四川省富顺二中高2025届高一下数学期末联考试题含解析

四川省富顺二中高2025届高一下数学期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则等于()A． B． C． D．2．三棱锥中，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（）A． B． C． D．3．下列各角中，与角终边相同的角是（）A． B． C． D．4．已知点，,直线的方程为，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（）A． B． C． D．5．某种产品的广告费用支出与销售额之间具有线性相关关系，根据下表数据（单位：百万元)，由最小二乘法求得回归直线方程为.现发现表中有个数据看不清，请你推断该数据值为（)345582834★5672A．65 B．60 C．55 D．506．已知向量，，若，共线，则实数（）A． B． C． D．67．设是内任意一点，表示的面积，记，定义，已知，是的重心，则（）A．点在内 B．点在内C．点在内 D．点与点重合8．《九章算术》中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问若聘该女子做工半月（15日），一共能织布几尺（）A．75 B．85 C．105 D．1209．()A． B． C． D．10．已知等差数列和的前项和分别为和，．若，则的取值集合为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若两个向量与的夹角为，则称向量“”为向量的“外积”，其长度为.若已知，，，则.12．己知为数列的前项和，且，则_____．13．根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．14．方程的解集是______.15．方程的解为______．16．某小区拟对如图一直角△ABC区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观．已知,则面积最小值为____三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足，且（，且）.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式（3）设数列的前项和，求证：.18．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1，产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将，两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到，两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.19．已知和的交点为．（1）求经过点且与直线垂直的直线的方程（2）直线经过点与轴、轴交于、两点，且为线段的中点，求的面积．20．在中，内角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.21．近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表l所示：表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．(1)根据散点图判断，在推广期内，y=a+bx与(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；参考数据：其中υ参考公式：对于一组数据u1,υ1,

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

直接利用等差数列公式和等比中项公式得到答案.【详解】是与的等比中项，故即解得：故选：A【点睛】本题考查了等差数列和等比中项，属于常考题型.2、B【解析】是线段上一动点，连接，∵互相垂直，∴就是直线与平面所成角，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大．此时，，在直角△中，．三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，∴三棱锥的外接球的半径为，∴三棱锥的外接球的表面积为．选B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．3、B【解析】

给出具体角度，可以得到终边相同角的表达式.【详解】角终边相同的角可以表示为，当时，，所以答案选择B【点睛】判断两角是否是终边相同角，即判断是否相差整数倍.4、A【解析】

直线过定点，利用直线的斜率公式分别计算出直线，和的斜率，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围．【详解】解：直线整理为即可知道直线过定点，作出直线和点对应的图象如图：，，，，，要使直线与线段相交，则直线的斜率满足或，或即直线的斜率的取值范围是，故选．【点睛】本题考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，属于基础题．5、B【解析】

求出样本中心点的坐标，代入线性回归方程求解．【详解】设表中看不清的数据为，则，，代入，得，解得．故选：．【点睛】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6、C【解析】

利用向量平行的性质直接求解．【详解】向量，，共线，，解得实数．故选：．【点睛】本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7、A【解析】解：由已知得，f（P）=（λ1，λ2，λ3）中的三个坐标分别为P分△ABC所得三个三角形的高与△ABC的高的比值，∵f（Q）=（1/2，1/3，1/6）∴P离线段AB的距离最近，故点Q在△GAB内由分析知，应选A．8、D【解析】设第一天织尺，第二天起每天比前一天多织尺，由已知得，，故选D.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.9、A【解析】

将根据诱导公式化为后，利用两角和的正弦公式可得.【详解】.故选：A【点睛】本题考查了诱导公式，考查了两角和的正弦公式，属于基础题.10、D【解析】

首先根据即可得出，再根据前n项的公式计算出即可。【详解】，选D.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于难题.等差数列的常用性质有：（1）通项公式的推广：

