2021年湖南省株洲市荷塘区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2021年湖南省株洲市荷塘区中考数学一模试卷一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）化简的正确结果是（）A．±2 B．﹣2 C．2 D．42．（4分）下面四个图形，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A． B． C． D．4．（4分）下列运算正确的是（）A．（3m2）2＝6m4 B．m2•m3＝m5 C．3m﹣m＝2 D．（m+1）2＝m2+15．（4分）在2021年3月8日当天，由贾玲导演并主演的电影《你好，李焕英》，收获约46120000元票房，将46120000用科学记数法表示是（）A．4612×104 B．4.612×108 C．46.12×106 D．4.612×1076．（4分）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（）A． B． C． D．7．（4分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．28．（4分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（）A．30° B．50° C．70° D．80°9．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的结论是（）A．∠DCB＝∠B B．BC＝BD C．AD＝BD D．∠ACD＝∠BDC10．（4分）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票，所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，如图的勾股图中，已知∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．作四边形PQNM，满足点H、I在边MN上，点E、G分别在边PM，QN上，∠M＝∠N＝90°，P、Q是直线DF与PM，QN的交点．那么PQ的长等于（）A． B． C． D．二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）使有意义的x的取值范围是．12．（4分）因式分解：3y2﹣12＝．13．（4分）若方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，则k的值是．14．（4分）如图：将一副直角三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示的位置摆放，使AB∥EF，则∠DOC的度数是．15．（4分）抗击“新冠肺炎”线上学习期间，某校为了解学校1000名九年级学生一周体育锻炼时间的情况，随机调查了50名九年级学生，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1000名九年级学生一周的体育锻炼时间不少于7小时的人数是人．16．（4分）中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币．如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为．17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段OB的中点C，连接PC并延长交x轴于点D．则△APD的面积为．18．（4分）抛物线y＝ax2+3ax+b的一部分图象如图，设该抛物线与x轴的交点为A（﹣5，0）和B，与y轴的交点为C，若△ACO∽△CBO，则∠CAB的正切值为．三、解答题（本题共8小题，共78分）19．（6分）计算：．20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．21．（8分）在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF．（1）求证：四边形DFBE是矩形；（2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BC＝5，求CD的长．22．（10分）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝45°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝30°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若点A到点B的距离AB＝2m．（1）求AC的长度；（2）求DE的长度．23．（10分）据新浪网调查，2019年全国网民最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其它共五类，且关注五类热点问题的网民的人数所占百分比如图1所示，关注该五类热点问题网民的人数的不完整条形统计如图2，请根据图中信息解答下列问题．（1）求出图1中关注“反腐”类问题的网民所占百分比x的值，并将图2中的不完整的条形统计图补充完整；（2）为了深度了解网民对政府工作报告的想法，新浪网邀请5名网民代表甲、乙、丙、丁、戊做客新浪访谈，且一次访谈只选2名代表．请你用列表法或画树状图的方法，求出一次所选代表恰好是丙和丁的概率．（3）据统计，2017年网民最关注教育问题的人数所占百分比约为10%，则从2017年到2019年的年平均增长率约为多少？（≈3.16）24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是的中点，连接AE交BC于点F．（1）求证：AC＝CF；（2）若AB＝8，AC＝6，求∠BAE的正切值．25．（13分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点M，使得以点B，C，M，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）化简的正确结果是（）A．±2 B．﹣2 C．2 D．4【解答】解：＝2．故选：C．2．（4分）下面四个图形，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、C中的图案都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．3．