新八年级数学讲义第5讲等腰三角形-基础班(学生版+解析)

第5讲等腰三角形

1等腰三角形一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．【例题精选】例1(2023•徐州模拟）等腰三角形有一个角的度数是80°，则另两个角的度数分别是（）A．40°，40° B．20°，20° C．80°，20° D．30°，50°例2(2023•龙沙区一模）如图，AB∥CD，AB＝AC，∠1＝40°，则∠ACE的度数为（）A．80° B．100° C．120° D．160°【随堂练习】1.(2023•成都模拟）在△ABC中，∠B＝∠C，AC＝5，则AB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．52．(2023春•胶州市期中）一个等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（）A．100° B．65° C．70° D．75°3．(2023春•太原期中）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝64°，则∠C的度数为（）A．30° B．32° C．40° D．48°2等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【例题精选】例1(2023秋•临颍县期中）三角形三个内角的比是∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定例2(2023秋•龙湾区期中）具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（）A．有两个角分别为20°，120° B．有两个角分别为40°，80° C．有两个角分别为30°，60° D．有两个角分别为50°，80°【随堂练习】1．(2023秋•博罗县期中）在△ABC中，与∠A相邻的外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（）A．70° B．55° C．70°或55° D．70°或55°或40°2．(2023秋•殷都区期中）在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．(2023秋•思明区校级月考）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝4：5：6 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：23.等边三角形一、等边三角形

等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.三、等边三角形的判定

等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【例题精选】例1(2023秋•正阳县期末）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（）A．4 B．30 C．18 D．12【随堂练习】1．(2023秋•蚌埠期末）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30° B．20° C．25° D．15°4.含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【例题精选】例1(2023秋•保亭县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．4例2(2023秋•江岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为点D，则AD与BD之比为（）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1【随堂练习】1．(2023秋•正阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝8，BC的长是（）A．16 B．24 C．30 D．322．(2023•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．则以下AE与CE的数量关系正确的是（）A．AE＝CE B．AE＝CE C．AE＝CE D．AE＝2CE3．(2023秋•开远市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD＝2，则AD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．4.5综合练习一．选择题（共3小题）1．如图，已知点A（﹣2，0）和点B（1，1），在坐标轴上确定点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C共有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．10个2．如图所示，在△PMN中，∠P＝36°，PM＝PN＝12，MQ平分∠PMN交PN于点Q，延长MN至点G，取NG＝NQ，若MQ＝a，则NG的长是（）A．a B．12﹣a C．12+a D．12+2a3．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝4，则BC等于（）A．2 B． C． D．8二．解答题（共3小题）4．在△ABC中，AB＝AC，M是边BC的中点，BD平分∠ABC，交AM于E，交AC于D，若∠AED＝64°，求∠BAC的度数的大小5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠B＝35°，求∠CAE度数．6．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，（1）若∠BDA＝∠BAD，∠B＝60°，求∠C的大小；（2）若AE既是△ABD的高又是角平分线，∠B＝54°，求∠C的大小．第5讲等腰三角形

