浙江省丽水地区四校 2025届高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析

浙江省丽水地区四校2025届高一数学第二学期期末检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．己知函数的最小值为，最大值为，若，则数列是（）A．公差不为0的等差数列 B．公比不为1的等比数列C．常数数列 D．以上都不对2．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．3．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则()A． B． C． D．4．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．5．已知扇形的面积为2cm2,扇形圆心角θ的弧度数是4,则扇形的周长为()A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm6．等差数列中，则（）A．8 B．6 C．4 D．37．的直观图如图所示，其中，则在原图中边的长为（）A． B． C．2 D．8．某几何体的三视图如图所示(实线部分)，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是()A． B． C． D．9．从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，则甲被选中的概率为（）A． B． C． D．10．函数的周期为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设是数列的前项和，且，，则__________．12．若向量与的夹角为，与的夹角为，则______.13．己知为数列的前项和，且，则_____．14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，则的最大值为________.15．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号)16．已知等差数列中，，则_______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．18．设数列满足，，，.s（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项；（2）求数列的通项，并求数列的前项和；（3）若，且是单调递增数列，求实数的取值范围.19．如果有穷数列(m为正整数)满足,即,那么我们称其为对称数列.(1)设数列是项数为7的对称数列,其中,为等差数列,且,依次写出数列的各项;(2)设数列是项数为(正整数)的对称数列,其中是首项为50,公差为-4的等差数列.记数列的各项和为数列,当k为何值时,取得最大值?并求出此最大值;(3)对于确定的正整数,写出所有项数不超过2m的对称数列,使得依次为该数列中连续的项.当时,求其中一个数列的前2015项和.20．本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列满足.（1）若，求的取值范围；（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.21．如图，在中，已知点D在边BC上，，的面积是面积的倍，且，.（1）求；（2）求边BC的长.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

先根据判别式法求出的取值范围,进而求得和的关系,再展开算出分析即可.【详解】设,则,因为,故,故二次函数,整理得,故与为方程的两根,所以为常数.故选C.【点睛】本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可.2、D【解析】

取AB中点F,SC中点E，设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为，由，在四边形中，设，外接球半径为，则则可求，表面积可求【详解】取AB中点F,SC中点E,连接SF,CF,因为则为二面角的平面角，即又设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为则面，由在四边形中，设，外接球半径为，则则三棱锥的外接球的表面积为故选D【点睛】本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题3、A【解析】

先由a、b、c成等比数列，得到，再由题中条件，结合余弦定理，即可求出结果.【详解】解：a、b、c成等比数列，所以，​所以，由余弦定理可知，又，所以.故选A．【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.4、A【解析】

根据题意，由函数的奇偶性分析可得，进而结合单调性分析可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，为偶函数，则，

又由函数在区间上单调递增，

则，

解得：，

故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于的不等式．5、C【解析】设扇形的半径为R,则R2θ=2,∴R2=1R=1,∴扇形的周长为2R+θ·R=2+4=6(cm).6、D【解析】

设等差数列的公差为，根据题意，求解，进而可求得，即可得到答案.【详解】由题意，设等差数列的公差为，则，即，又由，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、D【解析】

由直观图确定原图形中三角形边的关系及长度，然后计算．【详解】在原图形中，，，∴．故选：D.【点睛】本题考查直观图，考查由直观图还原原平面图形.掌握斜二测画法的规则是解题关键.8、A【解析】

由三视图得出原几何体是由半个圆锥与半个圆柱组成的组合体，并且由三视图得出圆柱和圆锥的底面半径，圆锥的高，圆柱的高，再由圆柱和圆锥的体积公式得解.【详解】由三视图可知，几何体是由半个圆锥与半个圆柱组成的组合体，其中圆柱和圆锥的底面半径，圆锥的高，圆柱的高所以圆柱的体积，圆锥的体积，所以组合体的体积．故选B．【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图和空间几何体圆柱和圆锥的体积，属于基础题．9、C【解析】分析：用列举法得出甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动的事件数，从而可求甲被选中的概率.详解：从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6种情况，甲被选中的概率为.故选C.点睛：本题考查用列举法求基本事件的概率，解题的关键是确定基本事件，属于基础题.10、D【解析】

