相似-综合练习4师

第8讲相似三角形4：综合练习

、基础知识

1.比例的性质

l）氏=£oad=bc,这一性质称为比例的基本性质，由它可推出许多比例形式;

ba

.acbd/L-

2）—=—<=>—=—（反比定理）；

baac

3）幺=£0q=2（或@=£）（更比定理）；

bacdba

aca+bc+d/人”士,、

4）-=-=——（合比定理）；

baba

“ca-bc-d/八”心两、

5）-=—<=>——=——（分比定理）；

baba

aca+bc+d,.....

6）丁=：o--=——-（合分比定理）；

baa-bc-d

_、acm,八、a+c-\----\-ma

7）—=—=•一=—（b+d--F"wO）=------------=—（等比定理）.

bdnb+d-\---\-nb

2.比例中项

若a:6=6:c,则b叫做a,c的比例中项.

3.如图14-1,设三条平行线4I,4,则——=——•此定理

1-3BCEF

称为平行线分线段成比例定理,它的逆定理仍然成立.

4.相似三角形的的定义

对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.

对应边的比叫做相似比.

5.相似三角形的判定方法

1）两角对应相等，两三角形相似；

2）两组边对应成比例且夹角相等,两三角形相似；

3）三组边对应成比例,两三角形相似；图14-1

4）斜边和一直角边成比例的两直角三角形相似；

5）平行于三角形一边的直线截三角形两边（或延长线），所得三角形与原三角形相似.

6.相似三角形的性质

1）相似三角形对应角相等；

2）相似三角形对应边成比例；

3）相似三角形对应线段（中线,高,角平分线）的比等于相似比；

4）相似三角形的周长的比等于相似比；

5）相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

本专题的中考命题趋势为：

本专题的内容在中考中是较为重要的知识点，题目的形式多样，即可考察基本知识，又可考察综合

能力.题型有填空题、选择题，更有与圆、四边形、函数相联系的开放、探索题.

二、例题

L选择题

1）（2004.烟台★★）如图14-1在A3CD中，AB=10,AD=6,E是AD的中点，在AB上取一点产,

使ACBRSACQE.则3/的长是（D）

A.5B.8.2C.6.4D.1.8

2）（2004.宁安★★★）如图14-2,在A3CD中,如果点M为CO中点，AM与3。相交于点N,那么

SADMV-SABCD为（A

**:12B.1:9C.1:8D.1:6

点拨:过点N作CD的垂线交于G延长GN交AB于H.X）MNsABAN,四=型.=工

NHAB2

:.3NG=GH.SgMN=；CDNG,SABCD=3CD-NG.S^MN;S^=1:12.

3）（2004.杭州★★★）如图14-3,在心AABC中，AF是斜边上的高线，且3。=DC=PC=1,

则AC的长为（A）

A.啦B.A/3C.y/2D.密

4）（2004.上海**）如图14-4,在448。中，AB=AC,NA=36°,8D平分/ABC,。石〃3。，那么在

下列三角形中，与AA3C相似的三角形是（B）

A.A3OE和AADEB.AADE和A3。。C.AABD和ABDCD.ABDE和ABDC

点拨：DE//BC\ADE^BCZCBD^-ZABC=36°=ZA,ZC=ZC/.ABDCAABC

2

5）（2007.中考预测十）如图14-5,。£是儿43。的中位线,则A4。£与儿43。的面积之比是（D）

**:1B.1:2C.1:3D.1:4

点拨:面积比为相似比的平方.

6）（2004.淄博**）如图14-6,/1=/2=/3,则图中相似三角形共有（D）

**对B.2对C.3对D.4对

点拨:AABCsADECAAB£sAEAD、CDEsACEAAACEsABCA

7）（2004.绵阳★★）如图14-7,ABC。中，AE.EB=1:2,3尸〃即，如果%仃石=6皿？，则四边形

FDGH的面积为（A）

A.48cm2B.24cm2C.18cm2D.12cm2

2

点拨：由题意可得S^CHF=5AAG石=6cm,CF:FD=AE:EB=1:2,/.S^CHF:SACGD=1:9,

2

•・S^CGD=6X9=54（。/），.二S四边形^0GH—54—6=48（cm）.

8）（2004.长春★★）如图14-8,P是AABC的边AC上一点，连结5尸，以下条件中不能判定AA5Ps

AACB的是（B）

ABACACBC

A.---=----B.---=----C.ZABP=ZCD./APB=AABC

APABABBP

点拨:依据三角形相似的定义及相似三角形的条件.

9）（2004.陕西★★★★）如图14-9,矩形ABC。，=〃,AB="使5c边上至少存在一点P,使

AABP,AAPD,ACDP两两相似,则a,b间的关系一定满足（D）

「37

k.a>-ba>bC.。2—bD.a>2b

22

点拨:令BP=x,当AABPs"CD时，则=巴三，即必—依+尸=。，b2-4ac>Q,:.解此不等式

xb

ApDpJ*_|_2

得，a»2b；当AABPsAOPA时,则即^———r=r,

ADAPa扬+一

整理％2_依+匕2=0,二。22"故选D.