（4分）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，故选：B．4．（4分）下列运算正确的是（）A．（3m2）2＝6m4 B．m2•m3＝m5 C．3m﹣m＝2 D．（m+1）2＝m2+1【解答】解：A、原式＝9m4，故A不符合题意．B、原式＝m5，故B符合题意．C、原式＝2m，故C不符合题意．D、原式＝m2+2m+1，故D不符合题意．故选：B．5．（4分）在2021年3月8日当天，由贾玲导演并主演的电影《你好，李焕英》，收获约46120000元票房，将46120000用科学记数法表示是（）A．4612×104 B．4.612×108 C．46.12×106 D．4.612×107【解答】解：46120000＝4.612×107．故选：D．6．（4分）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：袋子中球的总数为2+3+5＝10，而白球有5个，则从中任摸一球，恰为白球的概率为＝．故选：B．7．（4分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2【解答】解：将﹣a，b在数轴上表示出来如下：∵﹣a＜b＜a．∴b在﹣a和a之间．选项中只有﹣1符合条件．故选：C．8．（4分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（）A．30° B．50° C．70° D．80°【解答】解：∵，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故选：C．9．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的结论是（）A．∠DCB＝∠B B．BC＝BD C．AD＝BD D．∠ACD＝∠BDC【解答】解：∵AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴A正确，故A不符合题意；∵∠BDC≠∠BCD，∴BD≠BC，∴B错误，故B符合题意；∵∠B＝∠BCD，∴BD＝DC，∴AD＝BD，∴C正确，故C不符合题意；∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠A＝∠ACD，∴∠ACD＝∠BDC，∴D正确，故D不符合题意；故选：B．10．（4分）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票，所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，如图的勾股图中，已知∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．作四边形PQNM，满足点H、I在边MN上，点E、G分别在边PM，QN上，∠M＝∠N＝90°，P、Q是直线DF与PM，QN的交点．那么PQ的长等于（）A． B． C． D．【解答】解：如图，延长FA交PM于J，过点P作PK⊥DE于K，过点Q作QW⊥FG于W．∵四边形ACDE，四边形BCFG都是正方形，∴∠ACD＝∠BCF＝90°，AC＝CD，BC＝CF，∵CA＝CD，CB＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，∴△DCF≌△ACB（SAS），∴∠DFC＝∠ABC，DF＝AB＝5，∵AC＝4，∴BC＝＝＝3，∵PM∥AI，DE∥AF，∴∠PDE＝∠PFJ，∠PED＝∠PJF＝∠JAI，∵∠JAI+∠BAC＝90°，∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠JAI＝∠ABC，∴∠PJF＝∠PFJ，∴∠PED＝∠PDE，∴PD＝PE，∵PK⊥DE，∴EK＝DK＝2，∵∠PKD＝∠DCF＝90°，∠PDK＝∠DFC，∴△PKD∽△DCF，∴＝，∴＝，∴PD＝，同法可证，FW＝WG＝1.5，△QFW∽△FDC，∴＝，∴＝，∴QF＝，∴PQ＝PD+DF+FQ＝+5+＝，故选：A．二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）使有意义的x的取值范围是x≥1．【解答】解：∵有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．12．（4分）因式分解：3y2﹣12＝3（y+2）（y﹣2）．【解答】解：3y2﹣12，＝3（y2﹣4），＝3（y+2）（y﹣2）．13．（4分）若方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，则k的值是1．【解答】解：∵一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，∴（﹣2）2+k×（﹣2）﹣2＝0，解得，k＝1，故答案为：1．14．（4分）如图：将一副直角三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示的位置摆放，使AB∥EF，则∠DOC的度数是75°．【解答】解：如图所示：∵∠D＝90°，∴∠E+∠F＝90°，又∵∠E＝45°，∴∠F＝45°，又∵AB∥EF，∴∠A＝∠ACF，又∵∠A＝30°，∴∠ACF＝30°，又∵∠ACF+∠F+∠1＝180°，∴∠1＝105°，又∵∠1+∠DOC＝180°，∴∠DOC＝75°，故答案为75°．15．（4分）抗击“新冠肺炎”线上学习期间，某校为了解学校1000名九年级学生一周体育锻炼时间的情况，随机调查了50名九年级学生，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1000名九年级学生一周的体育锻炼时间不少于7小时的人数是400人．【解答】解：根据题意得：1000×＝400（人），答：该校1000名九年级学生一周的体育锻炼时间不少于7小时的人数是400人；故答案为：400．16．（4分）中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币．如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为40°．【解答】解：∵正多边形的外角和是360°，∴360°÷9＝40°．故答案为：40°．17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段OB的中点C，连接PC并延长交x轴于点D．则△APD的面积为6．