新教材第三章 不等式 练习-苏教版高中数学必修第一册

第三章不等式

一、单选题

1.【2019年高考北京卷文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白

梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四

种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成

功后，李明会得到支付款的80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为

【答案】①130；②15.

【解析】(1)%=10,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付(60+80)-10=130元.

(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为V元，

y<120元时，李明得到的金额为yx80%，符合要求.

,2120元时，有(y—x)x80%Nyx70%恒成立，即8(y—x)27y,x〈工即xV：=15元

8k87min

所以X的最大值为15.

2.不等式54的解集是()

A.(-oo,2)B.(2,+oo)C.(0,2)D.(-oo,0)U(2,+oo)

【答案】D

【解析】由54，

即x(2—x)<0,解得x>2或xvO,故选D.

3.设M=2〃(〃一2),N=(〃+l)(a—3),贝|()

A.M>NB.M>N

C.M<ND.M<N

【答案】A

【解析】*•M—N=2a(a—2)—(〃+l)(a—3)

=(2a2—4”)一(层一2a—3)=层-2〃+3

=(4Z-l)2+2>0.

：.M>N.

4.不等式x2一⑪一12/<0(其中〃<o)的解集为()

A.（—3。,4。）B.（4〃，一3〃）

C.（—3,4）D.（2〃,6〃）

【答案】B

【解析】方程x2—以-12/=0的两根为4〃，—3a,

且4[<一3〃，故不等式的解集为{x[4〃<x<—3〃}.

9

5.已知函数丁=%一4+不口（工>一1）,当x=4时，y取得最小值b,则等于（）

A.-3B.2C.3D.8

【答案】C

9Q

【解析】y=x—4+^j=a+l）+^j^—5,

因为X>—1,所以元+1>0,

所以心2\1x+不、-5=2x3—5=1,

当且仅当x+l=±9,即1=2时，等号成立，

x+1

此时〃=2,Z?=l,所以〃+/?=3.

6.方程f+（根-2）x+5=0的两根都大于2,则根的取值范围是（）

A.（—5,-4]B.（—8,-4]

C.（-oo,-2）D.（-oo,-5）U（-5,-4]

【答案】A

【解析】令汽幻=一+（加一2）x+5—巾，要使|x）=0的两根都大于2,

rA—m~2~~m,

则卜,

m2>16,

解得|心—5,即一5<小一4,故选A.

m<-2

1~I-2x<0

’;''则不等式式为济的解集是（）

{~x+2,尤>0,

A.[-l,l]B.[-2,2]

C.[-2,l]D.[-l,2]

【答案】A

「烂0,fx>0,

【解析】由y（x）才，可得或_

2>x^[xI2>x^,

烂0,Jx>0,

解得或1+x-2W0,

%2—%—2<0

店0,x>0,

即T小2或

—2<%<1,

—或0<^^1,综上一1S烂1.

8.若正数x,y满足x+3y=5孙，则3x+4y的最小值是（）

2428

A亏B亏C.5D.6

【答案】C

13

【解析】：x+3y=5种.•..+.=1,

・・・3x+4y=(3x+4y)xl=(3x+4y)&+的

3x,9.4,12y13_Bx12y

=可+5+5+墟=+2=5,

5y5x

当且仅当紧蛉，即X=l,产;时等号成立.

二、多选题

9.已知a,瓦ceR,则下列推证中不正确的是()

22

A.a>bam>bmB.-c>-=c>a>b

C.ac2ybc2,a>bD.a2>b2ab>0；

tab

【答案】ABD

【解析】解：对于4卅=0时不成立;

对于B.c<0时不成立;

对于C.ac2>bc2>两边同除以c2,可得a>b,正确;

对于D.由a2>匕2,。》〉0，取a=—2,b=-1,贝亡>：,所以也不成立.

ab

故选ABD.

10.若a,b€R,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是（）

117

A.a2+fe2>2abB.a+&>2VafeC.[+彳>而D・

【答案】AD

【解析】对于4,根据（叱匕）220，即可得到02+4—204,

当且仅当“a=b"时取"=''所以A正确；

对于2,C,虽然ab>0,只能说明a,6同号,

若a,6都小于。时，不能满足不等式成立，所以8,C错;

对于。，ab>0,>0»?>0,

a0

.•31>2匠=2，当且仅当心=9"时取"=”，

+故。正确,

abbab

故选AD

11.下列各式中，最小值为4的是（）.

A.y=-+-B.y=sinx+—(0<x<if)

72x

C.y=ex+4e-xD.y=V%2+14--==

【答案】CD

【解析】对于A,当x<0时，y<0,所以y=g+：无最小值，A不符合题意；

对于2,由已知sinx>0,所以y=sinx+一一>2\/sin工x-^―=4,当siiw=-—即sinr=2时,

siuxVsinzsnix

取等号，而siiu,的最大值为1,所以等号取不到，所以y=sinx+」-（0<x<71）的最小值不是4,

即B不符合题意;

对于C,y-gx+4e~x>2jexx4e~x=4,当尸=4e-xHPx=tnzHt,取等号，所以y=e*+4er最

小值为4,C符合题意；

对于O,y=2JVF+1X-^=4,当=扁即x=±6时，取等号，

所以y=75^+1+=的最小值为4,所以符合题意.