10）（2004.绵阳★★）如图14-10.在梯形ABC。中，AD//BC,E,尸分别是AB,OC的中点，EF分别交

8。,。4于6,”,设3。—4。=加，则6〃的长为(D)

2m

A.2mB.mC.一mD.一

32

点拨：="=GH+EG+EH=G"+,AD+LAD,即=GH+AD.

2222

GH=BC—AD=m.或由三角债的中位线得EH=LBC,EG=-AD,GH=-(BC-AD).

22222

2.（1999.天津数学竞赛★★★）如图14-11,已知在AA3C中，AO是边上的中线，E是A。上一点，且

3E=AC,延长3E交AC于厂.

求证：AF=EF.

证明:过C作CG〃AD,交3斤的延长线于G.

BD=CD,BE=AC,BE=EG=AC.CG//AD,

AFCFAF+FC

AAEFsACGF.——

EF~GFEF+FG

AF=EF.

3.（1998.重庆★★★★）如图14-12,已知P,Q是矩形ABC。的边BC

和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E,且NR4O=N24”

求证：S矩形^CD=SAAPQ.

证明：过E作成?〃3c交A3于b.ZPAD=ZQADfADLCQ,AD=AD,图14—12

/.AEADAQADDE=DQ.XAAEFAEAD,/.=S^FA.ADUPC.

AnDF1

:.AAEDs"EC,:.正=3.：.ADCE=PCDE,5APEQ=-PCEQ=PCED,

S矩形BCEF=BC-CE-AD-CE,..S^pEQ-S矩形BCEF•…S矩形诋口=履针。,

4.（1994.湖北竞赛★★★★）如图14-13,在AABC中,底边BC上的两点A

及尸把三等分，3M是AC上的中线，3M与AE,A产分别相交于G,H.

呆BG:GH:HM.R/-4f>

解:如图，过M作MR〃3C,交A产于S,交AE于R,则SM=-FC=-BF,

24

BG+GH4

RM=-EC^BE.5加〃吟.卷嗡，即①,

2HMTEC

RMIIBE,图14-13

空=圾，即BG153

②.由①②，得BG=——HM.

GMRMGH+HM1"22

G

AE±BF,ZBAE+ZGAC=90°,ZBAE+ZABF=90°.ZGAC=ZABF.

ZACG=NBAF=9(f,AB=AC,：.AABF之\CAG,AF=CG.CG//AB,

.BD=2CD,:.AB=2CG,AC=2AF.:.AF=CF.

ABBD

6.(1990.四川★★★★)如图14-15,已知ABCD是正方形,M,N分别在

AB,BC边上,且BM=BN,又BP工MC,垂足为P.

求证：PD1PN.

证明：在RtABCM中，BP1CM,ABPMsACPB,

RMRP

ZPBM=NPCB,——=——.ZABC=/BCD=90°,BC=CD,

CBCP

RNRp

BM=BN,ZPBN=ZPCD,—=—.NPBNs"CD,z.NBPN=ZCPD.

BCCP

NBPN+ZNPC=ZCPD+NNPC,即ZDPN=ZBPC=90°.PDLPN.

A

7.（1998.全国联赛★★★）如图14-16,在等腰直角AA3C中，AB=

NA=90°,点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且产ELBE.

求ACER的面积.C

解:过C点作CDLCE与EF的延长线交于D.ZABE+ZAEB=90°,图14-16D

c1

ZCED+ZAEB=90°./.NABE=NCED.于是，RtM.BEsRtACED.,=(―)2=-,

SgAB4

——=—=2.又N£CF=ZDC尸=45°,则CF是/QCE的平分线，.•.点F到CE和CD的距离相等.

CDAE

.SACEFCEc.C221211

Cc=xx

..——=2...S^CEF-T^ACDE-TXT^AABETTT^AA

JACDFDD•"D•"乙

8.（2000.重庆竞赛★★★★）如图14-17,已知AABC和A414cl

均为正三角形,BC和B©的中点均为D.

求证：±CCr

证明:连结AD,4。，延长A4交DC于0,交CG于E.在AA4。与ACG。中,

有ZADA,=90°-Z^DO=ZCDC又

r器3是S嚼联

AA410sACqn.Z^AD=ZQCD.又ZAOD=ZCOE,

ZA=45°,ZJBC£>=45°.

求BC的长及A3OC的面积.

