双曲线教学课件

3.2双曲线

■

知识梳理

1、双曲线的定义

平面内与两个定点内(阴川=2c>0)的距离差的绝对值等于常数(小于I£&且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两

个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合々{制||如I-,阀|=2a},阴用=2c,其中

a,c为常数且a>0,c>0：

(1)若盘，则集合。为双曲线；

⑵若a=c,则集合P为两条射线;

(3)若心，则集合户为空集.

2、双曲线的标准方程和几何性质

2222

xy[匕_1一1

标准方程

(a>0,垃0)(a>0,6>0)

图形*

WT

范围或—a,yER不£R,yg-a或丁2d

对称性对称轴：坐标轴:对称中心：原点

顶点4(—a,0),4(a,0)A\(0,—a),4(0,a)

,b,a

渐近线尸土一xy=±yx

au

性质

离心率e=,，(1,+°°)

a

线段44叫做双曲线的实轴，它的长度|44|=2a；线段笈员叫做双

实虚轴曲线的虚轴，它的长度归团=28；a叫做双曲线的实半轴长，8叫

做双曲线的虚半轴长

a,b,c的关系C—+一

3、注意：

(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为」•.

a

(2)离心率e=£=」＞+

aa\1a

(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于

知识典例

题型一轨迹问题

m11到两定点6(-3,0),8(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹为()

A.椭圆B.两条射线C.双曲线D.线段

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意直接得轨迹为两条射线.

【详解】

•.•到两定点£(-3,0)、£(3,0)的距离之差的绝对值等于6,

而IA知=6,

・,・满足条件的点的轨迹为两条射线.

故选B.

已知点M(—3,0)、N(3,O)、己1,0),动圆C与直线MN切于点8,过M、N与圆C相切的两直线(非坐标轴)相交

于点P,则点尸的轨迹方程为()

2y2

A.x---=1(入。±1)B./_匕=1(》<_1)

88

c.JC+=l(x>0)D.x2--=l(x>1)

10

【答案】A

【解析】

【分析】

先由题意画出图形，可见。C是小PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PML|PN|

可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b,写出方程即可（要注意x的取值范围）.

【详解】

可得|MA|=|MB|=4,|ND|=|NB|=2,且|PA|=|PD|,

那么|PM|-|PN|=(|PA|+|MA|)-(|PD|+|ND|)=|MA|-|ND|=4-2=2<|MN|,

所以点P的轨迹为双曲线的右支(右顶点除外)，

当如下图时,

则|PNL|PM|=(|PB|-|NB|)-(|PA|-|AM|)=|MA|-|NB|=4-2=2<|MN|,

又2a=2,c=3,则a=l,b2=9-1=8,

2

所以点P的轨迹方程为丁一亍=l(XH±1).

故选A.

题型二双曲线标准方程

3

【例2】顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±1x的双曲线的标准方程为

22

y2f二上=]

【答案】--一=1或981.

944

【解析】

【分析】

先确定a的值，再分类讨论，求出b的值，即可得到双曲线的标准方程.

【详解】

由题意2a=6,a=3.

3

当焦点在x轴上时，・・•双曲线的渐近线方程为y=±-x,

.8_3,,_9

••一=一,../?=一.

322

22

二—匕=1

，方程为981；

4

3

当焦点在y轴上时，；双曲线的渐近线方程为y=±1x,

.33.,.

..——―,..Z?-2.

b2

22

.•.方程为匕—土=1.

94

27

22■y—

故双曲线的标准方程为：匕—土=1或瓦一gf=L

94—

巩固练习

1

十X

已知双曲线过点（4,行），且渐近线方程为y一2-则该双曲线的标准方程为

2

【答案】—-/=1

4-

【解析】

【分析】

【详解】

依题意，设所求的双曲线的方程为V-4^=4.

•••点A/（4,百）为该双曲线上的点，

A=16—12=4.