故答案为CD.

12.下列判断错误的是（）

A.x+孑的最小值为2

X

B.若a>by则a3>b3

C.不等式x2-3x>。的解集为[0,3]

D.如果a<b<0,那么±<二

a，i4

【答案】AC

【解析】A,%<。时，*+!为负数，故A错误，

员若a>瓦则a3>/,故8正确，

C.不等式x2-3x>0的解集为（一oo,01u「3,+8）,故c错误，

D如果a<b<0,则一a>-b>0,a2>b2,那么二〈手，故。正确.

故选A,C.

三、填空题

13.关于x的不等式％2—2尤+3%2—2a—1在R上的解集是0,则实数a的取值范围是.

【答案】（一1,3）

【解析】：/一统一（层一2a—4）式的解集为0,

/.J=4+4（/—2a—4）<0,

a2—2a—3<0,—l<a<3.

14.已知危）是定义域为R的偶函数，当x>0时，危）=/—4x,贝IJ不等式加+2）<5的解集是

【答案】｛x|-7<x<3]

【解析】令x〈0,则一x>0,

*.*当x>0时，危)=f—4x,

・\/(一x)=(—x)2-4(—％)=r+4达

又/(x)为偶函数，，八一%)=#%)，

/.当x<0时，f(x)=x2+4x,

卜2—4%，x>0,

故有於)=0+4.X<0.

|x>0,

由4x<5,得g尤<5；

|x<0,

由I2—u得一5<x<0,

M+4x<5,

即外）<5的解集为（一5,5）.

由于外）向左平移两个单位长度即得兀r+2）,

故/（x+2）<5的解集为{x|—7<r<3}.

（x+l）（2v+1

15.【2019年高考天津卷文数】设x>0,y>Q,x+2y=4,则^—————的最小值为

孙

9

【答案】-

2

【解析】-)=23+口网工2+9

xyxyxyxy

因为x>0,y>0,x+2y=4,

即J而W2,0〈孙W2,当且仅当x=2y=2时取等号成立.

C5cu19

又因为2+422+5x5=5'

g、i(x+l)(2y+l)9

所以的取小值为—.

孙2

/+5

16.函数fix)=52+4的最小值为-

【答案】I

■.f+5，++1LT7~।1

=r+,

【斛析】^+r^^^p+Z

产+55

[2,+oo)上单调递增的性质，可知当产“=2,即x=0时，不看取得最小值|.

四、解答题

17.当x>3时，求函数了=芸的值域.

x~5

解Vx>3,Z.x-3>0.

.2r_____2+X一+18

**yx~3x~3

18/IQ

=2(x—3)+T+12>2A/x—12=24.

x-3—\jx—3

1Q

当且仅当2(x—3)=瓷，即x=6时，上式等号成立，

.•.当x>3时，函数>=总的值域为[24,+oo).

18.若不等式(1—a)%2—4x+6>0的解集是{x|—3<x<l}.

(1)解不等式2^+(2—a)x~a>0；

(2屹为何值时，加+fcv+3K)的解集为R.

解(1)由题意知1一。<0且一3和1是方程

r1—4V0,

4

2,

(1—d)x^—4x+6=0的两根，1.V1-a

6

3,

<1-a

解得a=3.

二・不等式2f+(2—a)x—〃>0,即为2f—x—3>0,

3

解得x<—1或x>2«

所求不等式的解集为卜卜<T或无>|[

(2)0^+bx+3>0,即为Bf+bx+SNO,

若此不等式的解集为R,则/=〃-4x3x3s0,

-6<b<6.

19.某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折

叠后使用.如图所示，A8CO(A8>AQ)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB咬QC于点P.当AADP的面

积最大时最节能.

(1)设米，用尤表示图中。P的长度，并写出尤的取值范围；

(2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？

解：(1)由题意，AB—x,BC—2.—X.

因x>2~x,故l<x<2.

设DP—y,则PC—x—y.

因AA£>尸丝△CB'P,故E4=PC=x—y.

由B42=AD2+DP2,得(x—y)2=(2—xp+y,

化简得y=2(l—：),l<x<2.

(2)记"0尸的面积为则Si=(l—j(2—x)=3—(x+氾一2限，

当且仅当X=A^G(1,2)时，&取得最大值.

答：当薄板长为啦米，宽为2—啦米时，节能效果最好.

20.已知不等式〃/-3%+6>4的解集为{小<1或x>Z?}.

(1)求mb的值；

(2)解不等式ox2—(〃c+Z?)x+Z?c<0.

f-=l+&,f_]

a\a=\

解(1)由题意知，1和人是方程以之一3%+2=0的两根，贝！解得，9

%,[b=2'

(2)不等式ax1—(ac+b)x+bc<0,

即为x2—(c+2)x+2c<0,即(x—2)(x—c)<0.

①当02时，原不等式的解集为｛x[2<x<c｝；

②当c<2时，原不等式的解集为｛x[c<x<2｝；

③当c=2时，原不等式无解.

综上知，当c>2时，原不等式的解集为｛尤|2a<c｝；

当c<2时，原不等式的解集为｛x[c<x<2｝；

当c=2时，原不等式的解集为0.

21.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50白区100(单位