解:过点C作CE_1A3交AB于E,过D作。e，5c交

八

CB的延长线于F,并设。/=CT=x.AC=AZA=45°,F图14-18

:.CE=AE=—AC=—.:.BE=AB-AE=2--=4~^.^BC2^CE2+BE2,

2222

2

BC=^CE+BE-=^7-2^=A/6-1.BF=x—BC=x+\—屈，又RtADFBsRtACEB.

DFCEanxV3+2而

——=——即-------产=—..•.%=--------

BFBEx+1-v64-\/62

2

S^BCD—l）x

2224

10.（1998.山东★★★）如图14-19,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点0,

直线/平行于BD,且与AB,DC,BC,AD及AC的延长线分别相交于点M,N,R,S和P.

求证：PMPN=PRPS.A

证明：BD//1,NODC=ZPNC,ZDOC=ZNPC,AODCskPNC.

CPPNle一/曰CPPRPNPRPNOD

——=——.同理可得——=—.——=—，nn即——=——①(.

COODCOOBODOBPROB

PMAPPVAP

BD//1,AABO^AAMP,——=——.同理可得上

OBAOODAO

PMPSPSOD人工…PNPS

anMPRS

OBODPMOBPRPM

:.PMPN=PRPS.图14-19

补充:

例1、（2005年初中联赛决赛）锐角AABC中，AB>AC,CD,BE分别是AB、AC边上的高，DE与

BC的延长线于交于T,过D作BC的垂线交BE于F,过E作BC的垂线交CD于G,证明：F、G、T三点共

线。

证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N,在Rt^BEC与RtZ\BDC中，由射影定理得:

CE2=CN•CB,BD2=BM•BC

.CN_CE2

"BM~BD2

又Rtz^CNGsRtz\DCB,RtABMF^RtABEC,

RD

：.GN=——CN,FM=——BM

CDBE

GN_BDBECN_BDBECE2BECE

FM-CDCEBM—CDCEBDZ~BD-CD

在RtZ\BEC与RtZ\BDC中，由面积关系得：BE•CE=EN•BC,BD•CD=DM•BC

.BECEENTN（、

**BDCD~~DM~TM^'

由⑴⑵得：

空=亚，又GNFM,:.F、G、T三点共线.

FMTM

证法2：设CD、BE相交于点H,则H为AABC的垂心,

记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R

VDM//AR//EN

.DFAHEG

DMENGNENTN"「

由合比定理得:——=——，故尸、G、T三点共线.

~FMGN，…FMDMTM

证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D,由梅涅劳斯定理得:

BTCEAD

-------------=11(

TCEADB

设CD、BE相交于点H,则

H为△ABC的垂心，AH±BC

VDF±BC>EG±BC

AAH〃DF〃EG

rrHF

小需凝篝代入⑴得第上上.2=1由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线.

GHFB

例2（1998年初中联赛决赛）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1,ZA=90°,

点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且FE_LBE,求4CEF的面积.

解法1过C作CDJ_CE与EF的延长线交于D,

VZABE+ZAEB=90°,

ZCED+ZAEB=90°,

.\ZABE=ZCED.

于是Rt^ABEs/^CED,

.S<SCDE_.CE、？_1CE_AB_

SiEAB4CDAE

XZECF=ZDCF=45°,所以，CF是NDCE的平分线，点F到CE和CD的距离相

.$ACEFCE

..---------=------=2

SACDFCD

s=-s=2x

©△CEFACDE34©AABE

,2X1X1」

-342AABC"240

解法2作FHJ_CE于H,设FH=h.

VZABE+ZAEB=90°,

ZFEH+ZAEB=90°,

:.ZABE=ZFEH.

ARtAEHF^RtABAE.

..EHAB.

.--=--=2,

FHAE

即EH=2h,

，HC=?-2h.

2

XVHC=FH,

h=——2h>h=—.

26

S=—ECXFH=—X—X—=

aAcCEF222624

三.练习题

1.(2004.绵阳★★★))如图14-20,在AABC中,ZACB=90°,

CD，A3于D,E为AC的中点,DE的延长线交BC的延长线于F,

510C1

EF——,tanB——.

32

(1)求证：kBDFsADCF；

⑵⑵求BC的长.

证明：⑴点E是4AACD的斜边AC的中点，.,.ED=EC:.NEDC=NECD

NBDF=NDCF又4F=/F,ABDFsADCF.

(2)在RtABCD中,tanB=q=L^ABDFsADCF,:."=处=生

BD2DFBFBD2

DF=2CF,BF=2DF.BF=4CF一、4CF^BC+CF.:.CF^-BC.

3

又在用AACB中，tan5='=—1,AC=1—BC.

CB22

E为AC的中点，，。七二,吕。.在RtAECF中，CE?+CF?=EF?,

4

.•.("c)2+("c)2=(：)2,

343

解得BC=8,或BC=-8(舍去)..IBC=8.A

2.(2004青岛★★★)如图14-21,在AA5C中，AB=AC=a,M为底边

B