丫2

，该双曲线的方程为：x2-4y2=4,即、-—；/=]

故本题正确答案是二-丁=1

题型三双曲线的概念及应用

22

【例31已知双曲线C:土-匕=1的左右焦点分别是耳，点P是。的右支上的一点（不是顶点），过E作/月尸工

169'

的角平分线的垂线，垂足是M，0是原点，则|加。|=（）

A.随P点变化而变化B.2C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意作出图形，由几何知识可知，凰=g（|P用—忸叫）=”，即可求出.

【详解】

如图所示：延长F2M交PR于D

由几何知识可知，PM垂直平分。鸟，而。=4,

所以|防9|=J力匐=；(|尸用一忱闻)=a=4.

故选：C.

■

巩固练习

已知定点F、(―2,0),外(2,0),N是圆。：/+产=1上任意一点，点”关于点N的对称点为M，线段EM的中垂线与

直线F2M相交于点p,则点p的轨迹方程是()

【答案】B

【解析】

【分析】

由N是圆O:f+y2=i上任意一点,可得|ON|=一1,N为MFy的中点可求加工，结合垂直平分线的性质可得

\PF\^PM\,从而可得归用-归川=2为定值，由双曲线的定义即可得结果.

【详解】

如图，当点。在y轴左侧时，连接ON,PFy,则|ONbjgM=l,所以优M=2.

结合PN为线段的垂直平分线，可得|尸制=|加|=|尸周一|取田=归周一2,

所以|P41Tp周=2<|犀用=4.

同理，当点.在y轴右侧时，|尸耳|一忸用=2<忸闾=4.

2

故点P的轨迹是双曲线，其方程为V-±=1.

3

故选：B

题型四渐近线问题

【例4】设双曲线C经过点(2,2),且与工一/=1具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为

4

22

【答案】上一匕=1y=±2x

312

【解析】

【分析】

设双曲线。的方程为匕-/=九，将点代入即可求出双曲线方程，再求出渐近线方程;

4

【详解】

2

解：设双曲线C的方程为乙-/=4，将点(2,2)代入上式，得;1=一3,

4

22

的方程为土-上＞=1,其渐近线方程为'=±2了.

312

22

故答案为：--——=1；y=±2x

312

已知双曲线的两条渐近线的夹角为60。，则其离心率为

【答案】2或空

3

【解析】

试题分析：将焦点在X轴时2=tan30'4='c2-a2_1c2_42A/3

e=------

aa23a2-3'V-33

a1b22_2C2

当焦点在y轴时厂，皿3。、耳；./=3二丁=3「.--=4e=2

a

题型五离心率

2

已知产为双曲线二y2

【例51=1的一个焦点,8为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点。为圆心，半焦距为直径

a

的圆恰与直线5b相切，则双曲线的离心率为（）.

A.旦B.V2C.百D.2

2

【答案】A

【解析】

【分析】

求出直线BE的方程，利用点到线的距离公式，得到。、b、c的方程，即可求出离心率.

【详解】

由题意，设尸（c,0）,8（0,。），则直线8尸的方程为：-+^=1,

cb

因为以坐标原点。为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线8b相切，

c\-bc\cb2c2c2

故原点到直线BF的距离为一，即1=-两边同时平方得野二=—

2"222h2+c24

-,-c2=b2+a2

3h2=c2

.-.3（C2-«2）=C2

2c2=3a2

,,c——

2

故答案为A

,匕巩固练习

设尸为双曲线c：二一与=1(«>0,6>0)的右焦点，。为坐标原点，以0E为直径的圆与圆/+产=〃交于P、。两

a'b'

点.若|PQI=|OF|,则C的离心率为

A.V2B.G

C.2D.75

【答案】A

【解析】

【分析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率.

【详解】

设PQ与X轴交于点A，由对称性可知轴,

又PA为以OF为直径的圆的半径,

，A为圆心|OA|="|.

