北京市第171中学2025届数学高一下期末教学质量检测模拟试题含解析

北京市第171中学2025届数学高一下期末教学质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差2．两数与的等比中项是（）A．1 B．－1 C．±1 D．3．已知函数的导函数的图象如图所示，则（）A．既有极小值，也有极大值 B．有极小值，但无极大值C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值4．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边落在射线上，则（）A． B． C． D．5．设，是定义在上的两个周期函数，的周期为，的周期为，且是奇函数．当时，，，其中．若在区间上，函数有个不同的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．英国数学家布鲁克泰勒（TaylorBrook，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（

）其中，，例如：．试用上述公式估计的近似值为（精确到0.01）A．0.99 B．0.98 C．0.97

D．0.967．下列函数的最小值为的是（）A． B．C． D．8．如图，在中，面，，是的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．89．若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是A． B． C． D．10．若变量，且满足约束条件，则的最大值为（）A．15 B．12 C．3 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数在时取得最小值，则________．12．函数的最小正周期为__________.13．已知，，，则的最小值为______．14．已知直线平分圆的周长，则实数________．15．已知则sin2x的值为________.16．若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角的对边分别为．若．（1）求；（2）求的面积的最大值．18．已知三棱锥中，是边长为的正三角形，；（1）证明：平面平面；（2）设为棱的中点，求二面角的余弦值.19．已知点，求的边上的中线所在的直线方程．20．已知函数，将的图象向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.（1）求实数的值；（2）求函数与直线相邻交点间距离的最小值.21．四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是等边三角形，为的中点，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，能否在棱上找到一点，使平面平面?若存在，求的长.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确．②原始平均数，后来平均数平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确③由②易知，C不正确．④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2、C【解析】试题分析：设两数的等比中项为，等比中项为-1或1考点：等比中项3、B【解析】由导函数图象可知，在上为负，在上非负，在上递减，在递增，在处有极小值，无极大值，故选B.4、D【解析】

在的终边上取点,然后根据三角函数的定义可求得答案.【详解】在的终边上取点,则,根据三角形函数的定义得.故选:D【点睛】本题考查了利用角的终边上的点的坐标求三角函数值,属于基础题.5、B【解析】

根据题意可知，函数和在上的图象有个不同的交点，作出两函数图象，即可数形结合求出．【详解】作出两函数的图象，如图所示：由图可知，函数和在上的图象有个不同的交点，故函数和在上的图象有个不同的交点，才可以满足题意．所以，圆心到直线的距离为，解得，因为两点连线斜率为，所以，．故选：B．【点睛】本题主要考查了分段函数的图象应用，函数性质的应用，函数的零点个数与两函数图象之间的交点个数关系的应用，意在考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题．6、B【解析】

利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案．【详解】由题设中的余弦公式得，故答案为B【点睛】本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7、C【解析】分析：利用基本不等式的性质即可判断出正误，注意“一正二定三相等”的使用法则．详解：A.时显然不满足条件；B.其最小值大于1．D.令因此不正确．故选C.点睛：本题考查基本不等式，考查通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．8、C【解析】试题分析：因为面，所以，则三角形为直角三角形，因为，所以，所以三角形是直角三角形，易证，所以面，即，则三角形为直角三角形，即共有7个直角三角形；故选C．考点：空间中垂直关系的转化．9、C【解析】

由题意得，故得平移后的解析式为，根据所的图象关于点对称可求得，从而可得，进而可得所求最小值．【详解】由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度所得图象对应的解析式为，因为平移后的图象关于点对称，所以，故，又，所以．所以，由得，所以当或，即或时，函数取得最小值，且最小值为．故选C．【点睛】本题考查三角函数的性质的综合应用，解题的关键是求出参数的值，容易出现的错误是函数图象平移时弄错平移的方向和平移量，此时需要注意在水平方向上的平移或伸缩只是对变量而言的．10、A【解析】

作出可行域，采用平移直线法判断何处取到最大值.【详解】画出可行域如图阴影部分，由得，目标函数图象可看作一条动直线，由图形可得当动直线过点时，．故选A．【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数最值的计算，难度较易.求解线性目标函数的最值时，采用平移直线法是最常规的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】试题分析：因为，所以，当且仅当即，由题意，解得考点：基本不等式12、【解析】

用辅助角公式把函数解析式化成正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的最小正周期的公式求出最小正周期.【详解】,函数的最小正周期为.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最小正周期公式，考查了数学运算能力.13、【解析】

将所求的式子变形为，展开后可利用基本不等式求得最小值.【详解】解：，，，，当且仅当时取等号．故答案为1．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．由于已知条件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式来求得最小值了.14、1【解析】

由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a）在直线上，所以.故答案为1【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15、【解析】

利用二倍角的余弦函数公式求出的值，再利用诱导公式化简，将的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵，，则sin2x＝=，故答案为.【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．16、【解析】

利用直线垂直求出对称轴斜率，利用中点坐标公式求出中点，再由点斜式可得结果.【详解】求得，∵点，关于直线l对称，∴直线l的斜率1，直线l过AB的中点，∴直线l的方程为，即.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线垂直的性质，考查了直线点斜式方程的应用，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）用正弦定理将式子化为，进行整理化简可得的值，即得角B；（2）由余弦定理可得关于的等式，再利用基本不等式和三角形面积公式可得面积最大值。【详解】（1）由题得，，，，解得，，.（2），由余弦定理得，，整理得，又，即，则的面积的最大值为.【点睛】本题考查用正弦定理求三角形内角，由余弦定理和基本不等式求三角形面积最大值，是基础题型。18、（1）见解析（2）【解析】

（1）由题意结合正弦定理可得，据此可证得平面，从而可得题中的结论；（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，由空间向量的结论求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【详解】（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得，，，，平面，平面，平面平面.（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则设平面的一个法向量为则解得，，即设平面的一个法向量为则解得，，即由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明方法，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19、【解析】

设边的中点,则由中点公式可得：,即点坐标为所以边上的中线先的斜率则由直线的斜截式方程可得：这就是所求的边上的中线所在的直线方程.20、（1）1；（2）【解析】

（1）将化简可得，再由平移变换可得，由在区间内的最大值为，可得的值；（2）解方程，可得所求相交点距离的最小值.【详解】解：（1）所以，，∴当时，即时，函数取得最大值，∴.（2）根据题意，令，，∴或，.解得或，.因为，当时取等号，∴相邻交点间距离的最小值是.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变化及三角恒等变换与三角函数的性质，属于中档题.21、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）连接,根据三角形性质可得,由底面菱形的线段角度关系可证明,即证明平面,从而证明.（Ⅱ）易证平面平面,连接交于点,过作交