2023-2024学年北京四中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京四中高二（下）期中数学试卷一、选择题（共50分）1.将一枚均匀硬币抛3次，设正面朝上的硬币数为X，则P(X=2)=(

)A.23 B.14 C.382.在(x−1)4的展开式中，x的系数为(

)A.4 B.−4 C.1 D.−13.从2位男生中选1人，3位女生中选2人，组成一个由其中一名女生为组长的活动筹备组，可以选择的方法种数为(

)A.36 B.24 C.18 D.124.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则第一张抽到奇数且第二张抽到偶数的概率是(

)A.518 B.49 C.595.在一段时间内，甲去博物馆的概率为0.8，乙去博物馆的概率为0.7，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是(

)A.0.56 B.0.24 C.0.94 D.0.846.由数字0，1，2，3，4，5组成三位数(允许重复)，各位数字之和等于6的有(

)A.13个 B.15个 C.17个 D.20个7.某成品仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器成品，第一、二车间生产的成品比例为2：3，已知第一车间的一等品率为0.85，第二车间的一等品率为0.88.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，该产品是一等品的概率为(

)A.0.1325 B.0.112 C.0.868 D.0.88848.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y若0.1，x，0.3，y成等差数列，则E(ξ)=(

)A.7.3 B.8.9 C.9 D.9.49.动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离．经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为(

)A.7 B.9 C.11 D.1310.一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.试验一：从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，每次抽取后都放回，记取到白球的个数为X1；实验二：从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，每次抽取后都不放回，记取到白球的个数为X2.则下列判断正确的是A.E(X1)<E(X2) B.E(二、非选择题（共100分）11.已知随机变量ξ服从参数为13的两点分布，则E(ξ)=______，D(ξ)=______．12.已知(1+2x)n的展开式的二项式系数之和为16，则n=______．13.如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落入A，B，C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别给以一、二、三等奖.则某人投1次小球获得三等奖的概率为______．14.某篮球运动员一次投篮得分X的分布列为：X320Pabc若他在一次投篮中得分的期望E(X)=2，则ab的最大值为______．15.已知集合A={x|t=(a1,a2,a3,a4)，ai∈{1,2,3,4}，i=1，2，3，4}，B={β∈A|β=(a1,a2,a3,a4)，∀i16.某公司在2013～2021年生产经营某种产品的相关数据如表所示：年份201320142015201620172018201920202021年生产台数(单位：万台)3456691010a年返修台数(单位：台)3238545852718075b年利润(单位：百万元)3.854.504.205.506.109.6510.0011.50c注：年返修率=年返修台数年生产台数．

(Ⅰ)从2013～2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；

(Ⅱ)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013～2020年中随机选出3年，记ξ表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求ξ的分布列和数学期望；

(Ⅲ)记公司在2013～2015年，2016～2018年，2019～2021年的年生产台数的方差分别为s12，s22，s32.若s32≤max{s12,s22}，其中max{s12,s22}17.一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：

(1)得60分的概率；

(2)所得分数ξ的分布列和数学期望．18.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，A.31 B.32 C.63 D.6419.已知1，a+1，b+5成等比数列，3，a，b成等差数列，则该等差数列的公差为(

)A.−4或−2 B.−2或4 C.−2 D.220.某人有一笔闲置资金想用于投资，现有三种投资时间均为10天的方案，这三种方案的回报预期如下：

方案一：风险投资，有80%的概率获得回报400元，有20%的概率获得回报800元；

方案二：第一天获得回报10元，以后每天获得的回报比前一天多10元；

方案三：第一天获得回报0.5元，以后每天获得的回报都是前一天的两倍．

若为使投资的回报最多，应该选择的投资方案是(

)A.方案一 B.方案二 C.方案三 D.都可以21.已知数列{an}中，an=−2n+15，前n项和为Sn，则当S22.如表定义函数f(x)：x12345f(x)45123数列{an}中，a1=3，an=f(an−1)，n=2，23.对于项数为m的数列{an}和{bn}，记bk为a1，a2，…，ak(k=1,2,…,m)中的最小值.给出下列判断：

①若数列{bn}的前5项是5，5，3，3，1，则a5=1；

②若数列{bn}是递减数列，则数列{24.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3=2，S5=a7．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an及Sn；25.设a1，a2，…，an为1，2，3，…，n的一个排列，若该排列中有且仅有一个i满足ai>ai+1，i∈{1,2,…,n−1}，则称该排列满足性质T.对任意正整数n，记dn为满足性质T的排列a1，a2，…，an的个数．