2^,1又尸点在圆『+y2=/上，

C2C2e2-C.2

一十一即J=/V-）一4•

442a

:.e=y[2>故选A.

题型六焦点三角形

22

【例6】设"和尸2为双曲线「―斗=1(4>0/>0)的两个焦点，若K，F,P(O,2人)是正三角形的三个顶点，则

a'b~2

双曲线的离心率为()

35

A.2B.-C.D.3

22

【答案】A

【解析】

试题分析：如图,

=tan60,，=G4/=3c2/.4Q2)=3C2

闺a忻。1

c2—4a2/.e1=4「♦e=2

U二^巩固练习

设耳，鸟是双曲线C:[-4=1（a>0,b>0）的左、右焦点，。是坐标原点.过居作C的一条渐近线的垂线,

ab

垂足为P.若上用=逐]。尸|,则。的离心率为

A.V5B.6C.2D.V2

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

分析：由双曲线性质得到归国=4|PO|=a然后在RtAPOf；和在RtAP/^^中利用余弦定理可得.

详解：由题可知|尸闾="|。闻=c

」.|PO|=a

|P居Ib

在RtJPO^中，cosZPF；O=■—4=-

|「段2+比周2-附「b

在APFF?中,cos/P^O=

21P周山周

白+4，_（d噎不

3a2

2b-2c—「c

e=6

题型七直线与双曲线

【例7】若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，则左的取值范围是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

1-公工0

A>0,

由直线与双曲线联立得（1一万）/一4版一10=0,由'%+%2>0,结合韦达定理可得解.

%1-x2>0>

【详解】

解析：把尸履+2代入V—产=6,得/—（Xx+2）z=6,

l-Z2Ho

A>0,

化简得（1一e/一4履一10=0,由题意知《玉+工2>0，

xi-x2>0,

16/+400-巧>0,

4k解得一正<么<一1.

即.>0,

l-k?3

-10

>0,

\-k2

巩固练习

X22

设A,B分别为双曲线。一方=1（必），比>0）的左、右顶点，双曲线的实轴长为4百，焦点到渐近线的距离为由.

a"

（1）求双曲线的方程:

x/3

（2）已知直线丫=x-2与双曲线的右支交于M,N两点，且在双曲线的右支上存在点。，使两+丽万，求，

3

的值及点。的坐标.

【答案】⑴若一（=1；（2）t=4,点〃的坐标为（4石,3）.

【解析】

【分析】

\bc\

（1）由双曲线的实轴长得a的值，再由焦点到渐近线的距离可得=解方程可得双曲线的方程；

扬+12

（2）设点,"（小,必），④，〃（施，㈤，由向量坐标化可得：X1+A2—txa,yx+y2—tya,再由直线与双曲线联立得

1673^+84=0,结合坐标关系利用韦达定理即可求解.

【详解】

⑴由题意知a=2百.

b

即bx—2^y=G.

.♦•一条渐近线为y=寿'

又c=a+Z?2=12+Z?2,•,•解得度=3.

22

...双曲线的方程为土—匕=1.

123

⑵设点以M，必），.”（王2，次），〃（施，必），则*1+及=方照，M+%=

将直线方程代入双曲线方程得/一16^x+84=0.

则为+至=166,弘+%=12.

xQ_4百

,IJo3，]%=4收

"\2y2'*[y=3.

^0__7o__|y0

J2^T-•

由两+两=，诙，得（16石，12）=（4百f,3t）.

.•"=4,点〃的坐标为（4月，3）.

题型八数形结合法

12

【例81若双曲线*_一£=13＞0,/；＞0)与直线y=J£有交点，则其离心率的取值范围是(〉

A.(1,2)B.(1,2]C.(2,+co)D.[2,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】

求出双曲线的一条渐近线方程，让它的斜率比y=6x的斜率大，找到a、力的关系，再求离心率的范围.

【详解】

双曲线的焦点在x轴，一条渐近线方程为y=2%,

a

这条渐近线比直线y=的斜率大，即，〉石，e=,1+(与＞2.