利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为，再利用三角函数的周期公式即可求解.【详解】，函数的最小正周期为.故选：D【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最小正周期的求法，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】原式为，整理为：，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以，即.【点睛】这类型题使用的公式是，一般条件是，若是消，就需当时构造，两式相减，再变形求解；若是消，就需在原式将变形为：，再利用递推求解通项公式.12、【解析】

根据向量平行四边形法则作出图形，然后在三角形中利用正弦定理分析.【详解】如图所示，，，所以在中有：，则，故.【点睛】本题考查向量的平行四边形法则的运用，难度一般.在运用平行四边形法则时候，可以适当将其拆分为三角形，利用解三角形中的一些方法去解决问题.13、【解析】

根据可知，得到数列为等差数列；利用等差数列前项和公式构造方程可求得；利用等差数列通项公式求得结果.【详解】由得：，即：数列是公差为的等差数列又，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查等差数列通项公式、前项和公式的应用，关键是能够利用判断出数列为等差数列，进而利用等差数列中的相关公式来进行求解.14、【解析】

先求得的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得的最大值．【详解】中，若的面积为，，．，当且仅当时，取等号，故的最大值为，故答案为：．【点睛】本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题．15、①②④【解析】用正方体ABCD-A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．16、【解析】

设等差数列的公差为，用与表示等式，再用与表示代数式可得出答案。【详解】设等差数列的公差为，则，因此，，故答案为：。【点睛】本题考查等差数列中项的计算，解决等差数列有两种方法：基本性质法（与下标相关的性质）以及基本量法（用首项和公差来表示相应的量），一般利用基本量法来进行计算，此外，灵活利用与下标有关的基本性质进行求解，能简化计算，属于中等题。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解析】

（1）利用递推公式求出，，递推到当时，，两个式子相减，得到，进而求出数列的通项公式；（2）运用错位相减法可以求出数列的前项和；（3）对任意的，都有成立，转化为的最小值即可，利用商比的方法可以确定数列的单调性，最后求出实数的取值范围．【详解】（1）数列{an}中，，．可得时，，即，时，，又，两式相减可得，化为，可得，即，综上可得；（2），则前项和，，相减可得，化为；（3）对任意的，都有成立，即为的最小值，由可得，，可得时，递增，当或2时，取得最小值，则．【点睛】本题考查了已知递推公式求数列通项公式，考查了数列的单调性，考查了错位相减法，考查了数学运算能力.18、（1）证明见解析，；（2），；（3）.【解析】

（1）利用等差数列的定义可证明出数列是等差数列，并确定该数列的首项和公差，即可得出数列的通项；（2）利用累加法求出数列的通项，然后利用裂项法求出数列的前项和；（3）求出，然后分为正奇数和正偶数两种情况分类讨论，结合可得出实数的取值范围.【详解】（1），等式两边同时减去得，，且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，因此，；（2），，，；（3）.当为正奇数时，，，由，得，可得，由于数列为单调递减数列，；当为正偶数时，，，由，得，可得，由于数列为单调递增数列，.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用等差数列的定义证明等差数列，同时也考查了累加法求通项、裂项求和法以及利用数列的单调性求参数，充分利用单调性的定义来求解，考查运算求解能力，属于中等题.19、(1)2,5,8,11,8,5,2;(2);(3)答案见详解【解析】

(1)求出前四项的公差，然后写出即可(2)先算出，然后(3)依题意，可写出所有项数不超过2m的对称数列，然后求出第一个数列的【详解】(1)设数列的公差为，则，解得所以各项为2,5,8,11,8,5,2(2)因为是首项为50,公差为-4的等差数列所以所以所以当时取得最大值，为626(3)所有可能的对称数列是①,②,③,④,对于①，当时，当时所以【点睛】本题是一道数列的新定义的题，考查了数列的求和和最值问题.20、（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.【解析】

（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．【详解】（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，当q＝1时，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，而对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，当时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0∴时，不等式恒成立，∴q的取值范围为：．（3）设a1，a2，…ak的公差为d．由，且a1＝1，得即当n＝1时，d≤2；当n＝2，3，…，k﹣1时，由，得d，所以d，所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最