2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测36正弦定理和余弦定理

[课时跟踪检测][基础达标]1．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，则B的值为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由正弦定理知eq\f(sinA,sinA)＝eq\f(cosB,sinB)，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.答案：B2．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝eq\f(2,3)，则b＝()A．14 B．6C.eq\r(14) D.eq\r(6)解析：bsinA＝3csinB⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋1－2×3×1×eq\f(2,3)＝6，∴b＝eq\r(6)，故选D.答案：D3．(2018届重庆适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝eq\r(3)，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(3,2)解析：依题意得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，即C＝60°，因此S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,4)，选B.答案：B4．(2017年山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2b B．b＝2C．A＝2B D．B＝2解析：因为A＋B＋C＝π，sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sin(A＋C)＋2sinBcosC＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以2sinBcosC＝sinAcosC.又cosC≠0，所以2sinB＝sinA，所以2b＝a，故选A.答案：A5．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－eq\r(3)c)sinA，则角B的大小为()A．30° B．45°C．60° D．120°解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)及(b－c)·(sinB＋sinC)＝(a－eq\r(3)c)sinA，得(b－c)(b＋c)＝(a－eq\r(3)c)a，即b2－c2＝a2－eq\r(3)ac，所以a2＋c2－b2＝eq\r(3)ac，又因为cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，所以cosB＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝30°.答案：A6．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq\r(3)>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．答案：C7．(2017届江西七校一联)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形 D．直角三角形解析：sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，则有A＋B＝eq\f(π,2)，故△ABC为直角三角形．答案：D8．(2017届东北三校联考卷)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)，则B＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(3π,4)解析：由sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，代入整理得eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(a,c＋b)⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(π,3)，故选C.答案：C9．(2017年浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.解析：由余弦定理得cos∠ABC＝eq\f(42＋22－42,2×4×2)＝eq\f(1,4)，∴cos∠CBD＝－eq\f(1,4)，sin∠CBD＝eq\f(\r(15),4)，∴S△BDC＝eq\f(1,2)BD·BC·sin∠CBD＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(15),2).又cos∠ABC＝cos2∠BDC＝2cos2∠BDC－1＝eq\f(1,4)，0<∠BDC<eq\f(π,2)，∴cos∠BDC＝eq\f(\r(10),4).答案：eq\f(\r(15),2)eq\f(\r(10),4)10．(2018届云南统检)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a＝5，tanB＝－eq\f(4,3)，那么eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________.解析：∵tanB＝－eq\f(4,3)，∴sinB＝eq\f(4,5)，cosB＝－eq\f(3,5)，又S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝2c＝8∴c＝4，∴b＝eq\r(a2＋c2－2accosB)＝eq\r(65)，∴eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(5\r(65),4).答案：eq\f(5\r(65),4)11．(2017年全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解：(1)因为△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA)，所以eq\f(a2,3sinA)＝eq\f(1,2)absinC，所以eq\f(sinAsinA,3sinA)＝eq\f(1,2)sinAsinBsinC，所以sinBsinC＝eq\f(2,3).(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,2)，所以B＋C＝eq\f(2π,3)，故A＝eq\f(π,3).由题设得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,3sinA)，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝eq\r(33).故△ABC的周长为3＋eq\r(33).12．(2017届海口调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a－3b)cosC＝c(3cosB－cosA)．(1)求eq\f(sinB,sinA)的值；(2)若c＝eq\r(7)a，求角C的大小．解：(1)由正弦定理得，(sinA－3sinB)cosC＝sinC(3cosB－cosA)，∴sinAcosC＋cosAsinC＝3sinCcosB＋3cosCsinB，即sin(A＋C)＝3sin(C＋B)，即sinB＝3sinA，∴eq\f(sinB,sinA)＝3.(2)由(1)知b＝3a，∵c＝eq\r(7)a，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋9a2－7a2,2×a×3a)＝eq\f(3a2,6a2)＝eq\f(1,2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3).[能力提升]1．(2017届上海杨浦质量调研)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则bA．(eq\r(2)，eq\r(3)) B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(2)，2) D．(0,2)解析：由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(b,sin2A)，得b＝2cosA.eq\f(π,2)<A＋B＝3A<π，从而eq\f(π,6)<A<eq\f(π,3).又0<2A<eq\f(π,2)，所以0<A<eq\f(π,4)，所以eq\f(π,6)<A<eq\f(π,4)，eq\f(\r(2),2)<cosA<eq\f(\r(3),2)，所以eq\r(2)<b<eq\r(3).答案：A2．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则解析：①sin2A＝sin2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π⇒A＋B＝eq\f(π,2)，即△ABC是直角三角形，故①不对；②sinA＝cosB，∴A－B＝eq\f(π,2)或A＋B＝eq\f(π,2).∴△ABC不一定是直角三角形，故②不对；③sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2<c2.∴△ABC为钝角三角形．故③对．答案：③3．(2017届山东师大附中模拟)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求eq\f(sinB,sinC)；(2)若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的长．解：(1)S△ABD＝eq\f(1,2)AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝eq\r(2).在△ABD和△ADC中，由余弦定理知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.故BD＝eq\r(2)，AC＝1.4．(2017届衡水中学调研卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．解：(1)解法一：由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝eq\f(1,2).由于0<A<π，故A＝eq\f(π,3).解法二：由题设可知，2b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，于是b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).由于0<A<π，故A＝eq\f(π,3).(2)解法一：因为eq\o(AD2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→)),2)))2＝eq\f(1,4)(eq\o(AB2,\s\up6(→))＋eq\o(AC2,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\u