故选：C.

'4人巩固练习

若直线/：丁=履+2与双曲线C"2—y2=4的左、右两支各有一个交点，则实数上的取值范围是()

A.(-后1)B.(1,V2)C.(-V2,V2)D.(-1,1)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，然后由直线/：丁=区+2与双曲线

C：/一y2=4的左、右两支各有一个交点利用数形结合法求解.

【详解】

当直线/：y=Ax+2与双曲线C：x2-y2=4的渐近线y=±x平行时，々=±1,

此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示:

y

因为直线/：y="+2与双曲线C：%2一y2=4的左、右两支各有一个交点,

所以人的取值范围为(-1,1),

故选：D.

题型九极限法

【例9】已知点尸是双曲线之=1的左焦点,点£是该双曲线的右顶点，过户作垂直于x轴的直线与双曲线交于

G、H两点,若△G〃E是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()

A.(l,+oo)B.(1,2)C.(2,1+及)D.(1,1+72)

【答案】B

【解析】

【分析】

2

确定NGEF<45。,在直角△G£F中得到2/一02+b>0,^e-e-2<0^计算得到答案.

【详解】

若NGHE是锐角三角形，则ZGEF<45°

石2

在直角AGEF中，@川=幺，|砂|=a+c,|G同<|所|

即2a2一02+。。>0,所以e?-e—2<0得—l<e<2,又e>l,所以l<e<2

故选：B

巩固提升

22

1、已知方程」-----J=1表示双曲线，则攵的取值范围是()

\+k\-k

A.(-1,1)B.(0,m)

C.[0,+oo)D.(-00,-1)U(l,-H»)

【答案】A

【解析】

【分析】

22

根据方程2-------匕=1表示双曲线，列出不等式，即可求解.

1+k\-k

【详解】

22

由题意，方程上-----上一=1表示双曲线，则满足(l+k)(l—公＞0,

\+k\-k

即伏-1)/+1)＜0,解得一1＜女＜1,即左的取值范围是

故选：A.

2、已知M(-3,0),N(3,0),|PM|TPN|=6,则动点尸的轨迹是()

A.一条射线B.双曲线右支C.双曲线D.双曲线左支

【答案】A

【解析】

【分析】

根据可得动点p的轨迹.

【详解】

因为|门"|一|即=6=|MN|，故动点P的轨迹是一条射线，

其方程为：y=0,x＞3,故选A.

2222

3、若实数氏满足0＜斤＜9,则曲线3——匚=1与曲线———乙=1的()

259-&25—k9

A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

0</<9,则9-左>0，25—%>0，

2

双曲线二一1的实半轴长为5,虚半轴长为^焦距为2J25+（9—攵）=2d34-k,离心率为当三

259^1

双曲线上一-21=1的实半轴长为后二二，虚半轴长为3,

25-k9

焦距为2j(25-%)+9=2J34-k,离心率为

因此，两双曲线的焦距相等,

故选D.

22

4、若直线y=2x与双曲线「y（a>0,b>0）有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（)

a

A.(1,6)B.(右，+8)

C.(1,y/5]D.1后,+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

b

求得双曲线的渐近线方程，由双曲线与直线y=2x有交点，应有渐近线的斜率一>2,再由离心率

a

可得结论.

【详解】

h

双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为丁=—工,

a

b

由双曲线与直线y=2x有交点知，应有一>2,

a

故e>5故选B.

5、已知产是双曲线一匕=1的右焦点，p是双曲线c左支上的一点，且点A的坐标为（0,6#），则AAPF的

周长最小为,此时其面积为

【答案】321276

【解析】

【分析】

作出图形，由双曲线的定义可得|PF|=|P用+2,再由A、P、6三点共线可求得周长的最小值；求得直线的

的方程，将该直线的方程与双曲线的方程，求得点P的坐标，由此可求得AAPF的面积.