【解答】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，∴S矩形APBO＝|k|＝6，在△PBC与△DOC中，，∴△PBC≌△DOC，∴S△APD＝S矩形APBO＝6．故答案为：6．18．（4分）抛物线y＝ax2+3ax+b的一部分图象如图，设该抛物线与x轴的交点为A（﹣5，0）和B，与y轴的交点为C，若△ACO∽△CBO，则∠CAB的正切值为．【解答】解：设B点的坐标为（x，0），∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣，∴点B的横坐标为，∴x＝2，即B（2，0），∴AO＝5BO＝2．∵△ACO∽△CBO，∴，∴，∴OC＝．∴∠CAB的正切值＝．故答案为：．三、解答题（本题共8小题，共78分）19．（6分）计算：．【解答】解：原式＝＝1﹣1+5＝5．20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝×＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．21．（8分）在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF．（1）求证：四边形DFBE是矩形；（2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BC＝5，求CD的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AF＝CE，∴FB＝ED．∴四边形DFBE是平行四边形，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°．∴四边形DFBE是矩形；（2）解：由（1）得：四边形DFBE是矩形，∴DE＝BF，∵CF平分∠DCB，∴∠DCF＝∠BCF，∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠CFB，∴∠BCF＝∠CFB，∴BF＝BC＝5，∴DE＝BF＝5，∴CD＝DE+CE＝5+3＝8．22．（10分）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝45°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝30°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若点A到点B的距离AB＝2m．（1）求AC的长度；（2）求DE的长度．【解答】解：（1）在Rt△ACB中，AB＝2m，∠PBE＝45°，则AC＝AB•sin∠PBE＝2×＝（m），答：AC的长度为m；（2）由题意得：DF＝AC＝m，在Rt△FDE中，tan∠PEB＝，则DE＝＝＝（m），答：DE的长度为m．23．（10分）据新浪网调查，2019年全国网民最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其它共五类，且关注五类热点问题的网民的人数所占百分比如图1所示，关注该五类热点问题网民的人数的不完整条形统计如图2，请根据图中信息解答下列问题．（1）求出图1中关注“反腐”类问题的网民所占百分比x的值，并将图2中的不完整的条形统计图补充完整；（2）为了深度了解网民对政府工作报告的想法，新浪网邀请5名网民代表甲、乙、丙、丁、戊做客新浪访谈，且一次访谈只选2名代表．请你用列表法或画树状图的方法，求出一次所选代表恰好是丙和丁的概率．（3）据统计，2017年网民最关注教育问题的人数所占百分比约为10%，则从2017年到2019年的年平均增长率约为多少？（≈3.16）【解答】解：（1）1﹣15%﹣30%﹣25%﹣10%＝20%，所以x＝20，总人数为：140÷10%＝1400（人）关注教育问题网民的人数1400×25%＝350（人），关注反腐问题网民的人数1400×20%＝280（人），关注其它问题网民的人数1400×15%＝210（人），如图2，补全条形统计图，（2）画树状图如下：由树状图可知共有20种等可能结果，其中一次所选代表恰好是丙和丁的有2种结果，所以一次所选代表恰好是丙和丁的概率为＝；（3）设2017年到2019年的年平均增长率为x，由题意得10%（1+x）2＝25%，解得x1＝0.58＝58%，x2＝﹣2.58（不合题意，舍去）．答：从2017年到2019年的年平均增长率为58%．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是的中点，连接AE交BC于点F．（1）求证：AC＝CF；（2）若AB＝8，AC＝6，求∠BAE的正切值．【解答】（1）证明：连接AD，如图，∵AC切⊙O于点A，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°∵点E是的中点，∴∠BAE＝∠DAE．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠CAD+∠DAB＝∠DAB+∠B＝90°，∴∠CAD＝∠B．∵∠CAD+∠DAE＝∠B+BAE，∴∠CAF＝∠CFA，∴AC＝CF；（2）解：在Rt△ABC中，∵AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝10，∵AD•BC＝AC•AB，∴AD＝＝，∵CF＝AC＝6，∴BF＝4，在Rt△ABD中，BD＝＝＝，∴DF＝BD﹣BF＝﹣4＝，在Rt△ADF中，tan∠DAF＝＝＝，∴∠BAE的正切值为．25．（13分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．【解答】解：（1）∵B（2，2），则BC＝2，而BD＝，∴CD＝2﹣＝，故点D（，2），将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝3，故反比例函数表达式为y＝，当x＝2时，y＝，故点E（2，）；（2）由（1）知，D（，2），点E（2，），点B（2，2），则BD＝，BE＝，故＝＝，＝＝＝，∴DE∥AC；（3）当点F在点C的下方时，点G在点F的右方时，如图，过点F作FH⊥y轴于点H，∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝2，则tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°，则FH＝FC＝1，CH＝CF•cos∠OCA＝2×＝，故点F（1，），则点G（3，），当点F在点C的上方时，同理可得：点G（1，3），此时，点G也在反比例函数上，综上，点G的坐标为（3，）或（1，