理学解析几何常见的曲面

本章主要内容柱面2锥面3旋转曲面4曲线与曲面的参数方程5椭球面6双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面）7抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面）8二次直纹面9作图五种典型的二次曲面水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例：§3.1柱面观察柱面的形成过程:定义3.1.1

平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.母线准线柱面举例：抛物柱面平面抛物柱面方程：平面方程：从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面，母线//轴母线//轴母线//轴1.椭圆柱面xyzO2.双曲柱面如何建立柱面方程已知准线方程母线方向例1已知准线方程母线方向例2已知圆柱面的轴和圆柱面上一点（1，-2，1），求圆柱面方程解法一：由准线和母线求圆柱面方程解法二：根据圆柱面的特殊性质求方程空间曲线的射影柱面空间曲线如何求射影柱面？消去z，得F(x,y)=0，即对xOy坐标面射影的射影柱面。。。。如何求射影曲线如何利用空间曲线的射影柱面来表达空间曲线？任两个射影柱面组成的方程组即为原空间曲线定义3.2.1

通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面.这些直线都叫做锥面的母线.那个定点叫做锥面的顶点.锥面的方程是一个三元方程.特别当顶点在坐标原点时：§3.2锥面

n次齐次方程F(x,y,z)=0的图形是以原点为顶点的锥面；方程

F(x,y,z)=0是

n次齐次方程：准线顶点F(x,y,z)=0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是n次齐次方程

锥面是直纹面x0z

y

锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的准线.请同学们自己用截痕法研究其形状.椭圆锥面如何建立锥面方程已知锥面准线已知锥面顶点例1已知圆锥的准线方程顶点在原点例2已知圆锥面的顶点为(1,2,3)轴垂直于平面2x+2y-z+1=0母线与轴成30度角求圆锥面方程解法一：由准线和顶点求圆锥面方程解法二：根据圆锥面的特殊性质求方程解

圆锥面方程或定义3.3.1

以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.这条定直线叫旋转曲面的旋转轴．这条曲线叫旋转曲面的母线．§3.3旋转曲面2024/6/24如何建立旋转曲面方程？已知轴和母线轴：方向和线上一点P0母线：方程旋转曲面方程满足（3.3.1）曲线CCy

zo绕

z轴曲线

CxCy

zo绕z轴.曲线

C旋转一周得旋转曲面

SCSMNzPy

zo绕

z轴.f(y1,z1)=0M(x,y,z).x

S曲线C旋转一周得旋转曲面

SxCSMNzP.绕z轴..f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=0.y

zo

S建立旋转曲面的方程：如图将代入得方程方程例1

将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．旋转双叶双曲面yzoxyzox

xyoz

xyoz旋转单叶双曲面旋转椭球面xyzxyz旋转抛物面xyzoxyzo几种特殊旋转曲面1双叶旋转曲面2单叶旋转曲面3旋转锥面4旋转抛物面5环面x0y1

双叶旋转双曲面绕x

轴一周x0zy.绕x

轴一周1

双叶旋转双曲面x0zy.1

双叶旋转双曲面.绕x

轴一周axyo2

单叶旋转双曲面上题双曲线绕y

轴一周axyoz.上题双曲线绕y

轴一周2

单叶旋转双曲面a.xyoz..2

单叶旋转双曲面上题双曲线绕y

轴一周3

旋转锥面两条相交直线绕x

轴一周x

yo.两条相交直线绕x

轴一周x

yoz3

旋转锥面x

yoz.两条相交直线绕x

轴一周得旋转锥面.3

旋转锥面yoz4

旋转抛物面抛物线绕z

轴一周yoxz.抛物线绕z

轴一周4

旋转抛物面y.oxz生活中见过这个曲面吗？.4

旋转抛物面抛物线绕z

轴一周得旋转抛物面卫星接收装置例.5环面yxorR绕y轴旋转所成曲面5环面z绕y轴旋转所成曲面yxo.5环面z绕y轴旋转所成曲面环面方程.生活中见过这个曲面吗？yxo..救生圈.5环面2024/6/24空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程3.4.1空间曲线的参数方程2024/6/24

动点从A点出发，经过t时间，运动到M点螺旋线的参数方程取时间t为参数，解2024/6/24螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度螺距2024/6/24有一质点，沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起，作等速直线运动，另一方面这一条母线在圆锥面上，过圆锥的定点绕圆锥的轴（旋转轴）作等速的转动，这时质点在圆锥面上的轨迹叫做圆锥螺线，请建立圆锥螺线方程。练习2024/6/24曲线又常常表现为一个动点运动的轨迹，即动点的位置随着时间t改变的规律，记为设平面上取定的标架为，矢量就可以用它的分量来表达，记为或例4已知直线l通过定点M0(x0,y0)，并且它与非零矢量v={X,Y}共线，求直线l的方程。例5一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上的一点P的轨迹。平面曲线的参数方程2024/6/24例6已知大圆半径为a，小圆半径为b，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆周上某一定点P的轨迹叫做内旋轮线（或称内摆线），求内旋轮线的方程。平面曲线的普通方程和参数方程的转换例7把椭圆的普通方程改写为参数方程将参数方程转化为普通方程练习：1.一动点M到A(3,0)的距离恒等于它到点B(-6,0)的距离的一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形。2.有一长度为2a(a<0)的线段，它的两端点分别在x轴正半轴与y轴的正半轴上移动，求此线段中点的轨迹。3.当一圆沿着一个定圆的外部做无滑动地滚动时，动圆上一点的轨迹叫做外旋轮线，如果用a与b分别表示定圆与动圆的半径，试导出其参数方程。2024/6/24球坐标2024/6/243.4.2空间曲面的参数方程二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面形状的截痕法：

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．二次曲面§3.5.1椭球面截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo椭球面椭球面的方程椭球面与三个坐标面的交线：椭球面椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面和的交线也是椭圆.椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成．旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面的交线为圆.球面截面上圆的方程方程可写为单叶双曲面（1）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的椭圆一、单叶双曲面§3.5.2双曲面与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.（2）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的双曲线.实轴与轴相合，虚轴与轴相合.单叶双曲面图形

xyoz（3）用坐标面，与曲面相截均可得双曲线.二、双叶双曲面双叶双曲面xyoz

单叶：双叶：...yx

zo

在平面上，双曲线有渐进线。相仿，单叶