【详解】

设双曲线的左焦点为耳，

2

由双曲线方程V一匕=1可知a=i,c=3,故尸（3,0）、耳（一3,0）.

8

当点P在双曲线左支上运动时-，由双曲线定义知归可一归制=2,所以归目=归用+2,从而AAPF的周长为

|图+|尸产|+|AF|=|AP|+|06|+2+|AF|.

因为日=小2+（6C『=15为定值,

所以当+周最小时，AAPF的周长最小.

由图可知，此时点尸为线段4耳与双曲线的交点，

则AAPF的周长为IAP|+俨用+2+1AF|=+2+15=32.

由题意可知直线4月的方程为y=2几x+676.

y=2y[6x+6\/6,

由，，y2消去工,得y?+6-96=0,解得y=2或y=-8\/^（舍去），

%2--=1

所以久”F=S加了一5=-X6X6A/6--X6X2V6=125/6.

A/iirA/ii|F△PF]F22

故答案为：32；12卡.

22

6,已知双曲线C：三-4=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为n,尸2,过Q的直线与C的两条渐近线分别交于A,B

两点.若不=通，那•印=0,则C的离心率为.

【答案】2.

【解析】

【分析】

通过向量关系得到=和QA，£A,得到NAOB=NAOK，结合双曲线的渐近线可得

NBOF2=NAOFI，N80E,=NAOG=NBOA=60°,从而由2=tan60°=6可求离心率.

a

【详解】

如图，

由不=砺，得6A=A及又06=O弱，得0A是三角形片尸道的中位线，即BF2//OA,BF2=2OA.由耶.可=0,

得与5，F2B,OA^F.A,则OB=OFt有ZAOB=乙40耳,

又0A与0B都是渐近线，得/反鸠=/40耳，又^BOF2+ZAOB+ZAOFt=n,得

8r

ZBOF2=ZAOFt=ABOA=60°,又渐近线0B的斜率为a一匕.一,所以该双曲线的离心率为

e=-=J1+&23=Jl+(6)2=2

aVa

22

7、若关于x,y的方程工+上_=1表示的是曲线C,给出下列四个命题：

4-//-1

①若C为椭圆，则1<?<4;

②若C为双曲线，则t>4或1;

③曲线C不可能是圆；

3

④若C表示椭圆，且长轴在x轴上厕1</<一.

2

其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上)

【答案】②

【解析】

4-r＞0

对于①，若c为椭圆，则有＜51＞0,解得1＜，＜4且r/g.所以①不正确.

4-Z*/-I

对于②，若C为双曲线，则有（4一。«—1）＜0,解得＞4或区1,所以②正确.

53

对于③，当/='时，该曲线方程为f+y2=—,表示圆，所以③不正确.

22

对于④，若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则4-Of—1＞0,解得所以④不正确.

2

综上只有②正确.

答案：②

8、已知《，瑞分别是双曲线C：f-y2=i的左右焦点，点2是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量两.三耳=（）,

则下列结论正确的是（）

A.双曲线。的渐近线方程为y=±XB.以4K为直径的圆的方程为V+y2=1

C.6到双曲线的一条渐近线的距离为1D.AP耳耳的面积为1

【答案】ACD

【解析】

【分析】

求出双曲线C渐近线方程，焦点耳，心，APKE的面积即可判断.

【详解】

A代入双曲线渐近线方程得y=±x,正确.

8.由题意得耳（0,0）,6（—正,0）,则以耳心为直径的圆的方程

不是f+y2=i,错误.

c.f；（V2,o）,渐近线方程为y=x,距离为1,正确.

D.由题意得耳（夜,0）,6（一75,（））,设27），为），根

据斯•%=0,解得/=±半，%=±孝，则

△P耳工的面积为1.正确.

故选：ACD.

9、在平面直角坐标系x0y中，若双曲线4=1（。＞0力＞0）的右焦点E（c,0）到一条渐近线的距离为走c，则其

a-b-