1等腰三角形一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．【例题精选】例1(2023•徐州模拟）等腰三角形有一个角的度数是80°，则另两个角的度数分别是（）A．40°，40° B．20°，20° C．80°，20° D．30°，50°分析：已知给出了一个内角是80°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．【解答】解：分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为80°时，另外两个内角＝＝50°；（2）若等腰三角形的底角为80°时，它的另外一个底角为80°，顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．例2(2023•龙沙区一模）如图，AB∥CD，AB＝AC，∠1＝40°，则∠ACE的度数为（）A．80° B．100° C．120° D．160°分析：根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠1＝40°，∵AB∥CD，∴∠BCE＝180°﹣∠1＝40°，∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACB＝100°，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．【随堂练习】1.(2023•成都模拟）在△ABC中，∠B＝∠C，AC＝5，则AB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵△ABC中，∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵AC＝5，∴AB＝5，故选：D．2．(2023春•胶州市期中）一个等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（）A．100° B．65° C．70° D．75°【解答】解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，∴底角＝（180°﹣50°）÷2＝65°．故选：B．3．(2023春•太原期中）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝64°，则∠C的度数为（）A．30° B．32° C．40° D．48°【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝64°，∴∠B＝∠ADB＝64°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝116°，∵AD＝CD，∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣116°）÷2＝32°，故选：B．2等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【例题精选】例1(2023秋•临颍县期中）三角形三个内角的比是∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定分析：根据三角形的内角和定理和∠A：∠B：∠C＝1：1：2，可以分别求得三个角的度数，再进一步判断三角形的形状．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°．则该三角形的等腰直角三角形．故选：B．【点评】考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，能够熟练运用三角形的内角和定理求得三角形各个角的度数，再根据角的度数进一步判断三角形的形状．例2(2023秋•龙湾区期中）具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（）A．有两个角分别为20°，120° B．有两个角分别为40°，80° C．有两个角分别为30°，60° D．有两个角分别为50°，80°分析：分别求出第三个内角的度数，即可得出结论．【解答】解：A、有两个角分别为20°，120°的三角形，第三个内角为180°﹣120°﹣20°＝40°，∴有两个角分别为20°，120°的三角形不是等腰三角形，选项A不符合题意；B、有两个角分别为40°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣40°﹣80°＝60°，∴有两个角分别为40°，80°的三角形不是等腰三角形，选项B不符合题意；C、有两个角分别为30°，60°的三角形，第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，∴有两个角分别为30°，60°的三角形不是等腰三角形，选项C不符合题意；D、有两个角分别为50°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣50°﹣80°＝50°，有两个角相等，是等腰三角形；∴有两个角分别为50°，80°的三角形是等腰三角形，选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和等腰三角形的判定是解题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•博罗县期中）在△ABC中，与∠A相邻的外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（）A．70° B．55° C．70°或55° D．70°或55°或40°【解答】解：∠A＝180°﹣110°＝70°．当AB＝AC时，∠B＝∠C＝（180°﹣70°）＝55°；当BC＝BA时，∠A＝∠C＝70°，则∠B＝180°﹣70°﹣70°＝40°；当CA＝CB时，∠A＝∠B＝70°．∠B的度数为70°或55°或40°，故选：D．2．(2023秋•殷都区期中）在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：∵A（2，﹣2）∴OA与y轴的夹角为45°①当点P在x轴的正半轴上时，OP＝OA；②当△AOP为等腰直角三角形时，且OA是斜边时，OP＝PA；③当△AOP为等腰直角三角形时，且OA是直角边时，OA＝PA；④当点P在x轴的负半轴上时，且OA＝OP时．故选：C．3．(2023秋•思明区校级月考）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝4：5：6 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2【解答】解：A、a＝3，b＝3，c＝4，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形；B、∵a：b：c＝4：5：6，∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；C、∵∠B＝50°，∠C＝80°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形；D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∵∠A＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形．故选：B．3.等边三角形一、等边三角形

等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.三、等边三角形的判定

等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【例题精选】例1(2023秋•正阳县期末）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（）A．4 B．30 C．18 D．12分析：由条件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD＝4，可求得其周长．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，∴△ADE的周长为12．故选：D．【点评】本题主要考查等边三角形的性质和判定，由条件证明△ADE是等边三角形是解题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•蚌埠期末）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30° B．20° C．25° D．15°【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故选：D．4.含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【例题精选】例1(2023秋•保亭县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．4分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC＝30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD＝15°，从而得到∠ABD＝∠A，根据等角对等边可得AD＝BD，从而得解．【解答】解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°，∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2BC＝2×1＝2，∵∠C＝90°，∠A＝15°，∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD＝2．故选：B．【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．例2(2023秋•江岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为点D，则AD与BD之比为（）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1分析：根据含30°的直角三角形的性质解答．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，∴2BD＝BC，2BC＝AB，∴AB＝4BD，∴AD：BD＝3：1，故选：B．【点评】此题考查含30°的直角三角形，关键是根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【随堂练习】1．(2023秋•正阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝8，BC的长是（）A．16 B．24 C．30 D．32【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°，又∵AB⊥AD，∴∠ADB＝60°，∴∠DAC＝30°，∴AD＝DC＝8，∵AD＝8，∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝16，∴BC＝BD+DC＝8+16＝24．故选：B．2．(2023•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．则以下AE与CE的数量关系正确的是（）A．AE＝CE B．AE＝CE C．AE＝CE D．AE＝2CE【解答】解：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE，故选：D．3．(2023秋•开远市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD＝2，则AD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．4.5【解答】解：∵∠ACB＝60°，∠B＝90°，∴∠A＝30°，∵DE是斜边AC的中垂线，∴DA＝DC，∴∠ACD＝∠A＝30°，∵BD＝2，∴AD＝4，故选：B．综合练习一．选择题（共3小题）1．如图，已知点A（﹣2，0）和点B（1，1），在坐标轴上确定点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C共有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．10个【解答】解：如图所示：以A为圆心，AB长为半径，C点有4个；以B为圆心，AB长为半径，C点有4个；以AB线段垂直平分线交坐标轴有2个；故C点有10个，故选：D．2．如图所示，在△PMN中，∠P＝36°，PM＝PN＝12，MQ平分∠PMN交PN于点Q，延长MN至点G，取NG＝NQ，若MQ＝a，则NG的长是（）A．a B．12﹣a C