上海市虹口区2022-2023学年高二下学期期末数学试题（学生版）

虹口区2022学年第二学期高二年级数学区统考一、填空题1.若直线：.与直线：互相垂直，则实数的值为________.2.现有4个医疗小组和4个需要援助的国家，若每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法共有________种.3.已知是正方体棱的中点，则直线与平面所成的角的大小等于________.4.若函数，则________．5.若，则正整数的值等于________.6.棱长都是3的三棱锥的高等于________.7.已知平面直角坐标系中的三点、、，若直线过点且与直线平行，则的方程为________.8.如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有________个.9.从四棱锥5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够构成不同三棱锥的个数是________（结果用数字作答）10.已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是___________.11.已知是等边三角形，、分别是边和的中点.若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于________.二、选择题12.双曲线的两条渐近线的夹角等于（）A. B. C. D.13.“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.下列命题中正确是（）A.终边重合的两个角相等 B.锐角是第一象限的角C.第二象限的角是钝角 D.小于90°的角都是锐角15.下列说法正确的是（）A.若，则与的长度相等且方向相同或相反；B.若，且与的方向相同，则C.平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；D.若，则与方向相同或相反16.已知为虚数单位，下列说法中错误的是（）A.复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则B.互为共轭复数两个复数的模相等，且C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D.若复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上三、解答题17.若：（1）当时，求的值；（2）求值.18.亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米.（1）求几何体的体积；（2）如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的大小，并判断该亭子是否满足建筑要求.19.已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点.（1）求点到直线的距离；（2）若直线的斜率为，且，求实数的值.20.如图所示的几何体中，四边形为正方形，.（1）求证：∥平面；（2）若，，平面平面.求平面与平面所成锐二面角的大小.21.如图所示的几何体中，四边形为正方形，.（1）求证：平面；（2）若，平面平面.若为中点，求证：.22.如图，已知等腰直角三角形两直角边，的边长为4，过边的等分点作边的垂线，过边的等分点和顶点作直线，记与的交点为.若以点为坐标原点，所在的直线为轴（点在轴的正半轴上），建立平面直角坐标系.（1）证明:对任意的正整数，点都在抛物线：上；（2）已知是抛物线：在第一象限的点，过点与抛物线相切的直线与轴的交点为.过点的直线与直线垂直，且与抛物线交于另一点.记的面积为，试用解析法将表示为的函数，并求的最小值.23.如图，已知等腰直角三角形的两直角边，的边长为4，过边的等分点作边的垂线，过边的等分点和顶点作直线，记与的交点为.若以点为坐标原点，所在的直线为轴（点在轴的正半轴上），建立平面直角坐标系.（1）当时