新九年级数学时期讲义第6讲旋转-基础班(学生版+解析)

第6讲旋转1旋转旋转的概念把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AOA′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.

【例题精选】例1(2023秋•无为县期末）下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（）A． B． C． D．例2(2023秋•滦南县期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将△ABC绕旋转中心旋转90°后得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别是点A′，B′、C′，那么旋转中心是（）A．点Q B．点P C．点N D．点M【随堂练习】1．(2023•桥西区模拟）如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（）A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD2．(2023秋•玉田县期末）如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转（）度．A．60 B．90 C．120 D．1503．(2023•新宾县二模）把图形绕O点顺时针旋转90°度后，得到的图形是（）A． B． C． D．4．(2023秋•潮州期末）如图，将△ABC就点C按逆时针方向旋转75°后得到△A′B′C，若∠ACB＝25°，则∠BCA′的度数为（）A．50° B．40° C．25° D．60°2中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．

这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的).2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.【例题精选】例1(2023•沙坪坝区校级一模）下列四个标志图中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．例2(2023秋•揭阳期末）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【随堂练习】1．(2023•市南区一模）下列图案中是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3图案设计在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；

(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

(4)连接所得到的各对应点.【例题精选】例1(2023秋•洛南县期末）（1）请画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2BC2．【随堂练习】1．(2023•金牛区校级模拟）如图，若将直角坐标系中“鱼“形图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标都乘以﹣1，得到一组新的点，再依次连接这些点，所得图案与原图案的关系为（）A．重合 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．宽度不变，高度变为原来的一半2．(2023春•锦江区校级期中）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）画出△ABC关于原点对称的三角形△A'B'C'；（2）将三角形A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出B的对应点的坐标．综合练习一．选择题1．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠CAB'等于（）A．30° B．25° C．15° D．10°2．在平面直角坐标系中，将点P（0，1）绕坐标原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（1，1）3．如图，在面积为12的▱ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE＝2EB，则图中阴影部分的面积等于（）A．2 B．3 C． D．4．如图，点A（2，0）为x轴正半轴上一点，点B（0，2）为y轴正半轴上一点，点P为AB中点，将△OAB绕原点O顺时针旋转120°后，点P的对应点坐标为（）A．（2，﹣2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣） D．（，﹣1）5．已知，将点A1（4，2）向左平移3个单位到达点A2的位置，再向上平移4个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，则旋转后A3的坐标为（）A．（﹣2，2） B．（﹣3，2） C．（﹣2，1） D．（﹣3，1）二．解答题6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣2，3）、B（﹣3，﹣1）、C（0，1）．（1）以（0，1）为中心，将△ABC放大为原来的2倍，在网格中画出经过上述变换后所得的△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出A2的坐标．7．如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE．（1）求证：△ABC≌△ABE；（2）连接AD，求AD的长．8．如图，长方形ABCD绕顶点A旋转后得到长方形AEFG，点B、A、G在同一直线上，试回答下列问题：（1）旋转角度是多少？（2）△ACF是什么形状的三角形，说明理由？9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（3，4）、B（1，2）、C（5，3）（1）将△ABC平移，使得点A的对应点A1的坐标为（﹣2，4），在如图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1并直接写出A2、B2的坐标；（3）求△A2B2C1的面积．第6讲旋转1旋转旋转的概念把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AOA′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.

【例题精选】例1(2023秋•无为县期末）下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（）A． B． C． D．分析：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．【解答】解：A．旋转90°后能与自身重合，不合题意；B．旋转72°后能与自身重合，符合题意；C．旋转60°后能与自身重合，不合题意；D．旋转45°后能与自身重合，不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了旋转对称图形，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．例2(2023秋•滦南县期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将△ABC绕旋转中心旋转90°后得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别是点A′，B′、C′，那么旋转中心是（）A．点Q B．点P C．点N D．点M分析：作AA′、CC′的垂直平分线，它们的交点为N点，从而得到正确选项．【解答】解：如图，N点为旋转中心．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．【随堂练习】1．(2023•桥西区模拟）如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（）A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD【解答】解：∵△ABC绕点A旋转至△ADE，∴旋转角为∠BAD或∠CAE，故选：A．2．(2023秋•玉田县期末）如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转（）度．A．60 B．90 C．120 D．150【解答】解：根据图形可得出：这是一个由基本图形绕着中心连续旋转3次，每次旋转120度角形成的图案．故选：C．3．(2023•新宾县二模）把图形绕O点顺时针旋转90°度后，得到的图形是（）A． B． C． D．【解答】解：原图顺时针旋转90度后，竖直的线段成水平，排除B和C，三角形应该在水平线的下方，所以D答案正确．故选：D．4．(2023秋•潮州期末）如图，将△ABC就点C按逆时针方向旋转75°后得到△A′B′C，若∠ACB＝25°，则∠BCA′的度数为（）A．50° B．40° C．25° D．60°【解答】解：根据旋转的定义可知旋转角∠ACA′＝75°，∴∠BCA′＝∠ACA′﹣∠ACB＝75°﹣25°＝50°．故选：A．2中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．