(1)求d1，d2，d3的值；

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由题意可知，X～B(3,12)，

则P(X=2)=C32×(12)22.【答案】B

【解析】解：展开式中含x的项的系数为C43x⋅(−1)3=−4x，

所以x的系数为−4．

故选：3.【答案】D

【解析】解：从2位男生中选1人，3位女生中选2人，组成一个由其中一名女生为组长的活动筹备组，

可以选择的方法种数为C21C32C21=124.【答案】A

【解析】解：随机抽取2次，共有9×8=72不同情况，

记第一张抽到奇数且第二张抽到偶数为事件A，

则事件A包含5×4=20不同情况，

所以P(A)=2072=518．

故选：A5.【答案】C

【解析】解：根据题意，设甲去博物馆为事件A，乙去博物馆为事件B，

则P(A)=0.8，P(B)=0.7，则P(A−)=0.2，P(B−)=0.3，

两人都不去博物馆的概率P(A−B−)=0.2×0.3=0.06，

则甲乙两人至少有一个去博物馆的概率P=1−P(A−B−)=0.94；6.【答案】D

【解析】解：各位数字之和等于6的有6种情况，

当3个数位上的数字为“0，1，5”时，

可组成三位数的个数为C21A22=4；

当3个数位上的数字为“0，2，4”时，

可组成三位数的个数为C21A22=4；

当3个数位上的数字为“0，3，3”时，

可组成三位数的个数为C21=2；

当3个数位上的数字为“1，2，3”时，

可组成三位数的个数为A33=6；

当3个数位上的数字为“1，1，4”时，

可组成三位数的个数为A33A22=3；

当3个数位上的数字为“7.【答案】C

【解析】解：由题意可知，该产品是一等品的概率为：25×0.85+35×0.88=0.868．

故选：C8.【答案】B

【解析】解：由ξ的分布列可得x+0.1+0.3+y=1，即x+y=0.6，

又0.1，x，0.3，y成等差数列，∴x+0.3=0.1+y，即x−y=−0.2，

解得x=0.2，y=0.4，

则E(ξ)=7×0.2+8×0.1+9×0.3+10×0.4=8.9．

故选：B．

利用随机变量的分布列的性质及等差数列的性质即可得出关于x，y的方程组，进而得出结论．

本题考查了随机变量的分布列的性质及等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】D

【解析】解：根据题意，分4种情况讨论：

①，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有−6，−5，−4，−3，

②，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，

③，动点M向左跳2次，向右跳1次，故有−3，−2，−1，0，2，

④，动点M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，

故M在数轴上可能位置的个数为−6，−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5，6共有13个，

故选：D．

根据题意，分4种情况讨论，分别求出相对应的数据即可．

本题考查合情推理的问题，要求学生利用组合掌握用数轴表示实数及实数间的位置关系．10.【答案】C

【解析】解：实验一：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为410=25，

则X1～B(3,25)，故E(X1)=3×25=65,D(X1)=3×25×(1−25X01

2

3

P11

31则数学期望为E(X2)=0×16+1×12+2×310+3×130=65，

11.【答案】13

2【解析】解：∵随机变量ξ服从参数为13的两点分布，则E(ξ)=13，D(ξ)=(0−13)2×23+(1−12.【答案】4

【解析】解：由二项式系数和公式可得2n=16，则n=4．

故答案为：4．

利用二项式系数和公式即可求解．13.【答案】716【解析】解：投1次小球获得三等奖有三条线路，

又因为小球从每个叉口落入两个管道的可能性相等，

所以投1次小球获得三等奖得概率为12×12+12×12×14.【答案】124【解析】解：∵他在一次投篮中得分的期望E(X)=2，

∴3a+2b+0×c=1，

∴3a+2b=1，a，b>0，

则1≥23a⋅2b，化为ab≤124，

当且仅当3a=2b，即a=16，b=14时取等号．

因此ab的最大值为124．

故答案为：115.【答案】332

1【解析】解：(1)由题意可知：集合A的元素个数为4×4×4×4=256，集合B的元素个数为A44=24，

所以从A中任取一元素属于B的概率为P=24256=332，

(2)因为β=(a1,序号

1号

2号

3号

4号

X

1

1

2

3

4

0

2

1

2

4

3

2

3

1

3

2

4

2

4

1

3

4

2

4

5

1

4

2

3

4

6

1

4

3

2

4

7

2

1

3

4

2

8

2

1

4

3

4

9

2

3

1

4

4

10

2

3

4

1

6

11

2

4

1

3

6

12

2

4

3

