2018上海市崇明区高考数学一模的试卷

...wd......wd......wd...2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题〔本大题共有12题，总分值54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分〕1．〔4分〕集合A={1，2，5}，B={2，a}，假设A∪B={1，2，3，5}，那么a=．2．〔4分〕抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．〔4分〕不等式＜0的解是．4．〔4分〕假设复数z满足iz=1+i〔i为虚数单位〕，那么z=．5．〔4分〕在代数式〔x﹣〕7的展开式中，一次项的系数是．〔用数字作答〕6．〔4分〕假设函数y=2sin〔ωx﹣〕+1〔ω＞0〕的最小正周期是π，那么ω=．7．〔5分〕假设函数f〔x〕=xa的反函数的图象经过点〔，〕，那么a=．8．〔5分〕将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，那么该几何体的侧面积为cm2．9．〔5分〕函数y=f〔x〕是奇函数，当x＜0时，f〔x〕=2x﹣ax，且f〔2〕=2，那么a=．10．〔5分〕假设无穷等比数列{an}的各项和为Sn，首项a1=1，公比为a﹣，且Sn=a，那么a=．11．〔5分〕从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．〔用数字作答〕12．〔5分〕在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．假设•=6，||=2，那么AC=．二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分〕13．〔5分〕展开式为ad﹣bc的行列式是〔〕A． B． C． D．14．〔5分〕设a，b∈R，假设a＞b，那么〔〕A．＜ B．lga＞lgb C．sina＞sinb D．2a＞2b15．〔5分〕等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么“d＞0〞是“S4+S6＞2S5〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．〔5分〕直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，假设=a+b〔a，b∈R，O为坐标原点〕，那么以下不等式恒成立的是〔〕A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题〔本大题共有5题，总分值76分〕17．〔14分〕如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，〔1〕求四棱锥A1﹣ABCD的体积；〔2〕求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．〔14分〕f〔x〕=2sinxcosx+2cos2x﹣1．〔1〕求f〔x〕的最大值及该函数取得最大值时x的值；〔2〕在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，假设a=，b=，且f〔〕=，求边c的值．19．〔14分〕2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游工程．规划从2017年起，在今后的假设干年内，每年继续投资2千万元用于此工程.2016年该工程的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的根基上增长50%．记2016年为第1年，f〔n〕为第1年至此后第n〔n∈N*〕年的累计利润〔注：含第n年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元〕，且当f〔n〕为正值时，认为该工程赢利．〔1〕试求f〔n〕的表达式；〔2〕根据预测，该工程将从哪一年开场并持续赢利请说明理由．20．〔16分〕在平面直角坐标系中，椭圆C：+y2=1〔a＞0，a≠1〕的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m〔k，m∈R〕与椭圆交于A，B两点．〔1〕假设M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；〔2〕假设k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；〔3〕假设a=2，且kOA•kOB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．〔18分〕假设存在常数k〔k＞0〕，使得对定义域D内的任意x1，x2〔x1≠x2〕，都有|f〔x1〕﹣f〔x2〕|≤k|x1﹣x2|成立，那么称函数f〔x〕在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数〞．〔1〕假设函数f〔x〕=，〔1≤x≤4〕是“k﹣利普希兹条件函数〞，求常数k的最小值；〔2〕判断函数f〔x〕=log2x是否是“2﹣利普希兹条件函数〞，假设是，请证明，假设不是，请说明理由；〔3〕假设y=f〔x〕〔x∈R〕是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数〞，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f〔x1〕﹣f〔x2〕|≤1．2018年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题〔本大题共有12题，总分值54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分〕1．〔4分〕集合A={1，2，5}，B={2，a}，假设A∪B={1，2，3，5}，那么a=3．【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案为：3．2．〔4分〕抛物线y2=4x的焦点坐标为〔1，0〕．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：〔1，0〕故答案为：〔1，0〕3．〔4分〕不等式＜0的解是〔﹣1，0〕．【解答】解：不等式＜0，即x〔x+1〕＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：〔﹣1，0〕．4．〔4分〕假设复数z满足iz=1+i〔i为虚数单位〕，那么z=1﹣i．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．5．〔4分〕在代数式〔x﹣〕7的展开式中，一次项的系数是21．〔用数字作答〕【解答】解：〔x﹣〕7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2，∴一次项的系数是．故答案为：21．6．〔4分〕假设函数y=2sin〔ωx﹣〕+1〔ω＞0〕的最小正周期是π，那么ω=2．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin〔ωx﹣〕+1〔ω＞0〕的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．〔5分〕假设函数f〔x〕=xa的反函数的图象经过点〔，〕，那么a=．【解答】解：假设函数f〔x〕=xa的反函数的图象经过点〔，〕，那么：〔，〕满足f〔x〕=xα，所以：，解得：，故答案为：．8．〔5分〕将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，那么该几何体的侧面积为18πcm2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，那么圆柱体的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．9．〔5分〕函数y=f〔x〕是奇函数，当x＜0时，f〔x〕=2x﹣ax，且f〔2〕=2，那么a=﹣．【解答】解：∵函数y=f〔x〕是奇函数，当x＜0时，f〔x〕=2x﹣ax，∴x＞0时，﹣f〔x〕=2﹣x﹣a〔﹣x〕，∴f〔x〕=﹣2﹣x﹣ax，∵f〔2〕=2，∴f〔2〕=﹣2﹣2﹣2a=2，解得a=﹣．故答案为：﹣．10．〔5分〕假设无穷等比数列{an}的各项和为Sn，首项a1=1，公比为a﹣，且Sn=a，那么a=2．