江苏省南京市2023-2024学年高二下学期期末测试数学模拟卷（一）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省南京市2023-2024学年高二下学期期末测试模拟卷（一）数学试卷考查范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、复数、平面向量、数列、函数与导数、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、平面解析几何、三角函数与解三角形一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合，集合，则集合（

）A． B． C． D．2．已知两不共线向量，若与共线，则等于（）A．； B． C． D．3．已知数列满足，则“”是“为等比数列”的（

）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．若函数在区间上单调递减，且，.则A． B． C． D．5．五张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这五张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为A． B． C． D．6．故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶.如图所示的五面体的底面为一个矩形，，，，棱分别是的中点.求直线与平面所成角的正弦值（

）A． B． C． D．7．已知双曲线的离心率为，过双曲线右焦点F且与渐近线平行的直线交双曲线于点P，若，则双曲线的虚轴长为（

）A． B．3 C． D．8．已知函数，若过可做两条直线与函数的图象相切，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列选项中,正确的是（

）A．若,则B．若不等式的解集为,则C．函数（且）的图象恒过定点D．若,且,则的最小值为910．设是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论正确的是（

）A．若直线过抛物线的焦点，则B．若直线过抛物线的焦点，则C．若，则D．若，则到直线的距离不大于411．已知复数满足，则下列说法正确的是（

）A．复数的共轭复数为B．复数在复平面内对应的点位于第四象限C．复数是方程的解D．若复数满足，则的最大值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．角的终边在直线上，则；13．（）的展开式中的系数为9，则.14．已知直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，OB为邻边作平行四边形，点P恰好在C上．若线段AB的中点M在直线上，则直线l的方程为．四、解答题：本题共5小题，共77分。15．抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望.16．在中，已知角所对的边分别是，且.(1)求和角的值；(2)求的面积.17．已知等差数列的前项和为.,.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18．如图，三棱台中，平面平面ABC，AB＝AC，，，．

(1)求四棱锥的体积；(2)在侧棱上是否存在点E，使得二面角E－AC－B的余弦值为？若存在，说明点E的位置；若不存在，说明理由．19．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：阶导数指对一个函数进行次求导，表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，为自然对数的底数，，该公式也称麦克劳林公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：(1)利用泰勒公式求的近似值；（精确到小数点后两位）(2)设，证明：；(3)证明：（为奇数）．答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【分析】由交集和补集的定义即可求解.【详解】全集，，，而，.故选：A.2．C【分析】由题可得，列方程组，化简即可得结果.【详解】因为两不共线向量，与共线，所以，∴，∴.故选：C.3．C【解析】如果，满足，但不是等比数列；反之根据等比数列的性质可判断“”是“为等比数列”的必要不充分条件.【详解】如果，满足，但不是等比数列；反之若“为等比数列”，根据等比数列的性质可知，所以“”是“为等比数列”的必要不充分条件.故选：C【点睛】本题考查等比数列的判定和性质，充分条件、必要条件的判断，充分条件因为涉及知识面广，因而要求同学知识储备量比较大，明确充分条件的定义正确应用即可解答，属于基础题.4．D【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合＜0，＞1得答案．【详解】由5+4x﹣x2＞0，可得﹣1＜x＜5，函数t＝5+4x﹣x2的增区间为（﹣1，2），要使在区间（a﹣1，a+1）上单调递减，则，即0≤a≤1．而b＝＜0，c＝＞1，∴b＜a＜c．故选D．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及应用．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，涉及指数函数单调性的应用，是中档题．5．A【详解】试题分析：实验发生包含的事件是从5张中随机的抽2张，共有种结果，满足条件的事件是两张之和为奇数，有种结果，所以取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为故选考点：等可能事件的概率.6．C【分析】过作，为垂足，根据垂直关系证明平面，平面，建系，利用空间向量求线面夹角,【详解】因为，为的中点，所以，在矩形中，,，分别为，的中点，故，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.在平面中，过作，为垂足，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，以为坐标原点，过点H作,交于S,交于Q，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，由题意得,所以，，，，所以，，.设平面的法向量，则，即，令，得为平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：C.7．B【分析】根据离心率表示双曲线的方程，不妨设直线PF的斜率．过点P作轴于点H，则结合，表示点P的坐标，代入双曲线方程求得结果.【详解】如图，由题意得，，解得，∴双曲线的方程可化为．根据双曲线的对称性，不妨设直线PF的斜率．过点P作轴于点H，则结合，可得，，∴．将点P的坐标代入双曲线方程，得，则．又，，代入化简得，，解得，则，∴双曲线的虚轴长为．