16

13

3

1

2

4

4

14

3

1

4

2

6

15

3

2

1

4

4

16

3

2

4

1

6

17

3

4

2

1

8

18

3

4

1

2

8

19

4

1

2

3

6

20

4

1

3

2

6

21

4

2

1

3

6

22

4

2

3

1

6

23

4

3

1

2

8

24

4

3

2

18可知X≤2共有4种情况，

所以P(X≤2)=424=16．

故答案为：(1)332；(2)16．

(1)分别求集合A、B的元素个数，结合古典概型分析求解；

(2)列表求a1，16.【答案】解：(Ⅰ)由图表知，2013年～2020年中，

产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年，2016年，

∴从2013年～2020年中随机抽取一年，

该年生产的平均利润不小于100元/台的概率为P=68=0.75．

(Ⅱ)由图表得，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年，

∴ξ的所有可能取值为1，2，3，

P(ξ=1)=C61C22C

ξ

1

2

3

P

3

15

5∴E(ξ)=1×328+2×1528+3×514=94【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查超几何分布分布、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

(Ⅰ)由图表知，2013年～2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年，2016年，由此能求出从2013年～2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不小于100元/台的概率．

(Ⅱ)由图表得，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年，ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．

(Ⅲ)a的最大值为13，最小值为7．17.【答案】解：(1)设“可判断两个选项是错误的题目选对”为事件A，

“可判断一个选项是错误的题目选对”为事件B，

“不理解题意的题目选对”为事件C，

∴P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14，

∴得60分的概率为p=12×12×13×14=148．

(2)ξ可能的取值为40，45，50，55，ξ4045505560P(ξ)1171771Eξ=40×648【解析】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．

(1)设“可判断两个选项是错误的题目选对”为事件A，“可判断一个选项是错误的题目选对”为事件B，“不理解题意的题目选对”为事件C，由P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14，能求出得60分的概率．

(2)ξ可能的取值为40，45，50，55，60，分别求出P(ξ=40)，P(ξ=45)，P(ξ=50)，P(ξ=55)和18.【答案】C

【解析】【分析】本题考查等比数列的前n项和和通项公式，属于基础题．

由S2=3，S4=15可求得q2【解答】

解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，

由S2=3，S4=15，可得a1(1−q2)1−q=3a1(1−q4)1−q19.【答案】C

【解析】解：由题意得(a+1)2=b+5且2a=b+3，

所以(a+1)2=2a+2，

整理的a2=1，即a=1或a=−1，

当a=−1时，a+1=0，不符合题意，

故a=1，b=−1，则3，1，−1的公差为−2．20.【答案】B

【解析】解：对于方案一：回报的期望为80%×400+20%×800=480元；

对于方案二：回报为10×10+9×102×10=550元；

对于方案三：回报为0.5(1−210)1−2=511.5元；

因为480<511.5<550，应该选择的投资方案是方案二．21.【答案】7

【解析】解：因为an=−2n+15，

则a7>0，a8<0，

故n=7时，Sn取到最大值．

故答案为：7．

22.【答案】2

【解析】解：由a1=3，an=f(an−1)，可得a2=f(a1)=f(3)=1，a3=f(1)=4，a4=f(4)=2，

a5=f(2)=5，a6=f(5)=3，a7=f(3)=1，a8=f(1)=4，23.【答案】①②④

【解析】解：①若数列{bn}的前5项是5，5，3，3，1，

∴a1=5，

∵b2=5，∴a2≥5，

∵b3=3，∴a3=3，

∵b4=3，∴a4≥3，

∵b5=1，∴a5=1，正确；

②若数列{bn}是递减数列，则数列{an}也一定是递减数列，正确；

③数列{bn}一定是非严格的递减数列，故错；24.【答案】解：(Ⅰ)设公差为d，

由题意，得a1+2d=25a1+12×5×4d=a1+6d

解得a1=−2，d=2，

所以an=−2+(n−