这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的).2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.【例题精选】例1(2023•沙坪坝区校级一模）下列四个标志图中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．分析：根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．例2(2023秋•揭阳期末）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．【随堂练习】1．(2023•市南区一模）下列图案中是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：第一个图形不是中心对称图形；第二个图形是中心对称图形；第三个图形不是中心对称图形；第四个图形是中心对称图形；中心对称图形共2个，故选：B．3图案设计在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；

(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

(4)连接所得到的各对应点.【例题精选】例1(2023秋•洛南县期末）（1）请画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2BC2．分析：（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、C的对应点A2、C2即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）；（2）如图，△A2BC2为所作．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．【随堂练习】1．(2023•金牛区校级模拟）如图，若将直角坐标系中“鱼“形图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标都乘以﹣1，得到一组新的点，再依次连接这些点，所得图案与原图案的关系为（）A．重合 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．宽度不变，高度变为原来的一半【解答】解：图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1，则对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，所得图案与原图案关于y轴对称．故选：C．2．(2023春•锦江区校级期中）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）画出△ABC关于原点对称的三角形△A'B'C'；（2）将三角形A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出B的对应点的坐标．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作；（2）如图，△A″B″C″为所作；B的对应点B″的坐标为（0，﹣6）．综合练习一．选择题1．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠CAB'等于（）A．30° B．25° C．15° D．10°【解答】解：∵C′C∥AB，∴∠ACC′＝∠CAB＝70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，∴AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，∴∠ACC′＝∠AC′C＝70°，∴∠CAC′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAB′＝40°，∴∠CAB′＝∠CAB﹣∠BAB′＝70°﹣40°＝30°．故选：A．2．在平面直角坐标系中，将点P（0，1）绕坐标原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（1，1）【解答】解：∵点P（0，1）绕坐标原点O顺时针旋转90°所得到的对应点为P′，∴P′（1，0），故选：A．3．如图，在面积为12的▱ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE＝2EB，则图中阴影部分的面积等于（）A．2 B．3 C． D．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠ODF＝∠OBE，而∠DOF＝∠BOE，∴△ODF≌△OBE（ASA），∴S△ODF＝S△OBE，∴S阴影部分＝S△ODC＝S平行四边形ABCD＝×12＝3．故选：B．4．如图，点A（2，0）为x轴正半轴上一点，点B（0，2）为y轴正半轴上一点，点P为AB中点，将△OAB绕原点O顺时针旋转120°后，点P的对应点坐标为（）A．（2，﹣2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣） D．（，﹣1）【解答】解：∵点A（2，0），点B（0，2），∴OA＝2，OB＝2，∴tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝60°，∵PA＝PB，∴OP＝PA＝PB，P（1，），∴△AOP是等边三角形，∴∠POA＝60°，∵旋转后∠P′OP＝120°，∴∠AOP′＝∠AOP，∴P，P′关于x轴对称，∴P′（1，﹣），故选：C．5．已知，将点A1（4，2）向左平移3个单位到达点A2的位置，再向上平移4个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，则旋转后A3的坐标为（）A．（﹣2，2） B．（﹣3，2） C．（﹣2，1） D．（﹣3，1）【解答】解：点A1（4，2）向左平移3个单位到达点A2的位置，则点A2的坐标为（1，2），再向上平移4个单位到达点A3的位置，点A3的坐标为（1，5），△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，则旋转后A3的坐标为（﹣3，2），故选：B．二．解答题6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣2，3）、B（﹣3，﹣1）、C（0，1）．（1）以（0，1）为中心，将△ABC放大为原来的2倍，在网格中画出经过上述变换后所得的△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出A2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）如图，△A2B2C2为所作，A2的坐标为（4，2）．7．如图所示，∠D