示的空间直角坐标系．（1），，，又，，，，，即．（2）O到平面ABC的距离即为．(方法2)（1）设一组基底，，，则，．，．．（2）连接，取的中心，连接，则即为点到平面的距离．，．8．如图，四面体的每条棱长都等于，，分别是，的中点．求证：，．8．解析：(方法1)设一组基底，，，则，．，．，，，．(方法2)连接，．，都是等边三角形，且为的中点，．又为的中点，．同理可证．9．如图，分别是正方体的棱和的中点，求：（1）和所成角的大小；（2）和所成角的大小．9．解析：(方法1)设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，．（1），，即和所成角为60°．（2），，即与所成角为．(方法2)设正方体的棱长为1．，．（1）(1)∵，，，，即和所成角为60°．（2），，，，即与所成角为．10．如图，在正方体中，，，，，，分别是，，，，，各棱的中点．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的余弦值．解析：(方法1)（1）证明：设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系．则，，，，，．，，，，．，，又，平面．（2）解：由（1）知平面的一个法向量为，，，．∴直线与的夹角的余弦值为．与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角的余弦值为．(方法2)设正方体的棱长为1．（1）证明：∵，，，，，，，又，⊥平面．（2）解：，，∵，，与平面所成角的正弦值为，与平面所成角的余弦值为．11．如图，在长方体中，，，是的中点．求证：平面．11．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．为中点，，，，．设平面的法向量，则，取，则，，．又，，平面．12．如图，在长方体中，点，，分别在棱，，上，，点，，分别在棱，，上，．求证：平面平面．12．解析：在直线，，上分别取以D为起点的单位向量，它们构成空间一个基底．，，，，．．，，．又平面，平面，平面，平面，，，所以平面平面．13．如图，已知