（2）若

为等差数列，

；（3）若是等差数列，公差为，

，则是公差

的等差数列；二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解析】

故答案为3.【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，12、【解析】

根据可知，得到数列为等差数列；利用等差数列前项和公式构造方程可求得；利用等差数列通项公式求得结果.【详解】由得：，即：数列是公差为的等差数列又，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查等差数列通项公式、前项和公式的应用，关键是能够利用判断出数列为等差数列，进而利用等差数列中的相关公式来进行求解.13、【解析】

将所有的基本事件全部列举出来，确定基本事件的总数，并确定所求事件所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求出答案．【详解】所有的基本事件有：（甲、乙丙）、（乙，甲丙）、（丙、甲乙）、（甲乙、丙）、（甲丙、乙）、（乙丙、甲）（其中前面的表示派往大武口区调研的专家），共个，因此，所求的事件的概率为，故答案为．【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解决这类问题的关键在于确定基本事件的数目，一般利用枚举法和数状图法来列举，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题．14、或【解析】

根据三角函数的性质求解即可【详解】，如图所示：则故答案为：或【点睛】本题考查由三角函数值求解对应自变量取值范围，结合图形求解能够避免错解，属于基础题15、或【解析】

由指数函数的性质得，由此能求出结果．【详解】方程，，或，解得或．故答案为或．【点睛】本题考查指数方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用．16、【解析】

设，然后分别表示，利用正弦定理建立等式用表示，从而利用三角函数的性质得到的最小值，从而得到面积的最小值.【详解】因为，所以，显然，，设，则，且，则，所以，在中，由正弦定理可得：，求得，其中，则，因为，所以当时，取得最大值1，则的最小值为，所以面积最小值为，【点睛】本题主要考查了利用三角函数求解实际问题的最值，涉及到正弦定理的应用，属于难题.对于这类型题，关键是能够选取恰当的参数表示需求的量，从而建立相关的函数，利用函数的性质求解最值.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.【解析】

（1）用定义证明得到答案.（2）推出（3）利用错位相减法和分组求和法得到，再证明不等式.【详解】解：（1）由，得，即.∴数列是以为首项，1为公差的等差数列.（2）∵数列是以为首项，1为公差的等差数列，∴，∴.（3）.∴，∴.【点睛】本题考查了等差数列的证明，分组求和法，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18、（1）为，为；（2）产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，最大利润为4万元【解析】

（1）根据题意给出的函数模型，设；代入图中数据求得既得，注意自变量；（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元.，列出利润函数为，用换元法，设，变化为二次函数可求得利润的最大值．【详解】解：（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元由题设知；由图1知，由图2知，则，.（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元.，，令，则则当时，，此时所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元.【点睛】本题考查函数的应用，在已知函数模型时直接设出函数表达式，代入已知条件可得函数解析式．19、（1）；（2）2【解析】

（1）联立两条直线的方程，解方程组求得点坐标，根据的斜率求得与其垂直直线的斜率，根据点斜式求得所求直线方程.（2）根据（1）中点的坐标以及为中点这一条件，求得两点的坐标，进而求得三角形的面积.【详解】解：（1）联立，解得交点的坐标为，∵与垂直，∴的斜率，∴的方程为，即.（2）∵为的中点，已知，，即，∴【点睛】本小题主要考查两条直线交点坐标的求法，考查两条直线垂直斜率的关系，考查直线的点斜式方程，考查三角形的面积公式以及中点坐标，属于基础题.20、（1）；（2）.【解析】

（1）首先利用正弦定理边化角，再利用即可得到答案；（2）利用余弦定理和面积公式即可得到答案.【详解】（1），所以，所以，即因为，所以，所以，即.（2）因为，所以.由余弦定理可得，因为，所以，解得.故的面积为.【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.21、（1）y=c⋅dx【解析】

(1)根据散点图判断，y=c⋅dx适宜；（2）y=c⋅dx，两边同时取常用对数得：【详解】（1）根据散点图判断，y=c⋅dx适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数（2）∵y=c⋅dx，两边同时取常用对数得：1gy=1g(c⋅d设1gy=v,∴v=1gc+1gd⋅x∵x