椭圆的标准方程（6大题型）

椭圆的标准方程一、椭圆的定义1、椭圆定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半叫作半焦距。2、椭圆定义的集合语言表示：3、注意事项：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段；②当时，其轨迹不存在．二、椭圆标准方程的推导：1、怎样建立适当的直角坐标系？以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1.2、椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.焦点的坐标分别是，图1又设M与的距离的和等于常数.图1由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|}因为，所以3、遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？即两边平方得整理得再平方并整理得两边同除以得考虑,应有，故设，就有三、椭圆的标准方程对比四、椭圆的焦点三角形1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立AF1+AF采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设∠F1A性质1：AF1+A拓展：∆AF1∆ABF1性质2：4c五、求椭圆的标准方程1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤（1）定位：确定焦点在那个坐标轴上；（2）定量：依据条件及确定的值；（3）写出标准方程；2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为；3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数。题型一椭圆的定义及应用【例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．点【答案】C【解析】因为，所以，知点C的轨迹是线段AB．故选：C.【变式11】（2023·江苏·高二专题练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（）A．p是q的充分不必要条件B．p是q的必要不充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件【答案】B【解析】当为定值时，若定值大于时，点M轨迹是椭圆，若定值等于，点M轨迹是线段，若定值小于，则轨迹不存在；当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时，必为定值；所以，但，故p为q的必要不充分条件．故选：B【变式12】（2023秋·山东菏泽·高二校考阶段练习）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】椭圆的长轴长，而点到椭圆一个焦点的距离为7，所以到另一个焦点的距离为.故选：A【变式13】（2023秋·高二课时练习）如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（）A．16B．18C．20D．22【答案】B【解析】因为把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，设椭圆的右焦点为，且，可得，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得，所以.故选：B.题型二求椭圆的标准方程【例2】（2023秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，平面内点P到、的距离之和是10，∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上,,解得：，∴，∴轨迹方程为:，故选:B.【变式21】（2022秋·江苏淮安·高二校联考期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得：到与的距离之和为，且，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.故选：C【变式22】（2023秋·江西抚州·高二校联考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）经过点和点；（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）设椭圆方程为，将点和点代入可知，所以椭圆的标准方程为：；（2）设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为，由已知，有解得，，若焦点在轴上，则，若焦点在轴上，，∴所求椭圆方程为或.【变式23】（2023秋·江苏淮安·高二校考阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程：（1）一个焦点为（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上，又，所以，所以，椭圆方程为.（2）椭圆的焦点为，设所求椭圆方程为，则有，解得，所以所求椭圆方程为.题型三根据椭圆标准方程求参数【例3】（2024·全国·高三专题练习）（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】焦点在x轴上，则标准方程中，解得或．又，，得，所以或．故选:BC．【变式31】（2023·全国·高二专题练习）“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，方程，可化为标，当时，方程表示焦点在上的椭圆，即充分性成立；若方程表示焦点在上的椭圆，则满足，即必要性成立，所以时方程表示焦点在上的椭圆的充要条件.故选：A.【变式32】（2024·全国·高三专题练习）已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是.【答案】【解析】由题意得，，，所以，若，即时，则焦点在轴上，则，所以，代入，，，得，解得；若，即时，则焦点在轴上，则，所以，代入，，，得，解得；综上，n的取值范围是.故答案为：.【变式33】（2023秋·江苏淮安·高二开学考试）（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（）A．曲线C可能是圆B．若，则C为椭圆C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则【答案】AD【解析】当即时，方程为，表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误；若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误；若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确.故选：AD.题型四椭圆的焦点三角形问题【例4】（2023秋·全国·高二期中）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（）A．12B．24C．D．【答案】D【解析】由题意可得，对于椭圆有长半轴长，又过的直线交椭圆于A、B两点，故的周长，故选：D【变式41】（2023·全国·高二专题练习）已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（）A．B．C．4D．【答案】B【解析】由椭圆可知，故，结合，可得，而，故为等腰三角形，其面积为，故选：B【变式42】（2023秋·全国·高二期中）已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（）A．的周长为6B．的面积为C．的内切圆的半径为D．的外接圆的直径为【答案】D【解析】由题意知，，，，由椭圆的定义知，，，∴的周长为，即A正确；将代入椭圆方程得，解得，∴的面积为，即B正确；设的内切圆的半径为r，则，即，∴，即C正确；不妨取，则，，∴的面积为，即，∴，由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误，故选:D.【变式43】（2023秋·高二课时练习）已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点．（1）若，求；（2）若的面积为9，求的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，设，由，则，所以有，由余弦定理可知：，所以有，即（2）由（1）可知：，因为，所以，因此，即.题型五与椭圆有关的轨迹问题【例5】（2023秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如下图所示：不妨设，则满足；易知，又线段的中点为，可得；即，代入方程可得，整理得.故选：D【变式51】（2023·江苏·高二专题练习）已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由圆，则其圆心，半径为，设动圆的圆心为，半径为，由圆在圆的内部与其相切，则，由圆过点，则，即，所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，，，所以其轨迹方程为.故选：D.【变式52】（2022秋·福建泉州·高二校考期中）已知圆：，圆：，圆，圆．（1）若动圆与圆内切与圆外切.求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若动圆与圆、圆都外切.求动圆圆心的轨迹的方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设动圆的半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，∴，且.于是，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．（2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，则圆与圆外离，设圆的半径为，由题意可得，所以，，所以，圆心的轨迹是以点、分别为左右焦点的双曲线的右支，设圆心的轨迹方程为，由题意可得，则，，因此，圆心的轨迹方程为.【变式53】（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，圆，点，过B的直线l与圆A交于点C，D，过B作直线BE平行AC交AD于点E.求点E的轨迹的方程.【答案】.【解析】圆的圆心，半径为4，如图，因为，于是，而，则，于是，因此E的轨迹是焦点为A，B，长轴长为4的椭圆的一部分，设椭圆方程为，则，，，从而椭圆方程为，又因为点E不在x轴上，则，所以点E的轨迹的方程为.题型六椭圆中的距离和差最值【例6】（2023秋·黑龙江大庆·高二校考开学考试）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（）A．12，B．，C．12，8D．9，【答案】C【解析】令椭圆的左焦点为，有，由椭圆定义知，显然点在椭圆内，，直线交椭圆于，而，即，当且仅当点共线时取等号，当点与重合时，，则，当点与重合时，，则，所以的最大值和最小值为12，8.故选：C【变式61】（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（）A．5B．6C．D．【答案】D【解析】依题意，设椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为，，当三点共线，且在之间时等号成立.而，所以，当四点共线，且在之间，是的延长线与圆的交点时等号成立.故选：D【变式62】（2022秋·贵州遵义·高二校联考期末）已知点是椭