故选：B．8．B【分析】根据导数几何意义求出切线方程，依题意，过点的直线与函数的图象相切的切线条数即为直线与曲线的图象的公共点的个数，根据导数研究函数的图象可得结果.【详解】设过点的直线与函数的图象相切时的切点为，则，因为，所以切线方程为，又在切线上，所以，整理得，则过点的直线与函数的图象相切的切线条数即为直线与曲线的图象的公共点的个数，因为，令，得，所以，当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减，因为，当时，所以，函数的图象大致如图：所以当时，图像有两个交点，切线有两条.故选：B.【点睛】关键点点睛：依题意求出切线方程，本题关键是将过点的直线与函数的图象相切的切线条数转化为直线与曲线的图象的公共点的个数，在利用导数研究函数的图象.9．AD【分析】根据命题的否定即可判断选项A正误,根据一元二次不等式解集和一元二次方程根之间的关系,再利用韦达定理,即可判断选项B正误,根据恒过,即可得选项C正误,根据“1”的代换,即可得选项D的正误.【详解】解:由题知,“”的否定是“”,故选项A正确;若不等式的解集为,则的两根为-1,3,且,根据韦达定理有:,解得,所以,故选项B错误;因为恒过,所以恒过,故选项C错误;因为,所以,当且仅当,即时等式成立,故的最小值为9,故选项D正确.故选:AD10．BCD【分析】当直线过抛物线的焦点时，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理可及焦半径公式可判断A，B；当时，由，可得，，由两点间的距离公式及基本不等式判断C；当时，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，结合向量的数量积、韦达定理及点到线的距离公式判断D.【详解】解：当直线过抛物线的焦点时，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，所以，所以，故B正确；，当时，等号成立，又因为，所以，故A错误；对于C，当时，则有，即，,解得(舍)或，所以，所以，又因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；对于D，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程得：，得，所以，所以，因为，所以，即，解得(舍)或，则原点到直线的距离，当时，等号成立，即到直线的距离不大于4，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：对于过抛物线焦点的弦长，可以采用焦半径公式求解；对于没有过焦点的弦长，则利用韦达定理及弦长公式求解.11．ABD【分析】A选项，利用复数的除法法则和模长公式求出，得到共轭复数；B选项，在复平面内对应的点为，得到B正确；C选项，代入计算得到C错误；D选项，利用得到D正确.【详解】A选项，因为复数满足，所以，所以，故A正确；B选项，因为复数在复平面内对应的点为，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确；C选项，，故C错误；D选项，，所以的最大值为4，故D正确．故选：ABD．12．2【分析】依题意得，由即可求解．【详解】依题意得由故答案为：213．1【分析】通过分类讨论结合二项展开式的通项公式进行求解即可．【详解】解：的通项公式，若第一括号是1，则第二个括号必须是相乘，若第一括号是，则第二个括号必须是相乘，则项系数为，即，得，得或（舍，故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式定义的应用，注意要对系数进行分类讨论，属于中档题．14．【分析】设，，，利用点差法得到，根据平行四边形的性质及点P在椭圆上得到，解方程组即可求解.【详解】设，，，则，两式相减，得，故，得①．在平行四边形中，M为线段AB的中点，所以M为线段OP的中点，所以，又P在椭圆C上，所以②．由①②，得，故直线l的方程为，即，经检验，该直线满足题意.故答案为：.【点睛】关键点点睛：通过点差法求得是本题的解题关键.15．(1)(2)分布列见解析，期望为1.606【分析】（1）根据全概率公式、条件概率公式求得正确答案.（2）通过求概率求得分布列，并求得数学期望.【详解】（1）设第1次取出的是一次性筷子为事件A，第2次取出的是非一次性筷子为事件B，则，，所以在第2次取出的是非一次性筷子的前提下，第1次取出的是一次性筷子的概率；（2）记取出的一次性筷子的双数为X，则，则，，，则，则X的分布列为X0123P0.0640.3660.470.1数学期望.16．(1)，；(2)或3.【分析】(1)在中利用正弦定理边化角，结合已知计算即可得解.(2)利用余弦定理结合(1)的结论求出边c，再用三角形面积公式即可计算作答.【详解】（1）在中，由正弦定理得：，则有，而，解得，又，即为锐角，于是得，所以，.（2）在中，由余弦定理得：，整理得：，解得或，当时，，当时，，所以的面积为或3.17．（1）；（2）.【分析】（1）由等差数列公式联立求解关于的一元二次方程即可；（2）求得，采用分组求和法即可求解.【详解】（1）由,

,得，解得,所以；（2）.因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.18．(1)2；(2)存在，E为侧棱的中点【分析】（1）取的中点，连接，利用面面垂直的性质证明平面，再利用锥体的体积公式求解作答.（2）取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量及二面角的余弦值求解作答.【详解】（1）在三棱台中，取的中点，连接，因为，，，则，有，，因为平面平面，平面平面，则平面平面，平面平面，平面，于是平面，梯形中，，则梯形的高，因此梯形的面积，所以四棱锥的体积.（2）取的中点，连接，因为，则，在等腰梯形中，分别为上下底边的中点，有，而平面平面，平面平面，平面，于是平面，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标