【解答】解：无穷等比数列{an}的各项和为Sn，首项a1=1，公比为a﹣，且Sn=a，可得=a，即有=a，即为2a2﹣5a+2=0，解得a=2或，由题意可得0＜|q|＜1，即有0＜|a﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立．故答案为：2．11．〔5分〕从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有780种不同的选法．〔用数字作答〕【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有1名女生，那么分3种情况讨论：①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法，那么一共有360+360+60=780；故答案为：780．12．〔5分〕在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．假设•=6，||=2，那么AC=4．【解答】解：建设平面直角坐标系如以以下图，设B〔﹣a，0〕，C〔a，0〕，E〔0，b〕，∠ABC=α，由||=2，知A〔﹣a+2cosα，2sinα〕，∴=〔a﹣2cosα，b﹣2sinα〕，=〔2a，0〕，∴•=2a〔a﹣2cosα〕+0=2a2﹣4acosα=6，∴a2﹣2acosα=3；又=〔2a﹣2cosα，﹣2sinα〕，∴=〔2a﹣2cosα〕2+〔﹣2sinα〕2=4a2﹣8acosα+4=4〔a2﹣2acosα〕+4=4×3+4=16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分〕13．〔5分〕展开式为ad﹣bc的行列式是〔〕A． B． C． D．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．应选B．14．〔5分〕设a，b∈R，假设a＞b，那么〔〕A．＜ B．lga＞lgb C．sina＞sinb D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．应选：D．15．〔5分〕等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么“d＞0〞是“S4+S6＞2S5〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2〔5a1+10d〕，∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0〞是“S4+S6＞2S5〞充分必要条件，应选：C16．〔5分〕直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，假设=a+b〔a，b∈R，O为坐标原点〕，那么以下不等式恒成立的是〔〕A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A〔2，1〕，B〔2，﹣1〕．=a+b=〔2a+2b，a﹣b〕．代入双曲线方程可得：﹣〔a﹣b〕2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．应选：C．三、解答题〔本大题共有5题，总分值76分〕17．〔14分〕如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，〔1〕求四棱锥A1﹣ABCD的体积；〔2〕求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．【解答】解：〔1〕∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．〔2〕∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角〔或所成角的补角〕．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．18．〔14分〕f〔x〕=2sinxcosx+2cos2x﹣1．〔1〕求f〔x〕的最大值及该函数取得最大值时x的值；〔2〕在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，假设a=，b=，且f〔〕=，求边c的值．【解答】解：f〔x〕=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin〔2x+〕〔1〕当2x+=时，即x=〔k∈Z〕，f〔x〕取得最大值为2；〔2〕由f〔〕=，即2sin〔A+〕=可得sin〔A+〕=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．〔14分〕2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游工程．规划从2017年起，在今后的假设干年内，每年继续投资2千万元用于此工程.2016年该工程的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的根基上增长50%．记2016年为第1年，f〔n〕为第1年至此后第n〔n∈N*〕年的累计利润〔注：含第n年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元〕，且当f〔n〕为正值时，认为该工程赢利．〔1〕试求f〔n〕的表达式；〔2〕根据预测，该工程将从哪一年开场并持续赢利请说明理由．【解答】解：〔1〕由题意知，第1年至此后第n〔n∈N*〕年的累计投入为8+2〔n﹣1〕=2n+6〔千万元〕，第1年至此后第n〔n∈N*〕年的累计净收入为+×+×+…+×=〔千万元〕．∴f〔n〕=﹣〔2n+6〕=﹣2n﹣7〔千万元〕．〔2〕方法一：∵f〔n+1〕﹣f〔n〕=[﹣2〔n+1〕﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f〔n+1〕﹣f〔n〕＜0，故当n≤4时，f〔n〕递减；当n≥4时，f〔n+1〕﹣f〔n〕＞0，故当n≥4时，f〔n〕递增．又f〔1〕=﹣＜0，f〔7〕=≈5×﹣21=﹣＜0，f〔8〕=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该工程将从第8年开场并持续赢利．答：该工程将从2023年开场并持续赢利；方法二：设f〔x〕=﹣2x﹣7〔x≥1〕，那么f′〔x〕=，令f'〔x〕=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4〕时，f'〔x〕＜0，f〔x〕递减；当x∈〔4，+∞〕时，f'〔x〕＞0，f〔x〕递增．又f〔1〕=﹣＜0，f〔7〕=≈5×﹣21=﹣＜0，f〔8〕=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该工程将从第8年开场并持续赢利．答：该工程将从2023年开场并持续赢利．20．〔16分〕在平面直角坐标系中，椭圆C：+y2=1〔a＞0，a≠1〕的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m〔k，m∈R〕与椭圆交于A，B两点．〔1〕假设M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；〔2〕假设k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；〔3〕假设a=2，且kOA•kOB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：〔1〕∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，〔2〕当k=1时，y=x+m，设A〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，由，即〔1+a2〕x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=〔x1+m〕〔x2+m〕=x1x2+m〔x1+x2〕+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2〔a2+1〕=2a2，〔3〕证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，∵kOA•kOB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，〔1+4k2〕x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=〔kx1+m〕〔kx2+m〕=k2x1x2+km〔x1+x2〕+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，∴S△OAB