天津市重点校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试卷（解析）

高中数学精编资源~2023学年度第二学期期末重点校联考高二数学出题学校：芦台一中杨村一中第I卷（共75分）一､选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再求即可.【详解】由已知，又，.故选：B.2.设，则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解含绝对值不等式以及分式不等式，再根据两解集包含关系判断充要关系.【详解】因为，所以，因为，所以或，因为，所以是的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断选项.【详解】设，对任意，，所以，所以的定义域为，，所以函数为奇函数.令，可得，即，所以，可得，由可得，解得，所以的定义域为，又，所以函数为奇函数，排除BD选项，当时，是减函数，则，，所以，排除A选项.故选：C4.记等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据等比数列通式求出，再化简得，代入计算即可.【详解】设等比数列的公比为，由，得，故选：D.5.中国新能源汽车出口实现跨越式突破，是国产汽车品牌实现弯道超车，打造核心竞争力的主要抓手.下表是2022年我国某新能源汽车厂前5个月的销量y和月份x的统计表，根据表中的数据可得线性回归方程为，则下列四个命题正确的个数为（）月份x12345销量y（万辆）1.51.622.42.5①变量x与y正相关；②；③y与x的样本相关系数；④2022年7月该新能源汽车厂的销量一定是3.12万辆．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据回归直线方程经过样本中心即可求解，结合相关性的定义以及回归方程即可逐一判断.【详解】由，，因为回归直线过样本中心，，，②错误；可知随着变大而变大，所以变量与正相关，①③正确；由回归直线可知，2022年7月该新能源汽车厂的销量的估计值是万辆，④错误．故选：B．6.已知,,，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得，，由得，从而可得.【详解】因为，，，所以，，又因为，，所以，即.故.故选：D7.已知，均为正数，且，则的最小值为（）A.8 B.16 C.24 D.32【答案】B【解析】【分析】确定，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】当时，，，故，不符合题意，故，，当，即时等号成立.故选：B8.某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（）A.72 B.78 C.126 D.240【答案】B【解析】【分析】分组讨论结合组合排列关系计算即可.【详解】要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组，则①甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有：种情况，②甲，乙，丙中有1位教师与丁去同一所学校有：种情况，③丁，戊两人选择同一所学校有：种情况，所以满足题意的情况为：，故选：B.9.定义，设函数，若使得成立，则实数a的取值范围为（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先考虑命题使得成立的否定为真命题时a的取值范围，再求其补集即可.【详解】命题使得成立的否定为对，，因为当或时，，当时，，所以当或时，，若命题，为真命题，则当时，恒成立，所以，其中，设，当时，函数在单调递增，所以当时，函数取最小值，所以，所以，矛盾；当时，函数在单调递减，所以当时，函数取最小值，所以，所以，矛盾；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以时，函数取最小值，所以，所以，所以当时，命题，为真命题，所以若使得成立，则a的取值范围为.故选：A【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二､填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）10.命题“，”的否定是_____________.【答案】【解析】【分析】根据存在量词命题的否定的知识写出正确答案.【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，而不是否定条件，所以命题“，”的否定是“”.故答案：11.曲线在点处的切线方程为____.【答案】【解析】【分析】对函数求导，可求出，又点在曲线上，结合导数的几何意义，可求出切线方程.【详解】由题意，，因为，所以，故曲线在点处的切线方程为.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.12.展开式中的常数项为______．【答案】【解析】【分析】求出所给二项式的展开式的通项Tr+1，再求出x的幂指数为0的r值即可计算作答.【详解】展开式的通项为：，由得，，于是得，所以展开式中的常数项为210.故答案为：21013.幂函数在上单调递增，则（且）的图象过定点__________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义和单调性可求出的值，可得出函数的解析式，令真数为，可求得函数的图象所过定点的坐标.【详解】因为幂函数在上单调递增，则，解得，所以，，令，可得，且，故函数的图象过定点.故答案为：.14.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为__________．【答案】【解析】【分析】由全概率公式即可处理.【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应）则,且两两互斥.由题意可得：,15.已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若函数有唯一零点，则实数的值为__________.【答案】或【解析】【分析】由已知函数有唯一零点，结合偶函数性质，证明函数为偶函数，根据条件列方程求λ的值.【详解】因为函数有唯一零点，所以函数有唯一零点，因为函数是定义在上的偶函数，所以，所以，所以函数为偶函数，又函数有唯一零点，所以函数的零点为，所以，因为函数是定义在上的奇函数，所以，又由可得，所以，所以解得或．故答案为：或．第II卷（共75分）三､解答题（共5题，共75分）16.袋子中有7个大小相同的小球，其中4个白球，3个黑球，从袋中随机地取出小球，若取到一个白球得2分，取到一个黑球得1分，现从袋中任取4个小球.（1）求得分的分布列及均值；（2）求得分大于6的概率.【答案】（1）分布列见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望的公式即可求解，（2）根据分布列即可求解概率.【小问1详解】由题意可知，随机变量的取值为,所取小球为1白3黑时，所取小球为2白2黑时，所取小球为3白1黑时，所取小球为4白时，所以，随机变量的分布列为5678随机变量的均值为：【小问2详解】根据的分布列，可得到得分大于6的概率为17.数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，当时，可得，两式相减求得，又由时，，符合上式，即可求解；（2）求出，再用错位相减法可求.【小问1详解】由题意，数列满足，当时，可得，两式相减，可得，所以，又由当时，，符合上式，所以数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）知，则，所以①②，①-②得.所以数列的前项和.18.已知函数.（1）若是的极值点，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.【答案】（1）1（2）答案见解析（3）.【解析】【分析】（1）由题意，求导得，然后根据，即可得到结果；（2）由题意，求导得，然后分与两种情况讨论，即可得到结果；（3）由题意，构造函数，将函数零点问题转化为两个图像交点问题，结合图像即可得到结果.【小问1详解】因为则，即，所以，经检验符合题意【小问2详解】，则.当时，，在上单调递增；当时，由，得，若，则；若，则.当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为，减区间为.【小问3详解】当时，由可得，令，其中，则直线与函数在上的图像有两个交点，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数在上的图像有两个交点，因此，实数的取值范围是.19.已知数列的前项和为且；等差数列前项和为满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）设，若，对任意的正整数都有恒成立，求的最大值.【答案】（1），（2）（3）2【解析】【分析】（1）根据与的关系证明为等比数列，根据等差数列性质求的首项及公差，再利用等比数列和等差数列通项公式求，的通项公式；（2）利用裂项相消法求和即可；（3）由（1）求，由条件可得，判断数列的单调性求其最值，由此可得，结合基本不等式求的最大值.【小问1详解】由，得，当时，，即，所以，且，所以，所以为首项为，公比为3的等比数列，所以.设等差数列的公差为，则，解得，，所以.【小问2详解】由（1）知，，，则，令为的前项和，则即【小问3详解】因，，，所以，故恒成立，设，当时，；当时，，即，所以，即，所以，所以恒成立，即恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，故的最大值为2.20.已知函数．（1）证明：当时，恒成立；（2）若且，证明：，．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】(1)由条件可得，利用导数求其最小值，由此可证明结论，(2)利用导数求函数的单调性，由条件证明，分析可得要证明，只需证明，利用导数研究函数的单调性，利用单调性完成证明.【小问1详解】由已知，当时，，函数的定义域为，且，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，所以恒成立；【小问2详解】因为，，所以，其定义域为所以，